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    定數(shù)截尾場合三參數(shù)pareto分布參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間

    2022-04-27 02:22:32李云飛
    內(nèi)江師范學院學報 2022年4期
    關鍵詞:樞軸定數(shù)置信區(qū)間

    劉 璐, 李云飛

    (西華師范大學 數(shù)學與信息學院, 四川 南充 637009)

    0 引言

    Pareto分布是研究收入模型的一種分布,經(jīng)過不斷發(fā)展,由兩參數(shù)pareto分布推廣到三參數(shù)pareto分布和廣義pareto分布.Pareto 分布在社會經(jīng)濟、軍事以及可靠性統(tǒng)計分析等很多領域中得到廣泛的應用[1].因此,研究 pareto 分布,尤其是研究其參數(shù)估計問題,具有重要的理論意義和實用價值.

    關于pareto分布參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間,許多專家和學者對其進行了研究,已經(jīng)形成了豐富的研究成果.Neyman[2]的理論,在給定置信水平,以保證有一定的可靠度下,精度往往用區(qū)間長度來衡量,區(qū)間長度越短說明對參數(shù)估計得越準確.Ali等[3]提出了一種推導廣義pareto分布形狀參數(shù)統(tǒng)計檢驗的一般方法,并證明了這種方法優(yōu)于經(jīng)典的極大似然比檢驗.Singh等[4]利用最大熵原理,提出了三參數(shù)廣義pareto分布參數(shù)估計一種新的方法.佟毅[5]研究并給出了定數(shù)截尾下指數(shù)分布平均壽命參數(shù)和平均失效率參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間,通過算例分析并得出了小樣本場合下用最優(yōu)置信區(qū)間作為未知參數(shù)的置信區(qū)間更好.王娟等[6]給出Pareto分布中尺度參數(shù)的幾種區(qū)間估計方法,重點研究之前不常見的極大似然估計的漸近正態(tài)性法和輪廓似然函數(shù)法,并說明這幾種方法的適應范圍及優(yōu)缺點.徐美萍等[7]通過對比weibull分布尺度參數(shù)的最短置信區(qū)間和常用置信區(qū)間,發(fā)現(xiàn)研究小樣本情形時參數(shù)最短置信區(qū)間的重要性和必要性.王芳等[8]將兩參數(shù)的pareto分布情形推廣到了三參數(shù),并研究了尺度參數(shù)和形狀參數(shù)估計的漸進性質.劉榮玄等[9]在逐步增加首失效截尾樣本下,研究了三參數(shù)pareto分布族形狀參數(shù)的一致最小方差無偏估計.秦祖啟等[10]討論了樞軸量服從F分布,而F分布的密度函數(shù)是極不對稱的,基于此兩正態(tài)分布方差比優(yōu)化后的置信區(qū)間.蔡潔等[11]用最優(yōu)假設檢驗的統(tǒng)計量構造出兩正態(tài)總體方差比的樞軸量,并從最短置信區(qū)間的本質意義出發(fā),構造出求解最短置信區(qū)間的條件和證明出其解的存在唯一性,得出用最短置信區(qū)間作為方差比的區(qū)間估計,精度將會得到顯著提高.劉璐等[12]通過構造置信區(qū)間的一個樞軸量的方法,求定數(shù)截尾場合Pareto分布形狀參數(shù)的最短置信區(qū)間,并將其與傳統(tǒng)方法求得的置信區(qū)間進行對比分析得出最優(yōu)置信區(qū)間.

    本文將在定數(shù)截尾壽命試驗場合下,針對三參數(shù)pareto分布單總體參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間和兩總體形狀參數(shù)比的最優(yōu)置信區(qū)間進行研究.

    1 單總體尺度參數(shù)σ的置信區(qū)間

    若隨機變量X服從三參數(shù)Pareto分布,其密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為

    f(x;σ,θ,μ)=θσθ(x-μ)-(1+θ),x>σ+μ,

    (1)

    F(x;σ,θ,μ)=1-σθ(x-μ)-θ,

    (2)

    記為X~Pareto(θ,σ,μ),其中θ>0為形狀參數(shù),σ>0為尺度參數(shù),μ∈R為位置參數(shù),并假設為已知常數(shù).

    抽取來自總體Pareto(θ,σ,μ)的容量為n的一個樣本X1,X2,…,Xn,當有r個樣品失效時停止壽命試驗,失效數(shù)據(jù)為X(1)≤X(2)≤…≤X(r).

    1.1 用樞軸量法求σ的最短置信區(qū)間

    定理1設T1,T2,…,Tn是來自雙參數(shù)指數(shù)分布總體E(δ,θ)的容量為n的樣本,定數(shù)截尾數(shù)是r,T(1)≤T(2)≤…≤T(r)是前r個次序統(tǒng)計量,則:

    證明令H1=rT(1),Hi=(r-i+1)[T(i)-T(i-1)],i=2,3,…,r,則H1,H2,…,Hr相互獨立,且H1~E(r,δ,θ),H2,H3,…,Hr同分布于E(θ),那么H1-rδ,H2,…,Hr獨立同分布于E(θ),則:

    為了求δ的最短置信區(qū)間,假設存在a,b(0

    此時δ的置信區(qū)間為:

    這個區(qū)間的平均長度為:

    定理2當α0=0時,δ的置信度為1-α的最短置信區(qū)間為:

    設h(α0)=b-a,則

    (3)

    其中

    1.2 用輪廓似然函數(shù)法求σ的置信區(qū)間

    因為總體Pareto(θ,σ,μ)含有三個參數(shù),而現(xiàn)在只對尺度參數(shù)σ進行估計,所以可以通過輪廓似然函數(shù)法求其置信區(qū)間.

