平均值不等式的引伸

武漢軟件工程職業(yè)學院(430205) 劉小寧

和平均值不等式

等號成立當且僅當a1= a2=···= an.

基于變量替換[1],本文引伸了平均值不等式(1),得到6個關(guān)于平均值中變量ai個數(shù)n的不等式,并舉例說明其應用.

定理1An與Gn之間存在如下兩個不等式

等號成立當且僅當a1= a2=···= an.

證明設xi為正數(shù), xi的個數(shù)n≥2,當i = 1,2,···,n時,由式(1)得關(guān)于xi的算術(shù)—幾何平均值不等式

式(4)等號當且僅當x1= x2=···= xn時成立.

1)對式(4)進行變量替換,令x1= x2=···= xn-1=Gn-1,xn= an得

而

將式(6)代入式(5)中整理得到式(2),根據(jù)式(1)等號成立的條件,可知式(2)等號當且僅當x1= x2=···=xn-1= Gn-1= xn= an,即a1= a2=···= an時成立.

2)對式(4)進行變量替換,令x1= x2=···= xn-1=An-1,xn= an得

而

將式(8)代入式(7)中整理得到式(3),根據(jù)式(1)等號成立的條件,可知式(3)等號當且僅當x1= x2=···= xn=An-1= an,即a1= a2=···= an時成立.

式(2)和式(3)分別是Rado不等式和Popovic不等式[2-3],與參考文獻[4-8]相比,文中根據(jù)著名的平均值不等式(1),采用變量替換的證明方法是比較簡明的.

定理2An與Hn之間存在如下兩個不等式

等號成立當且僅當a1= a2=···= an.

證明設xi為正數(shù), xi的個數(shù)n≥2,當i = 1,2,···,n時,由式(1)得關(guān)于xi的算術(shù)—調(diào)和平均值不等式

式(11)等號當且僅當x1= x2=···= xn時成立.

1)對式(11)進行變量替換,令x1= x2=···= xn-1=Hn-1,xn= an得

將式(6)代入式(12)中整理得到式(9),根據(jù)式(1)等號成立的條件,可知式(9)等號當且僅當x1= x2=···= xn-1=Hn-1= xn= an,即a1= a2=···= an時成立.

2)對式(11)進行變量替換,令x1= x2=···= xn-1=An-1,xn= an得An≥,即

而

將式(14)代入式(13)中整理得到式(10),根據(jù)式(1)等號成立的條件,可知式(10)等號當且僅當x1= x2=···=xn-1= An-1= xn= an,即a1= a2=···= an時成立.

定理3Gn與Hn之間存在如下兩個不等式

等號成立當且僅當a1= a2=···= an.

證明設xi為正數(shù), xi的個數(shù)n≥2,當i = 1,2,···,n時,由式(1)得關(guān)于xi的幾何—調(diào)和平均值不等式

式(17)等號當且僅當x1= x2=···= xn時成立.

1)對式(17)進行變量替換,令x1= x2=···= xn-1=Gn-1,xn= an,得

將式(14)代入式(18)中整理得到式(15),根據(jù)式(1)等號成立的條件,可知式(15)等號當且僅當x1= x2=···=xn-1= Gn-1= xn= an,即a1= a2=···= an時成立.

2)對式(17)進行變量替換,令x1= x2=···= xn-1=Hn-1,xn= an,得

將式(8)代入式(19)中整理得到式(16),根據(jù)式(17)等號成立的條件,可知式(16)等號當且僅當x1= x2=···=xn-1= Hn-1= xn= an,即a1= a2=···= an時成立.

顯然,定理1～3是算術(shù)—幾何—調(diào)和平均值不等式(1)的引伸,利用定理1—定理3,可以導出一些有趣的不等式.

將不等式(3)與(16)兩邊分別相乘,可得:

例1An與Hn之間有如下不等式成立

等號成立當且僅當a1= a2=···= an.

將不等式(2)與(9)兩邊分別相加,可得:

例2An、Gn與Hn之間存在如下不等式

等號成立當且僅當a1= a2=···= an.

將不等式(10)與(15)兩邊分別相加,可得:

例3An、Gn與Hn之間成立如下不等關(guān)系

等號成立當且僅當a1= a2=···= an.