一道圓錐曲線?？碱}的解法探究及拓展

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 曾文佩

1 原題呈現(xiàn)

(1)求C的方程;

(2)已知點(diǎn)F (1,0),直線l : x = 4與x軸的交點(diǎn)為D.直線AM與l交于點(diǎn)N,是否存在常數(shù)λ,使得∠MFD =λ∠NFD?若存在,求λ的值.若不存在,說(shuō)明理由.

2 解法探究

第(1)問(wèn)直接設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo),利用斜率關(guān)系即可求得C的方程,主要探討第(2)問(wèn)的解法.

綜上所述,存在常數(shù)λ= 2,使得∠MFD = 2∠NFD.

注記解法一的一方面將直線AM的斜率看做變量,由斜率的變化引起點(diǎn)M和點(diǎn)N的變化,可用斜率k來(lái)表示M和N的坐標(biāo),進(jìn)而表示∠MFD與∠NFD的正切值.另一方面,通過(guò)特殊點(diǎn),先猜想λ的值,再利用正切的二倍角關(guān)系來(lái)得到一般情況下的兩角關(guān)系.此解法中的斜率k并不需要求出,蘊(yùn)含了設(shè)而不求的想法.

綜上所述,存在常數(shù)λ= 2,使得∠MFD = 2∠NFD.

注記解法二與解法一類似,也是利用正切的二倍角關(guān)系來(lái)得到兩角的關(guān)系.不同之處在于,此解法將點(diǎn)N看作是變量,由點(diǎn)N的縱坐標(biāo)n的變化引起點(diǎn)M的變化,故用n來(lái)表示∠MFD與∠NFD的正切值,對(duì)n同樣采取設(shè)而不求的做法來(lái)處理.

心理學(xué)家利昂·費(fèi)斯廷格認(rèn)為，跟其他人比較是一種本能的欲望。通過(guò)比較，我們才能找到自己所處的社會(huì)地位，向著更好的地方憧憬追逐，面對(duì)不如我們的人會(huì)讓我們有牢固的安全感和幸福感。

易知點(diǎn)N到直線FD的距離為|ND| = |n|,所以d = |ND|,所以NF平分∠MFD,即∠MFD = 2∠NFD,故λ= 2.

注記解法三利用了角平分線的判定定理,通過(guò)求出點(diǎn)N到兩邊的距離相同證明NF是角平分線,從而得到∠MFD與∠NFD的關(guān)系.運(yùn)用此解法解題,應(yīng)先判斷出關(guān)系,大膽猜想,小心驗(yàn)證.

注記此解法注意到直線l很特殊,是橢圓的右準(zhǔn)線,可運(yùn)用橢圓的第二定義得到一些線段比例關(guān)系,而外角平分線定理聯(lián)系了線段比值和角,因此可考慮應(yīng)用三角形外角平分線定理的逆定理,得到兩角的關(guān)系.

圖1

所以|MG| = |MF|,所以∠MFG =∠MGF.又因?yàn)椤螹GF =∠GFD,所以∠MFG =∠GFD,即∠MFD =2∠NFD,故λ= 2.

注記解法五幾乎完全是從平面幾何出發(fā),利用平行線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等,還運(yùn)用了解析幾何中的兩點(diǎn)間距離公式,直接證明∠MFG =∠GFD,從而得到∠MFD與∠NFD的關(guān)系.

注記解法六從向量的角度出發(fā),由向量的平行四邊形法則和菱形的性質(zhì)(菱形的對(duì)角線平分每一組對(duì)角),可知兩單位向量的和向量所在直線恰好平分角∠MFD,通過(guò)證明和向量與的位置關(guān)系,從而得到FN是∠MFD的角平分線.此解法是向量在幾何中的應(yīng)用,體現(xiàn)了向量的強(qiáng)大功能.

在解析幾何問(wèn)題中,一般可以從多個(gè)角度入手,常用的解析法思路比較清晰,但一般會(huì)有較大的運(yùn)算量,需要具備良好的運(yùn)算能力;而幾何法則在一定程度上減少了計(jì)算量,但更強(qiáng)調(diào)需要有良好的推理能力.解析法與幾何法的結(jié)合往往能達(dá)到事半功倍的效果.

