微調(diào)教材,提前滲透數(shù)學(xué)知識(shí)的嘗試

[摘? 要] 隨著“雙減”政策的有序推行，對(duì)所有教育工作者的教學(xué)能力提出了更高的要求. 實(shí)踐證明，潛心研究教材與學(xué)情，結(jié)合教師自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，微調(diào)教材教學(xué)內(nèi)容，適當(dāng)提前進(jìn)行知識(shí)的滲透，會(huì)有意想不到的教學(xué)成效. 文章從提前滲透類似概念、規(guī)定、公式、配方變形與函數(shù)圖象等方面展開分析.

[關(guān)鍵詞] 教材;提前滲透;概念

作者簡介：黃國云（1976—），本科學(xué)歷，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，曾獲福州市教育系統(tǒng)先進(jìn)工作者、市骨干教師等榮譽(yù)稱號(hào)，曾獲市優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)、市教學(xué)技能賽二等獎(jiǎng).

教材源自編者的精心設(shè)計(jì)與編排，是教學(xué)的依據(jù)，亦是學(xué)習(xí)的主要資源，具有學(xué)術(shù)性、規(guī)范性與科學(xué)性等特征[1]. 然而，教材雖好，但它的設(shè)計(jì)與編排都是根據(jù)大眾水平安排的，受地域、教育等綜合因素的影響，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，難免會(huì)出現(xiàn)與學(xué)情不匹配的情況. 作為教師，可結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行微調(diào)，以提高教學(xué)效率.

提前滲透類似概念

概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是建構(gòu)認(rèn)知體系的基石. 若想踐行“雙減”政策，夯實(shí)概念基礎(chǔ)是首要條件，那究竟該如何讓學(xué)生快速、準(zhǔn)確地深入理解數(shù)學(xué)概念呢？經(jīng)實(shí)踐探索，筆者發(fā)現(xiàn)在概念教學(xué)時(shí)，順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生了解與之類似的概念，能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的體驗(yàn)，為后繼教學(xué)奠定基礎(chǔ).

概念本身是對(duì)數(shù)學(xué)事物的抽象，若單獨(dú)教授某一概念，常會(huì)讓學(xué)生感到枯燥、乏味，缺乏學(xué)習(xí)興趣，而引入與之相關(guān)的概念，常能激發(fā)學(xué)生的探索欲，讓學(xué)生對(duì)未來將要學(xué)習(xí)的概念產(chǎn)生興趣. 這種情感基礎(chǔ)的奠定，不僅為后繼教學(xué)提供支持，還讓學(xué)生對(duì)當(dāng)下概念的理解更加深刻.

案例1? “一元一次方程”的教學(xué)

一元一次方程的概念為：等式的兩側(cè)均為整式，式子中僅有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的指數(shù)為1的方程為一元一次方程. 為了深化學(xué)生對(duì)一元一次方程概念的理解，筆者引導(dǎo)學(xué)生參與了以下教學(xué)過程：

用PPT展示問題：觀察下列各式，說一說一元一次方程有哪些.

A. 3x=0 ? ? ? ? ? B. 3n+2=1-n

C.+m=2 ? ? ?D. =14

E. m+y=9 ? ? ? ?F. x2+x-4=0

學(xué)生一致認(rèn)為A，B，D三個(gè)式子為一元一次方程，其他幾個(gè)式子都不屬于一元一次方程的范疇.

師：既然大家一致認(rèn)為m+y=9與x2+x-4=0這兩個(gè)式子并非一元一次方程，那你們覺得這是什么方程呢？我們能否賦予它們一個(gè)名稱？

生1：式子m+y=9中含有兩個(gè)未知數(shù)，最高次數(shù)為1，是不是可以稱為二元一次方程？

生2：同理，式子x2+x-4=0中只有一個(gè)未知數(shù)，最高次數(shù)為2，是否可稱為一元二次方程？

大部分學(xué)生都贊同這兩位學(xué)生的觀點(diǎn).

雖然這兩種方程并非本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，與本節(jié)課的教學(xué)要求、目標(biāo)等毫無關(guān)系，但這幾個(gè)概念之間存在共同之處，筆者讓學(xué)生在研究一元一次方程的時(shí)候，接觸并嘗試認(rèn)識(shí)這兩類方程，很快就激發(fā)了學(xué)生的探究欲，讓學(xué)生在自主分析中獲得了良好的成功體驗(yàn).

鑒于這三類方程之間存在顯著的共性關(guān)系，教學(xué)一元一次方程時(shí)，教師可鼓勵(lì)學(xué)生自主揣摩其他兩類方程的定義，深化學(xué)生對(duì)判定方程類型的三個(gè)條件（未知數(shù)個(gè)數(shù)、代數(shù)式類型以及未知數(shù)的次數(shù)）的認(rèn)識(shí). 學(xué)生因自主獲得結(jié)論，形成良好學(xué)習(xí)體驗(yàn)的同時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的成就感，不僅對(duì)自身的學(xué)習(xí)能力產(chǎn)生自信，也為形成舉一反三的學(xué)習(xí)能力奠定了基礎(chǔ).

