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    關于不定方程x2-8y4=M(M=17,41,73,89,97)*

    2022-05-10 00:52:04管訓貴
    關鍵詞:取模對式易知

    管訓貴

    (泰州學院 數(shù)理學院,江蘇 泰州 225300)

    1 引言及主要結論

    設d,k為給定的整數(shù),且d>0為非平方數(shù),k≠0.N(d,k)表示不定方程

    x2-dy4=k

    (1)

    的正整數(shù)解的個數(shù).

    1983年,Tzanakis[1]對不定方程(1)進行了系統(tǒng)研究,證明了

    定理1a)N(2,17)=0,在y≡0(mod 8)時;b)N(2,41)=0,在y≡0(mod 8)時;

    c)N(2,73)=0,在2|y且y?0(mod 3)時;d)N(2,89)=0,在y≡0(mod 16)時;

    e)N(2,97)=0,在y≡0(mod 8)時.

    定理2a)N(8,17)=0,在y≡0(mod 8)時;b)N(8,41)=0,在y≡0(mod 4)時;

    c)N(8,73)=0,在2|y且y?0(mod 3)時;d)N(8,89)=0,在2|y且y?0(mod 5)時;

    e)N(2,97)=0,在y≡0(mod 4)時.

    2020年,管訓貴[2]運用初等方法完全解決了定理1,即證明了

    定理3i)N(2,17)=2,(x,y)=(7,2),(23,4);ii)N(2,41)=0;iii)N(2,73)=0;iv)N(2,89)=2,(x,y)=(11,2),(91,8);v)N(2,97)=0.

    可是,定理2至今尚未得到改進.本文仍用初等方法,獲得

    定理4i)N(8,17)=1,(x,y)=(5,1);ii)N(8,41)=3,(x,y)=(7,1),(13,2),(71,5);iii)N(8,73)=1,(x,y)=(9,1);iv)N(8,89)=1,(x,y)=(283,10);v)N(8,97)=1 ,(x,y)=(15,2).

    2 定理4的證明

    為便于下文應用,我們先列出Pell方程U2-8V2=1的遞推序列和數(shù)論性質:

    un+2=6un+1-un,u0=1,u1=3;

    (2)

    vn+2=6vn+1-vn,v0=0,v1=1;

    (3)

    un+r=unur+8vnvr,vn+r=unvr+vnur;

    (4)

    (5)

    u-n=un,v-n=-vn;

    (6)

    (7)

    un+2km≡(-1)kun(modum);vn+2km≡(-1)kvn(modum).

    (8)

    下面證明定理4.

    i) 設相應的不定方程為

    x2-8y4=17.

    (9)

    易知,方程X2-8Y2=17的一般解可由以下2個非結合類給出:

    若方程(9)有整數(shù)解,則必有n,使得

    y2=±(un+5vn),或y2=±(un-5vn)=±(u-n+5v-n).

    當n≥0時,un+5vn>0;當n<0時,un+5vn<0.因此可歸結為

    y2=un+5vn,n≥0;

    (10)

    y2=-un+5vn,n>0.

    (11)

    先討論式(10).文中用T表示取模所得剩余序列的周期.

    利用(2)和(3)對式(10)取模5,得T=6,且當n≡1,2,4,5(mod 6)時,un+5vn≡3,2,2,3(mod 5)均為模5的平方非剩余,故排除,剩n≡0,3(mod 6),即n≡0,3,6,9(mod 12).

    對式(10)取模11,得T=12,且當n≡3,6(mod 12)時,un+5vn≡10(mod 11)為模11的平方非剩余,故排除,剩n≡0,9(mod 12),即n≡0,9,12,21(mod 24).

    對式(10)取模1153,得T=24,且當n≡9,21(mod 24)時,un+5vn≡76,1077(mod 1153)均為模1153的平方非剩余,故排除,剩n≡0,12(mod 24),即n≡0(mod 12).

    若n≠0,則可設n=2×2t(2k+1)(t≥1,k≥0).令m=2t,則m≡1,2(mod 3),故2m≡2,4(mod 6).

    由式(10)和式(8),可知

    y2≡±(u2m+5v2m)≡±5v2m(modu2m).

    (12)

    考慮到2|m時,um≡1(mod 8),u2m≡1(mod 8),令2s‖vm,則由式(12)結合式(5)可得

    (13)

    再討論式(11).