3 題目溯源

通過(guò)查閱文獻(xiàn),在文[1]中找到了本題所考察的橢圓的性質(zhì).文[1]的性質(zhì)6證明了如下的一個(gè)關(guān)聯(lián)橢圓準(zhǔn)線的性質(zhì):

性質(zhì)(文[1]性質(zhì)6)如圖2,設(shè)F (-c,0)為橢圓= 1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn),不過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓交于A、M兩點(diǎn),且與橢圓的左準(zhǔn)線l交于N,則NF平分∠AFM的外角.

圖2

圖3

此性質(zhì)的證明可類似第(2)問(wèn)的解法四得到.當(dāng)上述點(diǎn)F為右焦點(diǎn)、直線l為右準(zhǔn)線、點(diǎn)A為左頂點(diǎn)時(shí),對(duì)應(yīng)的結(jié)論就是本題第(2)問(wèn)考察的角的關(guān)系,即如下推論:

4 拓展

受文[1]的啟發(fā),進(jìn)一步思考拋物線與雙曲線是否有文[1]性質(zhì)6的類似結(jié)論,通過(guò)推導(dǎo),可得到以下結(jié)論:

結(jié)論1如圖4,已知拋物線C : y2= 2px(p＞0),焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.不過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、M兩點(diǎn),與l交于點(diǎn)N,則NF平分∠MFA的外角.

圖4

①當(dāng)A、M在雙曲線的不同支上時(shí), NF平分∠MFA,如圖5;

圖5

②當(dāng)A、M在雙曲線的同一支上時(shí), NF平分∠MFA的外角,如圖6.

圖6

結(jié)論2的證明可參照結(jié)論1的證明得到,此處不再贅述.此外,在對(duì)原題進(jìn)行復(fù)盤(pán)時(shí),出現(xiàn)了與原題第(2)問(wèn)相反的一個(gè)問(wèn)題:若點(diǎn)N滿足∠MFD = 2∠NFD時(shí),即NF平分∠MFA(或∠MFA的外角)時(shí),點(diǎn)N是否一定會(huì)在相應(yīng)的準(zhǔn)線上?答案是肯定的,有如下結(jié)論:

結(jié)論3已知橢圓C := 1(a＞b＞0),右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為l.不過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓交于A、M兩點(diǎn),點(diǎn)N是直線AM上一點(diǎn),且NF平分∠MFA的外角,則點(diǎn)N在右準(zhǔn)線l上.

證明假設(shè)點(diǎn)N不在橢圓的右準(zhǔn)線l上.設(shè)直線AM與右準(zhǔn)線l交于點(diǎn)G,則點(diǎn)G與點(diǎn)N不重合.由上述推論可知,GF是∠MFA的外角平分線,則點(diǎn)N與點(diǎn)G均為∠MFA的外角平分線與直線AM的交點(diǎn),所以點(diǎn)G與點(diǎn)N為同一點(diǎn),與假設(shè)矛盾!故點(diǎn)N在右準(zhǔn)線l上.

結(jié)論4已知雙曲線C := 1(a＞0,b＞0),右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為l.不過(guò)點(diǎn)F的直線與雙曲線交于A、M兩點(diǎn),點(diǎn)N是直線AM上一點(diǎn):

①當(dāng)A、M在雙曲線不同支上,且NF平分∠MFA時(shí),點(diǎn)N在右準(zhǔn)線l上;

②當(dāng)A、M在雙曲線同一支上,且NF平分∠MFA的外角時(shí),點(diǎn)N也在右準(zhǔn)線l上.

結(jié)論5已知拋物線C : y2= 2px(p＞0),焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.不過(guò)F的直線與拋物線交于A、M兩點(diǎn),點(diǎn)N是直線AM上的一點(diǎn),且NF平分∠MFA的外角,則點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上.

結(jié)論4與結(jié)論5的證明可參照結(jié)論3的證明,不再贅述.