    令η=(θ,σ,μ)Τ,根據(jù)(1)和(2)得η在定數(shù)截尾壽命試驗下的似然函數(shù)為:

    從而η的對數(shù)似然函數(shù)為:

    (4)

    (5)

    要使lnL(xi,η)取得最大值,則σ的極大似然估計為:

    (6)

    θ的極大似然估計為:

    (7)

    由(4)式可以得到參數(shù)σ的輪廓似然函數(shù)為:

    將(5)式代入lnpL(xi,η)中得到:

    又因為參數(shù)σ的偏差度函數(shù)為:

    將(6)和(7)代入上式得到:

    所以,對于給定的α∈(0,1),構造σ的置信區(qū)間:

    (8)

    2 兩總體形狀參數(shù)比θ2/θ1的置信區(qū)間

    定理3設X1,X2,…,Xn1是來自總體Pareto(θ1,σ1,μ1)的樣本,Y1,Y2,…,Yn2來自總體Pareto(θ2,σ2,μ2)的樣本,兩個總體相互獨立.對它們做定數(shù)截尾壽命試驗后,得到失效數(shù)據(jù)分別為:X(1)≤X(2)≤…≤X(r),Y(1)≤Y(2)≤…≤Y(r),其中θ1,σ1,θ2,σ2均未知.

    分別令T=ln(X-μ1),Z=ln(Y-μ2),則:

    證明令T=ln(X-μ1),Z=ln(Y-μ2),則fT(t;δ1,θ1)=θ1e-θ1(t-δ1),其中δ1=lnσ1;fY(y;δ2,θ2)=θ2e-θ2(t-δ2),其中δ2=lnσ2.根據(jù)定理1的證明,同理可得:

    ~F(2(r1-1),2(r2-1)).

    因為Q2的分布F(2(r1-1),2(r2-1))是已知的,且此分布與θ1,θ2無關.故將Q2作為樞軸量來構造形狀參數(shù)比θ2/θ1的置信區(qū)間.因為樞軸量服從F分布,F(xiàn)分布的概率密度函數(shù)非對稱分布,利用分位數(shù)

    構造的傳統(tǒng)置信區(qū)間

    就并非θ2/θ1的最短置信區(qū)間.其中

    為了求θ2/θ1的最短置信區(qū)間,假設存在φ1,φ2滿足0<φ1<φ2,使得:

    此時θ2/θ1的置信區(qū)間為:

    這個區(qū)間的平均長度為:

    當r1=2時,F(xiàn)(2(r1-1),2(r2-1))分布的第一自由度≤2,其密度函數(shù)為單調遞減,θ2/θ1的置信度為1-α的最短置信區(qū)間為:

    成立,其中g2(x)為F(2(r1-1),2(r2-1))分布的概率密度函數(shù),那么

    (9)

    為θ2/θ1的最短置信區(qū)間.

    3 算例分析

    3.1 隨機模擬

    利用Matlab軟件可以用隨機模擬的方法產(chǎn)生一個總體為X~Pareto(θ,σ,μ)的截尾樣本,具體步驟如下:

    1)產(chǎn)生一個容量為n=30且服從均勻分布U(0,1)的獨立同分布樣本T1,T2,…,Tn;

    2)當σ=b時,給定參數(shù)θ=a和μ=c,其中a,b,c均為不等于零的常數(shù).

    3.2 單總體定數(shù)截尾下對比樞軸量法和輪廓似然函數(shù)法所求得σ的最優(yōu)置信區(qū)間

    假設產(chǎn)品的壽命服從形狀參數(shù)為θ1=2.22、尺度參數(shù)為σ1=68和位置參數(shù)為μ1=10的pareto分布,現(xiàn)在從這批產(chǎn)品中隨機抽取n1個樣品進行定數(shù)截尾壽命試驗.當n1個樣品中出現(xiàn)第r1個失效時,所得到的壽命數(shù)據(jù)(小時)按照從小到大的順序排列如下:

    當r1=1時,X1=79.1231;

    當r1=2時,X1=79.1231,X2=81.2175;

    當r1=3時,X1=79.1231,X2=81.2175,X3=82.2896;

    當r1=30時,X1=79.1231,X2=81.2175,X3=82.2896,X4=82.8524,X5=83.4619,X6=84.0014,X7=88.7709,X8=95.0987,X9=97.0298,X10=101.7209,X11=107.1334,X12=116.7245,X13=119.8929,X14=119.9307,X15=123.4077,X16=135.4312,X17=138.7833,X18=148.0011,X19=150.4866,X20=155.3181,X21=169.4068,X22=207.0749,X23=214.668,X24=217.2301,X25=241.3268,X26=291.0766,X27=292.0871,X28=298.2338,X29=317.4058,X30=342.9619.

