新冠病毒核酸檢測(cè)數(shù)學(xué)建模研究

廣東省惠州市第八中學(xué)(516000) 袁東升

一、問題提出

新冠病毒在全球肆虐,發(fā)展迅猛,尤其是奧密克戎等變異毒株的出現(xiàn),使新冠病毒的感染能力變得異常強(qiáng)大,全球感染人數(shù)急劇上升.近期深圳上海等地疫情的快速蔓延發(fā)展,每天新增本土確診與無(wú)癥狀感染的病例數(shù)(如表1)時(shí)刻牽動(dòng)著全國(guó)人民的心.大家都希望當(dāng)?shù)啬懿扇∮行У目挂叻酪叽胧?實(shí)現(xiàn)社會(huì)面動(dòng)態(tài)清零,早日恢復(fù)正常的生產(chǎn)生活秩序,這也是全國(guó)人民共同的愿望.

表1 上海衛(wèi)健委通報(bào)的每日新冠感染數(shù)據(jù)[1]

在新冠疫情防控中,如果能快速地對(duì)轄區(qū)內(nèi)的人員進(jìn)行全員核酸檢測(cè),為及時(shí)了解當(dāng)?shù)匾咔榈陌l(fā)展動(dòng)態(tài)提供了有效的參考,并為制訂相應(yīng)的措施提供了保障.

在核酸檢測(cè)的實(shí)際操作中,我們經(jīng)常會(huì)采用單樣檢測(cè)與混合檢測(cè)兩種方法.接下來,我們將研究如下問題:

1)混合檢測(cè)能否提高檢測(cè)的效率?如何分組更為合理?

2)混合檢測(cè)效率與病毒感染率之間有什么關(guān)系?

3)混合檢測(cè)費(fèi)用應(yīng)該如何分?jǐn)偢鼮楹侠?

二、模型假設(shè)

為方便有效地對(duì)問題進(jìn)行研究,我們不妨作如下假設(shè):

1)假設(shè)某地人員新冠病毒感染的情況是均勻分布的.

2)假設(shè)在新冠病毒核酸檢測(cè)中,所用的試劑判斷準(zhǔn)確率為100%.

3)假設(shè)在新冠病毒核酸檢測(cè)中,所用的試劑同樣可以準(zhǔn)確地檢測(cè)出混合樣本,且判斷準(zhǔn)確率為100%.在混合樣本均為陰性時(shí),顯陰性特性,否則顯陽(yáng)性特性[2].

4)假設(shè)每個(gè)人的取樣數(shù)足夠多,在樣本分組后,各組之間相互獨(dú)立,而且樣本分組或稀釋不會(huì)影響最終檢測(cè)的結(jié)果.

根據(jù)國(guó)家應(yīng)急技術(shù)中心在2020年1月18日頒布的《2019新型冠狀病毒核酸檢測(cè)規(guī)程》中規(guī)定“靈敏性:臨床標(biāo)本稀釋105倍后核酸檢測(cè)結(jié)果仍為陽(yáng)性”,只有達(dá)到國(guó)家規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)的核酸檢測(cè)機(jī)構(gòu)才有資格進(jìn)行核酸檢測(cè)工作.在實(shí)際的核酸檢測(cè)中,對(duì)分組樣本的稀釋程度遠(yuǎn)小于105倍.

三、模型建立與求解

(一)問題初探

為簡(jiǎn)化問題的研究,我們不妨假設(shè)對(duì)某社區(qū)100人進(jìn)行全員核酸檢測(cè).全員100人核酸采樣后,如果采用單樣檢測(cè),則要耗費(fèi)100份試劑,共需檢測(cè)100次.

當(dāng)全員數(shù)目很大時(shí),采用單樣檢測(cè)的成本及工作量都將非常巨大.我們不妨考慮采用混合檢測(cè)法.假設(shè)所采集的100個(gè)樣本,用當(dāng)前比較流行的分組方式,按每組10個(gè)樣本混合起來進(jìn)行檢測(cè),可得到10組樣本.若某一組的混合樣本檢測(cè)結(jié)果為陰性,則說明該組內(nèi)的所有樣本均為陰性,只需檢測(cè)一次即可;若混合樣本檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性,則需對(duì)組內(nèi)的10個(gè)樣本再逐一進(jìn)行檢測(cè).

接下來討論全員100人在上述分組情況下,共需檢測(cè)多少次?