    利用(2)和(3)對式(11)取模5,得T=6,且當n≡1,2,4,5(mod 6)時,-un+5vn≡2,3,3,2(mod 5)均為模5的平方非剩余,故排除,剩n≡0,3(mod 6),即n≡0,3,6,9(mod 12).

    對式(11)取模11,得T=12,且當n≡0,3(mod 12)時,-un+5vn≡10(mod 11)為模11的平方非剩余,故排除,剩n≡6,9(mod 12),即n≡6,9,18,21(mod 24).

    對式(11)取模1153,得T=24,且當n≡6,9,18,21(mod 24)時,-un+5vn≡60,274,1093,879(mod 1153)均為模1153的平方非剩余,故排除.因此式(11)不成立.

    綜上,方程(9)僅有正整數(shù)解(x,y)=(5,1).證畢.

    ii) 設相應的不定方程為

    x2-8y4=41.

    (14)

    易知,方程X2-8Y2=41的一般解可由以下兩個非結合類給出:

    若方程(14)有整數(shù)解,則必有n,使得

    y2=un+7vn,n≥0;

    (15)

    y2=-un+7vn,n>0.

    (16)

    先討論式(15).

    利用(2)和(3)對式(15)取模3,得T=4,且當n≡2,3(mod 4)時,un+7vn≡2(mod 3)為模3的平方非剩余,故排除,剩n≡0,1(mod 4),即n≡0,1,4,5(mod 8).

    對式(15)取模17,得T=8,且當n≡1,5(mod 8)時,un+7vn≡10,7(mod 17)均為模17的平方非剩余,故排除,剩n≡0,4(mod 8),即n≡0(mod 4).

    若n≠0,則可設n=2×2t(2k+1)(t≥1,k≥0).取m=2t,則m≡1,2(mod 3),故2m≡2,1(mod 3).

    由式(15)和式(8),可知

    y2≡±(u2m+7v2m)≡±7v2m(modu2m).

    (17)

    考慮到2|m時,um≡1(mod 8),u2m≡1(mod 8),令2s‖vm,則結合式(17)、式(5)可得

    (18)

    再討論式(16).

    利用(2)和(3)對式(16)取模3,得T=4,且當n≡0,3(mod 4)時,-un+7vn≡2(mod 3)為模3的平方非剩余,故排除,剩n≡1,2(mod 4),即n≡1,2,5,6,9,10(mod 12).

    對式(16)取模11,得T=12,且當n≡5,9,10(mod 12)時,-un+7vn≡10,8,7(mod 11)均為模11的平方非剩余,故排除,剩n≡1,2,6(mod 12).

    對式(16)取模7,得T=3,且當n≡0(mod 3)時,-un+7vn≡6(mod 7)為模7的平方非剩余,故排除n≡6(mod 12),剩n≡1,2(mod 12),即n≡1,2,13,14,25,26,37,38,49,50(mod 60).

    對式(16)取模59,得T=20,且當n≡13,14,6,17,9(mod 20)時,-un+7vn≡31,34,58,10,10(mod 59)均為模59的平方非剩余,故排除n≡13,14,26,37,49(mod 60),剩n≡1,2,25,38,50(mod 60).

    對式(16)取模601,得T=60,且當n≡38,50(mod 60)時,-un+7vn≡580,548(mod 601)均為模601的平方非剩余,故排除,剩n≡1,2,25(mod 60).顯然,n≡25(mod 60)等價于n≡25,85,145(mod 180).

    對式(16)取模2699,得T=180,且當n≡25,145(mod 180)時,-un+7vn≡756,1053(mod 2699)均為模2699的平方非剩余,故排除;又對式(16)取模199,得T=9,且當n≡4(mod 9)時,-un+7vn≡55(mod 199)為模199的平方非剩余,故排除n≡85(mod 180).最后剩n≡1,2(mod 60).

    若n≡1(mod 60)且n≠1,則令n=1+2×3×5×2t(2k+1)(t≥1,k≥0),并取

    式(16)結合式(4)和式(8)得

    y2=-un+7vn≡±(-u1+2m+7v1+2m)≡±13v2m(modu2m).

    (19)

    考慮到2|m時,um≡1(mod 8),u2m≡1(mod 8),令2s‖vm,則式(19)結合式(5)可得

    (20)

    對于n≡2(mod 60)且n≠2,令n=2+2×3×5×2t(2k+1)(t≥1,k≥0),并取

    則m≡1,8,16,23,22,9,12,26,19,10,20,15(mod 35),故2m≡2,16,32,11,9,18,24,17,3,20,5,30(mod 35).

