對(duì)數(shù)正態(tài)分布參數(shù)的最優(yōu)區(qū)間估計(jì)及應(yīng)用

朱 海，陳修素，王君琦

(重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 南岸 400067)

1 引言

正態(tài)分布作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的分布之一，其廣泛的應(yīng)用性使它成為眾多學(xué)者研究的目標(biāo)，其衍生出的對(duì)數(shù)正態(tài)分布也在統(tǒng)計(jì)學(xué)中占有一席之地，被應(yīng)用于生物、金融、醫(yī)療等多個(gè)領(lǐng)域.多年來(lái)，不斷有學(xué)者就對(duì)數(shù)正態(tài)分布的區(qū)間估計(jì)及應(yīng)用作出了一些研究，黃超[1]計(jì)算出了對(duì)數(shù)正態(tài)分布參數(shù)的矩估計(jì)、極大似然估計(jì)和貝葉斯估計(jì),并討論了參數(shù)的區(qū)間估計(jì)；韓峰等人[2]針對(duì)產(chǎn)品抗輻射能力服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布、實(shí)驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)為成敗型實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的情形,運(yùn)用Bayes方法給出了在給定置信度下產(chǎn)品平均抗輻射能力置信下限的計(jì)算方法；李秀珍[3]利用Fisher的信仰推斷方法,給出了對(duì)數(shù)正態(tài)總體分布位置參數(shù)的信仰水平為1-α的信仰區(qū)間估計(jì).本文在前面學(xué)者的研究基礎(chǔ)上，研究了對(duì)數(shù)正態(tài)分布中尺度參數(shù)的最短區(qū)間估計(jì)問題.

2 預(yù)備知識(shí)

2.1 正態(tài)分布與對(duì)數(shù)正態(tài)分布定義

定義1 若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：

(1)

則稱隨機(jī)變量X服從均值為μ、方差為σ2的正態(tài)分布，記為X～N(μ,σ2).特別地，當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)，該分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.正態(tài)分布(又稱高斯分布)是一種使用最為廣泛的對(duì)稱分布，圖像關(guān)于直線x=μ對(duì)稱，故μ又稱為位置參數(shù)；σ為標(biāo)準(zhǔn)差，反映的是數(shù)據(jù)變量的離散程度，圖像上可以決定圖形的高矮胖瘦，故而稱為形狀參數(shù)，又或叫尺度參數(shù).

定義2 若隨機(jī)變量X取對(duì)數(shù)后服從正態(tài)分布，即存在Y=lnX～N(μ,σ2)，則稱隨機(jī)變量X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布.根據(jù)定義1，可推出其概率密度為

(2)

2.2 正態(tài)分布與對(duì)數(shù)正態(tài)分布的比較

由上述定義可知，正態(tài)分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布非常相似，一個(gè)是隨機(jī)變量本身服從正態(tài)分布，一個(gè)是隨機(jī)變量取對(duì)數(shù)后服從正態(tài)分布，對(duì)數(shù)正態(tài)分布相當(dāng)于正態(tài)分布經(jīng)指數(shù)變換后得到，故對(duì)數(shù)正態(tài)分布有效區(qū)間為(0,+∞)；另外，對(duì)數(shù)正態(tài)分布不再是對(duì)稱分布，且總是右偏分布，其分布均值和方差均發(fā)生了變化.下面列舉一些這兩種分布的數(shù)字特征和常用統(tǒng)計(jì)量：

①對(duì)正態(tài)分布的總體X有：

②對(duì)數(shù)正態(tài)分布的總體X有：

3 對(duì)數(shù)正態(tài)分布參數(shù)σ2的區(qū)間估計(jì)和最短區(qū)間估計(jì)

眾所周知，對(duì)數(shù)正態(tài)分布是常見的一種右偏分布，由于它的非對(duì)稱性，平時(shí)所求的同等置信區(qū)間并不是最短區(qū)間，下面就針對(duì)對(duì)數(shù)正態(tài)分布的一種情形進(jìn)行討論.