    給定置信水平為1-α=0.95,以下通過算例分析給出尺度參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間.具體算例結果如表1所示,其中置信區(qū)間1表示運用樞軸量法求得的尺度參數(shù)σ1的最短置信區(qū)間;置信區(qū)間2表示運用輪廓似然函數(shù)法求得的尺度參數(shù)σ1的置信區(qū)間;相對縮短比率ε%表示置信區(qū)間2的長度比置信區(qū)間1的長度相對縮短百分比.

    表1 尺度參數(shù)的置信區(qū)間的精度分析

    從表1中可以看出:對于定數(shù)截尾三參數(shù)pareto分布,當2≤r≤7和r≥14時,輪廓似然函數(shù)法所求得σ1的置信區(qū)間比樞軸量法求得的最短置信區(qū)間更優(yōu);當8≤r≤13時,樞軸量法所求得σ1的最短置信區(qū)間比輪廓似然函數(shù)法求得的置信區(qū)間更優(yōu).

    3.3 兩總體定數(shù)截尾下形狀參數(shù)比θ2/θ1的最優(yōu)置信區(qū)間

    在3.1的基礎上再進行壽命試驗,假設產(chǎn)品的壽命服從形狀參數(shù)為θ2=4.20,尺度參數(shù)為σ2=128和位置參數(shù)為μ2=25的pareto分布,現(xiàn)在從這批產(chǎn)品中隨機抽取n2=30個產(chǎn)品進行壽命試驗.當n2個樣品中出現(xiàn)第r2個失效時所得到的壽命數(shù)據(jù)(小時)按照從小到大的順序排列如下:

    當r2=1時,X1=153.9897;

    當r2=2時,X1=153.9897,X2=154.0728;

    當r2=3時,X1=153.9897,X2=154.0728,X3=154.4488;

    當r2=30時,X1=153.9897,X2=154.0728,X3=154.4488,X4=156.1522,X5=156.9200,X6=158.5244,X7=159.4624,X8=160.9591,X9=163.2322,X10=163.2730,X11=165.1679,X12=166.3306,X13=168.5161,X14=171.8702,X15=172.2997,X16=175.2410,X17=175.8502,X18=182.8402,X19=188.9387,X20=189.9235,X21=192.8554,X22=194.8000,X23=196.3208,X24=196.7846,X25=203.8605,X26=205.7937,X27=211.7149,X28=218.4335,X29=286.4805,X30=300.0382.

    給定置信水平為1-α=0.95,以下通過算例分析給出兩總體形狀參數(shù)比的最優(yōu)置信區(qū)間.具體算例結果如下表所示:

    因為,對于F(2(r1-1),2(r2-1))分布,當?shù)谝蛔杂啥萺1≥3時,其密度函數(shù)才為單峰非對稱.由于篇幅的問題,這里只考慮r1=3,4,5,6,7,11,r2=4,5,6,7,11時,兩總體形狀參數(shù)比的置信區(qū)間.

    表2 形狀參數(shù)比θ2/θ1置信區(qū)間的精度分析

    從表2可以看出固定r1的取值時,隨著r2的取值不斷增大,最短置信區(qū)間下邊界值不斷增大(φ1的取值不斷增大),最短置信區(qū)間上邊界值不斷減小(φ2的取值不斷減小),形狀參數(shù)比的置信區(qū)間的精度越來越高;同時還可以看出,兩種方法算得的置信區(qū)間的長度隨著r2的增大差異越來越小,縮小的速度也越來越慢.因此,在樣本容量較小時,形狀參數(shù)比的最短置信區(qū)間即為最優(yōu)置信區(qū)間.

    4 結論

    利用“樞軸量”和“輪廓似然函數(shù)”兩種方法,求出了定數(shù)截尾場合下三參數(shù)pareto分布單總體尺度參數(shù)σ的置信區(qū)間,通過算例分析的結果,得到當2≤r≤7和r≥14時,輪廓似然函數(shù)法所求得σ的置信區(qū)間比樞軸量法求得的置信區(qū)間更短,所以此時用輪廓似然函數(shù)法求得的置信區(qū)間即為最優(yōu)置信區(qū)間;當8≤r≤13時,樞軸量法求得的置信區(qū)間長度更短,這時用樞軸量法求得的置信區(qū)間即為最優(yōu)置信區(qū)間.然后,根據(jù)樞軸量法得到了兩總體形狀參數(shù)比θ2/θ1的最優(yōu)置信區(qū)間,由于容易構造形狀參數(shù)比θ2/θ1置信區(qū)間所需的樞軸量,且樞軸量所服從分布的密度函數(shù)曲線是單峰非對稱,在樣本容量較小時,用最短置信區(qū)間作為目標函數(shù)得到的置信區(qū)間比按傳統(tǒng)概率對稱方法求得的置信區(qū)間更優(yōu),參數(shù)估計精度也得到顯著提高.

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