    式(16)結合式(4)和式(8)得

    y2=-un+7vn≡±(-u2+2m+7v2+2m)≡±71v2m(modu2m).

    (21)

    考慮到2|m時,um≡1(mod 8),u2m≡1(mod 8),令2s‖vm,則式(21)結合式(5)可得

    (22)

    綜上,方程(14)僅有正整數(shù)解(x,y)=(7,1),(13,2)和(71,5).證畢.

    iii) 設相應的不定方程為

    x2-8y4=73.

    (23)

    易知,方程X2-8Y2=73的一般解可由以下兩個非結合類給出:

    若方程(23)有整數(shù)解,則必有n,使得

    y2=un+9vn,n≥0;

    (24)

    y2=-un+9vn,n>0.

    (25)

    先討論式(24).

    利用(2)和(3)對式(24)取模17,得T=8,且當n≡1,2,3,5,6,7(mod 8)時,un+9vn≡12,3,6,5,14,11(mod 17)均為模17的平方非剩余,故排除,剩n≡0,4(mod 8);再對式(24)取模8,得T=8,且當n≡4(mod 8)時,un+9vn≡5(mod 8)為模8的平方非剩余,故排除,剩n≡0(mod 8).

    對式(24)取模5,得T=6,且當n≡1,4(mod 6)時,un+9vn≡2,3(mod 5)均為模5的平方非剩余,故排除,剩n≡0,2,3,5(mod 6).由于2|n,所以n≡0,2(mod 6),即n≡0,2,6,8(mod 12).又4|n,故n≡0,8(mod 12),即n≡0,8,12,20,24,32(mod 36).

    對式(24)取模179,得T=36,且當n≡12,24(mod 36)時,un+9vn≡167,11(mod 179)均為模179的平方非剩余,故排除;對式(24)取模199,得T=9,且當n≡2,5(mod 9)時,un+9vn≡71,134(mod 199)均為模199的平方非剩余,故排除n≡20,32(mod 36),剩n≡0,8(mod 36),即n≡0,8,36,44(mod 72).

    對式(24)取模1009,得T=72,且當n≡8,44(mod 72)時,un+9vn≡770,239(mod 1009)均為模1009的平方非剩余,故排除,剩n≡0,36(mod 72),即n≡0(mod 36).

    對式(24)取模79,得T=13,且當n≡1,2,4,6(mod 13)時,un+9vn≡12,71,43,48(mod 79)均為模79的平方非剩余,故排除;再對式(24)取模599,得T=13,且當n≡3,5,7,8,10,11,12(mod 13)時,un+9vn≡414,287,359,449,383,562,593(mod 599)均為模599的平方非剩余,故排除,剩n≡0,9(mod 13),即n≡0,9,13,22,26,35(mod 39).

    由于3|n,所以n≡0,9(mod 39).

    對式(24)取模313,得T=39,且當n≡9(mod 39)時,un+9vn≡168(mod 313)為模313的平方非剩余,故排除,剩n≡0(mod 39).結合n≡0(mod 36)得n≡0(mod 468),當然就有n≡0(mod 78).

    式(24)結合式(6)和式(8)可得

    y2=un+9vn≡±(u±2m+9v±2m)≡±(u2m±9v2m)(modu3m).

    (26)

    (27)

    再討論式(25).

    利用(2)和(3)對式(25)取模7,得T=3,且當n≡0,1(mod 3)時,-un+9vn≡6(mod 7)為模7的平方非剩余,故排除,剩n≡2(mod 3),即n≡2,5(mod 6).再對式(25)取模5,得T=6,且當n≡2,5(mod 6)時,-un+9vn≡2,3(mod 5)均為模5的平方非剩余,故排除.因此式(25)不成立.

    綜上,方程(23)僅有正整數(shù)解(x,y)=(9,1).證畢.

    iv) 設相應的不定方程為

    x2-8y4=89.

    (28)

    易知,方程X2-8Y2=89的一般解可由以下兩個非結合類給出:

    若方程(28)有整數(shù)解,則必有n,使得

    y2=2un+11vn,n≥0

    (29)

    y2=-2un+11vn,n>0.

    (30)

    先討論式(29).