若10組全部陰性,則只需檢測(cè)10次;

若只有1組陽(yáng)性,其余9組陰性,則需檢測(cè)10 + 10 = 20次;

若有2組陽(yáng)性, 8組陰性,則需檢測(cè)10 + 10×2 = 30次;

若有3組陽(yáng)性, 7組陰性,則需檢測(cè)10 + 10×3 = 40次;

若有4組陽(yáng)性, 6組陰性,則需檢測(cè)10 + 10×4 = 50次;

若有5組陽(yáng)性, 5組陰性,則需檢測(cè)10 + 10×5 = 60次;

若有6組陽(yáng)性, 4組陰性,則需檢測(cè)10 + 10×6 = 70次;

若有7組陽(yáng)性, 3組陰性,則需檢測(cè)10 + 10×7 = 80次;

若有8組陽(yáng)性, 2組陰性,則需檢測(cè)10 + 10×8 = 90次;

若有9組陽(yáng)性, 1組陰性,則需檢測(cè)10 + 10×9 = 100次;

若10組均為陽(yáng)性,則需檢測(cè)10 + 10×10 = 110次;

記Y為該社區(qū)檢測(cè)總次數(shù), p為個(gè)體感染新冠病毒的概率,一組混合樣本為陽(yáng)性的概率為q,則q = 1 - (1 - p)10.我們可得到Y(jié)的分布列如表2所示.

表2 檢測(cè)總次數(shù)Y的分布列

記η為出現(xiàn)陽(yáng)性的組數(shù),根據(jù)上述分析,顯然有

Y = 10η+ 10,易得η～B(10,q), E(η) = 10q,所以

由①式可知該社區(qū)混合檢測(cè)總次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望與混合樣本的陽(yáng)性概率q成線性關(guān)系.

當(dāng)感染率p發(fā)生改變時(shí),由②式可得到對(duì)應(yīng)的E(Y )值(如表3).從表3數(shù)據(jù)可看出,當(dāng)感染率p比較小時(shí),混合檢測(cè)總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望值明顯小于單樣檢測(cè)的總次數(shù);但隨著感染率p的上升,混合檢測(cè)總次數(shù)的數(shù)學(xué)期望值將會(huì)大于單樣檢測(cè)的總次數(shù),即此時(shí)混合檢測(cè)的效率反而不如單樣檢測(cè).

表3 數(shù)學(xué)期望E(Y )與感染率p之間的關(guān)系表

(二)問題再探

假設(shè)某社區(qū)全員N人進(jìn)行核酸檢測(cè),總體新冠病毒感染率為p.一次性將n個(gè)人的樣本進(jìn)行混合檢測(cè).如果混合樣本檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性,說明這n個(gè)人中至少有一個(gè)人的樣本是陽(yáng)性,接下來需要對(duì)這n個(gè)人的樣本逐一進(jìn)行檢測(cè).

那么混合檢測(cè)方法究竟有沒有提高檢測(cè)效率?

我們不妨用檢測(cè)系數(shù)λ表示平均每個(gè)樣本所需檢測(cè)的次數(shù).顯然,進(jìn)行單樣檢測(cè)時(shí),每個(gè)樣本只需檢測(cè)1次即可,即單樣檢測(cè)系數(shù)λ= 1.

進(jìn)行混合檢測(cè)時(shí),只有當(dāng)檢測(cè)系數(shù)λ＜1時(shí),才能認(rèn)為混合檢測(cè)策略比單樣檢測(cè)效率更高.而且λ值越小,說明該策略的檢測(cè)效率越高.

當(dāng)n人混合樣本是陽(yáng)性時(shí),需要對(duì)組內(nèi)樣本重新單樣檢測(cè)一次,則λ=+ 1.

表4 檢測(cè)系數(shù)λ的分布列

由式⑤可知,檢測(cè)系數(shù)λ的數(shù)學(xué)期望值E(λ)不僅與混合樣本的組內(nèi)人數(shù)n有關(guān),還跟感染率p的大小有關(guān).

當(dāng)組內(nèi)人數(shù)n發(fā)生改變時(shí),分別畫出不同的組內(nèi)人數(shù)所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)期望E(λ)(縱軸)與感染率p(橫軸)之間的關(guān)系曲線圖(如圖1).圖中點(diǎn)A表示當(dāng)感染率為0時(shí)的檢測(cè)系數(shù),點(diǎn)B表示當(dāng)檢測(cè)系數(shù)為1時(shí)所對(duì)應(yīng)的感染率p.

從圖1可看出,相對(duì)單樣檢測(cè)效率而言,當(dāng)總體感染率p非常小時(shí),組內(nèi)人數(shù)n越大,混合檢測(cè)效率越高.但隨著總體感染率p的上升,組內(nèi)人數(shù)n越大,檢測(cè)系數(shù)爬升的速度越快,將迅速達(dá)到甚至超過1.也就是說,隨著感染率p的上升,組內(nèi)人數(shù)越小,檢測(cè)效率反而會(huì)越高.可以推斷當(dāng)感染率p達(dá)到一定程度時(shí),混合檢測(cè)的效率將不如單樣檢測(cè)的效率.有研究表明,若已知有1/3以上的樣本是壞的,則對(duì)樣本進(jìn)行逐一單樣檢測(cè)是最好的方法[3].