μ未知時(shí)求σ2的置信區(qū)間：

(3)

求解可得σ2的1-α等尾置信區(qū)間為：

(4)

(5)

在討論最短置信區(qū)間之前，我們先引入幾個(gè)引理：

引理2[6]若f(x)為單峰連續(xù)密度函數(shù)，設(shè)其支撐區(qū)間為(a,b)，x0∈(a,b)為極大值點(diǎn)，由極大值點(diǎn)定義可知，當(dāng)x0；則對(duì)任意x1,x2∈(a,b)，且滿足af′(x2)成立.

引理3[6]在引理2成立的條件下，若x1x0(或x0>x2)，使得f(x1)=f(x2).

引理4(介值定理[7]) 設(shè)f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，如f(m)為f(x)的最小值，f(n)為f(x)的最大值，對(duì)滿足f(m)<μ

以下討論對(duì)數(shù)正態(tài)分布的未知參數(shù)σ2的最短置信區(qū)間問題：

(6)

現(xiàn)考慮引入a、b，使得

3.精讀。精讀，就是潛心地讀，反復(fù)地讀。常言說(shuō)得好：讀書百遍，其義自見。精讀的目的是從讀中獲得情感體驗(yàn)和創(chuàng)造性的理解，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)抓住文章中的重點(diǎn)句、段進(jìn)行朗讀體會(huì)。

(7)

(8)

其中f(x,n-1)為χ2(n-1)的概率密度函數(shù)，為：

(9)

下面應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法求解上述問題(8)的條件最值：

首先，建立拉格朗日函數(shù)為：

令L(a,b,λ)對(duì)a,b,λ求一階偏導(dǎo)數(shù)令其等于0，可得其駐點(diǎn)，即：

化簡(jiǎn)得：

(10)

(11)

聯(lián)立(10)、(11)可求得的解A(a*,b*)，即是所要求的駐點(diǎn).

下面證明A點(diǎn)的存在性和唯一性：

(12)

對(duì)f(x,n-1)求一階導(dǎo)數(shù)，得：

(13)

令上式(13)等于0，得x**=n-3；同時(shí)可得當(dāng)x∈(0,n-3)時(shí)，f′>0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(n-3,+∞)時(shí)，f′<0，函數(shù)單調(diào)遞減，故x**也為函數(shù)的最大值點(diǎn)，即有：

(14)

故對(duì)于1-a∈(0,1)(0

成立.

4 實(shí)證對(duì)比研究

取2009-2018年10年內(nèi)滬市上市公司股票市盈率(%)的數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)來(lái)源于EPS數(shù)據(jù)庫(kù))X如下：

28.73，21.61，13.40，12.30，10.99，15.99，17.63，15.94，18.16，12.49.

將這些樣本數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)(Y=lnX)后如下：

3.36，3.07，2.60，2.51，2.40，2.77，2.87，2.77，2.90，2.52.

通過R語(yǔ)言進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)Y服從正態(tài)分布.現(xiàn)求尺度參數(shù)σ2的傳統(tǒng)區(qū)間估計(jì)和最短區(qū)間估計(jì)(α=0.05).

(15)

代入數(shù)值得[0.03997361061，0.28159161606]，區(qū)間長(zhǎng)度為0.24161800545.而采用(4)、(5)求得的駐點(diǎn)，通過MATLAB軟件計(jì)算得A=(3.3226357,3.3275426)，進(jìn)而計(jì)算最短置信區(qū)間為[0.02285199895,0.22885746999]，區(qū)間長(zhǎng)度為0.20600547104.

通過結(jié)果對(duì)比可知，運(yùn)用最短置信區(qū)間法所計(jì)算的區(qū)間長(zhǎng)度比運(yùn)用傳統(tǒng)區(qū)間估計(jì)法所計(jì)算的區(qū)間長(zhǎng)度縮短了0.0356125344.綜上研究，對(duì)于股票收益率來(lái)講，區(qū)間縮短了0.0356125344，這樣的估計(jì)結(jié)果更精準(zhǔn)，說(shuō)明文章所研究的最優(yōu)區(qū)間估計(jì)法的實(shí)用價(jià)值.當(dāng)然，對(duì)數(shù)正態(tài)分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，當(dāng)需要研究參數(shù)的最優(yōu)區(qū)間估計(jì)時(shí)，上述最優(yōu)區(qū)間估計(jì)法具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值.