    利用(2)和(3)對式(29)取模3,得T=4,且當n≡0,1(mod 4)時,2un+11vn≡2(mod 3)為模3的平方非剩余,故排除,剩n≡2,3(mod 4),即n≡2,3,6,7(mod 8).

    對式(29)取模8,得T=8,且當n≡3,7(mod 8)時,2un+11vn≡7,3(mod 8)均為模8的平方非剩余,故排除,剩n≡2,6(mod 8),即n≡2(mod 4),從而n≡2,6,10(mod 12).

    對式(29)取模5,得T=6,且當n≡0,4(mod 6)時,2un+11vn≡2,3(mod 5)均為模5的平方非剩余,故排除n≡6,10(mod 12),剩n≡2(mod 12),即n≡2,14,26,38,50(mod 60).

    對式(29)取模601,得T=60,且當n≡14,26,50(mod 60)時,2un+11vn≡159,489,219(mod 601)均為模601的平方非剩余,故排除,剩n≡2,38(mod 60).

    對式(29)取模29,得T=10,且當n≡8(mod 10)時,2un+11vn≡26(mod 29)為模29的平方非剩余,故排除n≡38(mod 60),剩n≡2(mod 60),即n≡2,62,122(mod 180).

    對式(29)取模24121,得T=180,且當n≡62,122(mod 180)時,2un+11vn≡23454,567(mod 24121)均為模24121的平方非剩余,故排除,剩n≡2(mod 180).

    若n≠2,則令n=2+2×32×5×2t(2k+1)(t≥1,k≥0),并取

    式(29)結合式(4)和式(8)得

    y2=2un+11vn≡±(2u2+2m+11v2+2m)≡±283v2m(modu2m).

    (31)

    考慮到2|m時,um≡1(mod 8),u2m≡1(mod 8),令2s‖vm,則由式(31)結合式(5)可得

    (32)

    對{un}取模283,得T=284.根據(jù)m的取法,同時注意到{2t}取模284的T=35,有表1.

    表1 u2m取模283時的數(shù)據(jù)

    續(xù)表

    再討論式(30).

    利用(2)和(3)對式(30)取模7,得T=3,且當n≡0,1(mod 3)時,-2un+11vn≡5(mod 7)為模7的平方非剩余,故排除,剩n≡2(mod 3),即n≡2,5(mod 6).再對式(30)取模5,得T=6,且當n≡2,5(mod 6)時,-2un+11vn≡2,3(mod 5)均為模5的平方非剩余,故排除.因此式(30)不成立.

    綜上,方程(28)僅有正整數(shù)解(x,y)=(283,10).證畢.

    v) 設相應的不定方程為

    x2-8y4=97.

    (33)

    易知,方程X2-8Y2=97的一般解可由以下兩個非結合類給出:

    若方程(33)有整數(shù)解,則必有n,使得

    y2=3un+13vn,n≥0

    (34)

    y2=-3un+13vn,n>0.

    (35)

    先討論式(34).

    利用(2)和(3)對式(34)取模7,得T=3,且當n≡0,2(mod 3)時,3un+13vn≡3(mod 7)為模7的平方非剩余,故排除,剩n≡1(mod 3),即n≡1,4(mod 6).再對式(34)取模5,得T=6,且當n≡1,4(mod 6)時,3un+13vn≡2,3(mod 5)均為模5的平方非剩余,故排除.因此式(34)不成立.

    再討論式(35).

    利用(2)和(3)對式(35)取模17,得T=8,且當n≡0,2,3,4,6,7(mod 8)時,-3un+13vn≡14,10,5,3,7,12(mod 17)均為模17的平方非剩余,故排除,剩n≡1,5(mod 8),即n≡1(mod 4).這等價于n≡1,5,9,13,17(mod 20).

    對式(35)取模19,得T=20,且當n≡5,9,13,17(mod 20)時,-3un+13vn≡10,3,13,8(mod 19)均為模19的平方非剩余,故排除,剩n≡1(mod 20).

    式(35)結合式(4)和式(8)得

    y2=-3un+13vn≡±(-3u1+2m+13v1+2m)≡±15v2m(modu2m).

    (36)

    考慮到2|m時,um≡1(mod 8),u2m≡1(mod 8),令2s‖vm,則式(36)結合式(5)可得

    (37)

    綜上,方程(33)僅有正整數(shù)解(x,y)=(15,2).證畢.

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