想要理清概念的內(nèi)涵與外延，必須對(duì)概念的縱深與橫向聯(lián)系產(chǎn)生深刻的認(rèn)識(shí)，尤其在“雙減”政策的扶持下，除了凸顯學(xué)校為教學(xué)主體外，對(duì)教師的教學(xué)能力與學(xué)生的學(xué)習(xí)能力都提出了較高的要求. 因此，教師進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，應(yīng)站到一個(gè)宏觀的角度，帶領(lǐng)學(xué)生感知數(shù)學(xué)為一門系統(tǒng)性學(xué)科，知識(shí)與知識(shí)間有著緊密的聯(lián)系.

提前滲透相關(guān)規(guī)定

從概念間的關(guān)聯(lián)性出發(fā)，不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)、周密、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，但在系統(tǒng)的運(yùn)行與建立過程中，難免會(huì)出現(xiàn)一些約定俗成的東西，教材將這些東西統(tǒng)稱為“規(guī)定”. 規(guī)定與數(shù)學(xué)知識(shí)同樣具有由淺入深的特點(diǎn).

如今的學(xué)生生活在信息化時(shí)代，不僅有著豐富的知識(shí)儲(chǔ)備，還有著靈活的數(shù)學(xué)思維. 教學(xué)過程中，常會(huì)遇到學(xué)生提出一些超前的看法與想法. 作為教師，應(yīng)積極回應(yīng)學(xué)生所提出的看法與想法，盡可能多地加以鼓勵(lì)與肯定，讓學(xué)生樂于提出看法，勇于表達(dá)想法，形成愛問、樂學(xué)、善學(xué)的良性循環(huán). 對(duì)于學(xué)生超前看法與想法的回應(yīng)，一般是對(duì)將來會(huì)涉及的一些規(guī)定作初步介紹，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)的博大精深，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來的無限樂趣.

案例2? “同底數(shù)冪除法”的教學(xué)

教材在本章節(jié)對(duì)“零指數(shù)冪”和“負(fù)整數(shù)指數(shù)冪”作了以下規(guī)定：①任何不為零的數(shù)的零次冪均為1，也就是a0=1（a≠0）;②任何不為零的數(shù)的-p次冪（p為正整數(shù)），均為該數(shù)p次冪的倒數(shù)，也就是a-p=（a≠0，p為正整數(shù)）.

面對(duì)這個(gè)規(guī)定，學(xué)生獲得了指數(shù)可為零，也可為負(fù)整數(shù)的認(rèn)識(shí). 一些思維較靈活的學(xué)生會(huì)提出：從以上規(guī)定來看，指數(shù)可以是零、正負(fù)整數(shù)，就是說指數(shù)可以為整數(shù)，那么指數(shù)是否可以為分?jǐn)?shù)呢？這是一個(gè)超前的想法，教師若以“將來你們會(huì)知道”的話語將學(xué)生隨意打發(fā)掉，則會(huì)挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 為此，筆者在此處提前滲透相關(guān)規(guī)定，以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)樂趣，讓學(xué)生從中感知數(shù)學(xué)的魅力.

生3：指數(shù)是否有可能為分?jǐn)?shù)呢？若有，我們?cè)撊绾卫斫鈇呢？

師：這個(gè)問題非常好！說明你在積極地動(dòng)腦思考. 與你所想的一樣，指數(shù)確實(shí)可以是分?jǐn)?shù)，將來我們會(huì)遇到這樣的規(guī)定：a=（a≥0）. 舉個(gè)簡單的例子，如9=，較復(fù)雜的一些如a=.

生4：哇哦！乘方形式還可以轉(zhuǎn)化成開方形式啊，有點(diǎn)意思.

此時(shí)，學(xué)生探究的積極性被完全調(diào)動(dòng)起來. 原本枯燥的課堂瞬間就讓學(xué)生覺得其樂無窮，尤其是外形差異如此之大的乘方與開方竟然具有互相轉(zhuǎn)化的功能，這種轉(zhuǎn)化就如同學(xué)生所熟悉的加減乘除的轉(zhuǎn)化一樣，令學(xué)生感到興趣盎然.

雖然分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的內(nèi)容要到高中階段才會(huì)碰到，但提前介紹會(huì)讓學(xué)生深刻體會(huì)到指數(shù)的取值范圍還有擴(kuò)大的空間，由此欣喜地發(fā)現(xiàn)兩種新知間存在著必然的聯(lián)系，這種提前告知的方式顯然讓學(xué)生的理解更加豐富，教學(xué)也顯得更立體. 隨著教師的解說，學(xué)生能感知到知識(shí)之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，體會(huì)到積極思考與勇于表達(dá)所帶來的快樂，這為幫助學(xué)生建立學(xué)習(xí)信心，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)奠定了良好的基礎(chǔ).