圖1 數(shù)學(xué)期望E(λ)與感染率p之間的關(guān)系圖

在實(shí)際的新冠防控中,集中隔離點(diǎn)、重點(diǎn)人群以及封控區(qū)的病毒感染率p相對(duì)比較高,對(duì)核酸樣本進(jìn)行單樣檢測(cè)的效率比混合檢測(cè)的效率更高,也更容易確定陽(yáng)性患者.而在管控區(qū)、防范區(qū)和其他區(qū)域,新冠病毒感染率p都非常小,更適合用混合檢測(cè)的方法.

(三)進(jìn)一步探究

當(dāng)病毒感染率p比較小時(shí),按照二項(xiàng)式定理,有

所以⑤式可化成

2022年4月27日上午,上海市召開第166場(chǎng)新冠肺炎疫情防控新聞發(fā)布會(huì),上海市衛(wèi)健委副主任趙丹丹在會(huì)上通報(bào), 3月1日至4月26日上海市累計(jì)報(bào)告535600例新冠本土陽(yáng)性感染者[1].上海當(dāng)前總?cè)丝诩s2500萬(wàn)人,則其感染率p≈0.02.

在2020年武漢新冠疫情中,依據(jù)武漢市衛(wèi)健委公布的數(shù)據(jù)[4],武漢總?cè)丝诩s1000萬(wàn)人,約8萬(wàn)人感染新冠病毒,則其感染率p≈0.01.

綜上可知,當(dāng)病毒感染率p比較小時(shí),采用混合檢測(cè)的效率要明顯優(yōu)于單樣檢測(cè).而且,當(dāng)組內(nèi)人數(shù)約為10人時(shí),相比單樣檢測(cè)可節(jié)省70%-80%左右的成本.也就是說,此時(shí)混合檢測(cè)的人均費(fèi)用大概是單樣檢測(cè)費(fèi)用的20%-30%.

國(guó)家衛(wèi)健委發(fā)布的《區(qū)域新型冠狀病毒核酸檢測(cè)組織實(shí)施指南(第三版)》規(guī)定[5]:集中隔離點(diǎn)及其他重點(diǎn)人群實(shí)行單采單檢;封控區(qū)人群實(shí)行單采單檢或1戶1管;管控區(qū)可實(shí)行10合1混采;防范區(qū)和其他區(qū)域可實(shí)行20合1混采.

根據(jù)《廣東省發(fā)展改革委廣東省財(cái)政廳關(guān)于降低疾控機(jī)構(gòu)新冠病毒核酸檢測(cè)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)的通知》[6], 2022年4月16日起,廣東核酸檢測(cè)費(fèi)用調(diào)整:單樣檢測(cè)服務(wù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為20元/人份,混合檢測(cè)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為6元/人份.

由此可見,模型計(jì)算的結(jié)論與國(guó)家現(xiàn)行的新冠病毒核酸采樣檢測(cè)方法及收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)基本一致.

四、模型評(píng)價(jià)

以上模型的結(jié)論是基于核酸檢測(cè)保證準(zhǔn)確率為100%的理想前提下進(jìn)行的,是理論上的期望值.在實(shí)際的核酸采樣檢測(cè)過程中,存在很多的干擾與制約因素,對(duì)模型的結(jié)論會(huì)產(chǎn)生一定的影響.

1)在現(xiàn)實(shí)生活中,全國(guó)各地各區(qū)域的新冠病毒感染者不會(huì)呈現(xiàn)完全的均勻分布,需要對(duì)所要檢測(cè)的片區(qū)實(shí)行預(yù)采樣,再根據(jù)該片區(qū)整體感染率的情況選用合適的檢測(cè)方法.

2)根據(jù)實(shí)際情況調(diào)整混合組的樣本數(shù)目.不同區(qū)域新冠病毒感染情況存在差異,我們可根據(jù)病毒感染率的高低,參照公式⑦,選擇合適的混合組樣本數(shù)目,進(jìn)一步提高核酸檢測(cè)的效率.

3)在混合檢測(cè)中,當(dāng)混合組檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性時(shí),能否根據(jù)情況綜合考慮采用二分法等策略對(duì)組內(nèi)樣本進(jìn)行檢測(cè)?

五、小結(jié)

總之,在新冠病毒核酸檢測(cè)工作中,究竟采用單樣檢測(cè)還是混合檢測(cè)方法,主要取決于該區(qū)域病毒感染率的高低程度.當(dāng)病毒感染率比較高時(shí),建議優(yōu)先采用單樣檢測(cè)方法,能快速確定陽(yáng)性患者;當(dāng)病毒感染率比較低時(shí),采用混合檢測(cè)的效率明顯優(yōu)于單樣檢測(cè),可以有效地減小工作量,節(jié)省70%-80%左右的成本.

在新冠疫情防控中,快速地對(duì)轄區(qū)內(nèi)人員進(jìn)行核酸檢測(cè)篩查工作,為制訂相應(yīng)的防控措施,實(shí)現(xiàn)社會(huì)面動(dòng)態(tài)清零,全面復(fù)工復(fù)產(chǎn)提供了良好的保障.