提前滲透相關(guān)公式

公式是經(jīng)過歲月的洗禮，歷經(jīng)千錘百煉而形成的. 它最大的價(jià)值在于讓原本復(fù)雜的問題變得簡便，尤其是計(jì)算類的公式，能減輕計(jì)算者的大量負(fù)擔(dān). 如乘法公式的學(xué)習(xí)，教材呈現(xiàn)給師生的是正向運(yùn)用公式來簡化復(fù)雜的運(yùn)算，而事實(shí)上，只要以等式形式呈現(xiàn)的公式，都具有雙向變形的功能. 教學(xué)中，教師可適當(dāng)?shù)靥崆罢故竟降碾p向應(yīng)用功能，以拓展學(xué)生的思維，讓學(xué)生對(duì)公式形成更加成熟、理性的認(rèn)識(shí).

案例3? “乘法公式”的教學(xué)

教材中有這樣一道例題：

簡便計(jì)算下列算式，要求使用平方差公式：

（1）97×103;（2）60.2×59.8.

這道例題難不住學(xué)生，學(xué)生很快就解出相應(yīng)的答案. 為了拓寬學(xué)生的視野，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)乘法公式的認(rèn)識(shí)，筆者借助PPT展示了以下練習(xí)，同樣要求學(xué)生用平方差公式進(jìn)行簡便計(jì)算：

（1）81.52-78.52;（2）9992-9982.

補(bǔ)充練習(xí)雖然與教材的要求一樣——讓學(xué)生用平方差公式簡便計(jì)算，但應(yīng)用的方向卻完全相反. 該練習(xí)有意讓學(xué)生明白，應(yīng)用平方差公式解決問題時(shí)，不僅可以正向應(yīng)用公式，還可以反向應(yīng)用公式，不論是哪種應(yīng)用方法，均可達(dá)到簡便運(yùn)算的目的.

筆者展示的補(bǔ)充練習(xí)，涉及了下一章因式分解部分的內(nèi)容，雖然這是學(xué)生尚未接觸過的領(lǐng)域，但并沒有帶給學(xué)生不適感，反而讓學(xué)生感知到公式正反應(yīng)用的樂趣. 教師將兩個(gè)方向的運(yùn)算一起展示在學(xué)生視野中，能使學(xué)生真實(shí)、生動(dòng)地感知到數(shù)學(xué)公式的雙向應(yīng)用特征. 這種提前滲透的教學(xué)方法，讓學(xué)生對(duì)公式的掌握更加立體、全面，為后繼學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ).

提前嘗試配方變形

數(shù)學(xué)方法一般為解題的通性通法，它們的形成都是學(xué)習(xí)成果的提煉，對(duì)于學(xué)生掌握解題技巧、順利解題起著決定性的作用. 然而，任何數(shù)學(xué)方法的掌握都不是一蹴而就的事情，即使一種數(shù)學(xué)方法，也有可能在不同學(xué)習(xí)階段出現(xiàn)，但整體難度基本呈循序漸進(jìn)螺旋式上升，同時(shí)還與時(shí)代發(fā)展相掛鉤[2].

鑒于此，教學(xué)中遇到關(guān)于數(shù)學(xué)方法的授課時(shí)，如果教師適度提前為學(xué)生普及它的應(yīng)用或特點(diǎn)，能讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)方法獨(dú)有的魅力，對(duì)學(xué)生連貫、深入地理解并應(yīng)用數(shù)學(xué)方法提供保障.

案例4? “因式分解”的教學(xué)

教材中有這樣一道例題：

因式分解下列各式：（1）-x2+4xy-4y2;（2）4a2+12ab+9b2;（3）3ax2+6axy+3ay2.

學(xué)生在解題中呈現(xiàn)出類似于（x-2y）2，（2a+3b）2的多項(xiàng)式平方類型，其實(shí)這是配方的成效. 筆者考慮到這種方法具有較強(qiáng)的學(xué)習(xí)意義與教學(xué)價(jià)值，便在本單元的復(fù)習(xí)環(huán)節(jié)中添加了以下練習(xí)：

（1）解方程x2+y2+6x+y+=0，并求出x，y的值;

（2）代數(shù)式m2-2m+7的最小值是多少？

（3）代數(shù)式-m2+2m-7的最大值是多少？

（4）求方程2x2-2x-4=0的解.

經(jīng)歷以上幾道題的練習(xí)，學(xué)生對(duì)配方法的應(yīng)用步驟、蘊(yùn)含的本質(zhì)以及配方的目標(biāo)等有了更加明確的認(rèn)識(shí)，為后繼學(xué)習(xí)夯實(shí)了知識(shí)基礎(chǔ). 當(dāng)然，這不能說區(qū)區(qū)幾道題就能達(dá)到多么好的教學(xué)效果，此類練習(xí)并不在本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)范疇內(nèi)，對(duì)學(xué)生的掌握程度沒有明確的要求. 因此，淺嘗輒止即可，教師無須在此花費(fèi)太多時(shí)間與精力引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深究.

配方法作為初中數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)之一，學(xué)生在掌握與應(yīng)用上總存在一定的障礙，因此當(dāng)學(xué)生初步接觸這部分內(nèi)容時(shí)，教師可適當(dāng)?shù)丶右陨罨c滲透，讓學(xué)生在思想上更容易接納配方法的應(yīng)用，這種未雨綢繆的教學(xué)方法為學(xué)生后期構(gòu)造配方法的知識(shí)體系與理解其本質(zhì)奠定了基礎(chǔ). 同時(shí)，教師在提前滲透時(shí)，可適當(dāng)?shù)卣故九浞椒ǖ氖褂帽尘?，讓學(xué)生理解“構(gòu)造一個(gè)非負(fù)數(shù)”的實(shí)際意義，為不同情境下的實(shí)際應(yīng)用做鋪墊.

提前接觸函數(shù)圖象

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，準(zhǔn)確地描繪函數(shù)圖象是研究函數(shù)最重要的手段，其中描點(diǎn)法貫穿學(xué)生整個(gè)函數(shù)學(xué)習(xí)生涯，從一次函數(shù)的學(xué)習(xí)開始，學(xué)生就有所接觸，但因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的簡單性（一條直線）與特殊性，往往讓師生都忽略了描點(diǎn)法在繪圖中的重要性. 若在一次函數(shù)授課時(shí)，微調(diào)教材內(nèi)容，超前帶領(lǐng)學(xué)生探索一些具有代表性的例子，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度去描點(diǎn)、連線，會(huì)讓學(xué)生感知到學(xué)習(xí)的趣味性，暴露描點(diǎn)法的本質(zhì).

案例5? “一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的教學(xué)

在探索y=2x+1的函數(shù)圖象時(shí)，學(xué)生經(jīng)歷了描點(diǎn)與連線的過程，在直角坐標(biāo)系中獲得了相應(yīng)的圖象（一條直線）. 由此，學(xué)生明確知道了一次函數(shù)y=2x+1的圖象為一條直線.

眾所周知，兩點(diǎn)就能確定一條直線，只要確定一次函數(shù)的圖象為直線，那就不需要費(fèi)時(shí)間描多個(gè)點(diǎn)，任意標(biāo)出一次函數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，再連線即可獲得相應(yīng)的圖象. 但這種方法對(duì)剛剛接觸描點(diǎn)法的學(xué)生而言，會(huì)形成一種思維沖突，影響學(xué)生對(duì)后繼學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解. 若想消除這種負(fù)面影響，教師可做以下教學(xué)設(shè)計(jì)：

師：通過前面學(xué)習(xí)，我們都明確知道了y=2x+1為一次函數(shù)，圖象為一條直線，現(xiàn)在我們來猜想一下y=x2是什么函數(shù).

生5：應(yīng)該是二次函數(shù).

師：不錯(cuò)，二次函數(shù)的圖象會(huì)是什么樣子的呢？現(xiàn)在我們模仿對(duì)一次函數(shù)的探索過程，通過描點(diǎn)法去分析其圖象.

在教師的啟發(fā)下，學(xué)生可自主列表、描點(diǎn)、連線，很快就能獲得y=x2的圖象.

此過程僅僅是為了讓學(xué)生感知描點(diǎn)法的重要性，體驗(yàn)這種方法研究未知函數(shù)圖象的作用，因此該過程只需要蜻蜓點(diǎn)水即可，無須帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行深入探究. 二次函數(shù)的提前滲透，還讓學(xué)生感知到，并不是所有的函數(shù)圖象都是直線，在建構(gòu)認(rèn)知體系時(shí)，可糾正一些主觀的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).

總之，面對(duì)數(shù)學(xué)教材，教師應(yīng)在領(lǐng)悟其設(shè)計(jì)意圖的基礎(chǔ)上，站到一個(gè)宏觀的角度去分析教材與學(xué)情，這樣才能在課堂中利用好教材，并突破教材的限制，達(dá)到靈活應(yīng)用、精益求精的境界[3]. 當(dāng)然，提前滲透數(shù)學(xué)知識(shí)的前提是學(xué)生能接受、樂于接受. 實(shí)踐證明，謹(jǐn)慎、適度的提前滲透能有效拓寬學(xué)生的視野，提高教學(xué)效率，拔高學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

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