看似巧合 實(shí)為必然—一道堵車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差引發(fā)的探究

湖南省懷化市精楷英復(fù)讀學(xué)校(418000);湖南省會(huì)同縣第一中學(xué)(418300) 于先金

湖南省會(huì)同縣第一中學(xué)(418300) 李林雕

一、試題呈現(xiàn),問題解析

題目如圖1,某工人的住所在A處,上班的企業(yè)在D處,上下班的路線有三條路程幾乎相等的路線供選擇:環(huán)城南路經(jīng)過路口C,環(huán)城北路經(jīng)過路口F,中間路線經(jīng)過路口G.如果開車到五個(gè)路口B, C,E, F, G因遇到紅燈而堵車的概率分別再無別的路口紅燈.

圖1

(1)為了減少開車在路口因遇到紅燈而堵車的次數(shù),這位工人應(yīng)選擇哪條行駛路線?

(2)對(1)所選擇的路線,求其堵車次數(shù)的方差.

這是教輔書《三維設(shè)計(jì)(選擇性必修第3冊)》(南方出版社, 2021年8月)第4頁中的一道例題,各路口因遇到紅燈而發(fā)生堵車事件是相互獨(dú)立的,利用相互獨(dú)立事件的概率公式可求出一條路線因遇到紅燈而發(fā)生堵車X次的概率,進(jìn)而可求出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差,最后行駛路線的選擇由堵車次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望的大小來確定.

二、參考答案,通性通法

解(1)設(shè)這位工人選擇行駛路線A - B - C - D,A - F - E - D, A - B - G - E - D分別堵車X1, X2, X3次,則X1,2= 0,1,2,X3= 0,1,2,3.

由于

則X1的數(shù)學(xué)期望為

由于

則X2的數(shù)學(xué)期望為

由于

則X3的數(shù)學(xué)期望為

比較知E(X2)最小,所以這位工人應(yīng)選擇行駛路線A - E - F - D.

點(diǎn)評本題考查相互獨(dú)立事件的概率和離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差,易錯(cuò)點(diǎn)是題中出現(xiàn)的道路情況比較多,稍有不慎計(jì)算就會(huì)出錯(cuò).

三、提出疑問,探究求證

這是巧合還是必然?若開車到五個(gè)路口B,C,E,F,G因遇到紅燈而堵車的概率分別為α,β,γ,m,n,則是否有E (X1) =α+β, E (X2) = m +γ, E (X3) =α+ n +γ,D (X1) =α(1-α)+β(1-β),D (X2) = m(1-m)+γ(1-γ),D (X3) =α(1 -α) + m(1 - m) +γ(1 -γ).

由于

所以X1的數(shù)學(xué)期望與方差分別為

展開化簡、整理得D (X1) =α(1 -α) +β(1 -β).

同理可證其它幾個(gè)結(jié)論.

四、歸納總結(jié),得出結(jié)論

定理從A地開車到B地,經(jīng)過n個(gè)路口A1, A2,···,An,因遇到紅燈而堵車的概率分別為p1,p2,···,pn,發(fā)生堵車的次數(shù)為X,則

從而E (Xi) = pi,D (Xi) = pi(1 - pi).

當(dāng)i ≠ j時(shí), Xi= Xj= 1?XiXj= 1,所以XiXj的分布列為

從而E (XiXj) = pipj.所以

由方差的性質(zhì)得

波利亞語:“沒有一道題目是可以解決得十全十美的,總剩下一些工作要做,經(jīng)過充分的探討總結(jié),總會(huì)有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn),總能改進(jìn)這個(gè)解答,而且在任何情況下,都能提高自己對這個(gè)解答的理解水平”.

五、試題鏈接,提升能力

廣東省2012年高考理科數(shù)學(xué)仿真模擬試題:

圖2

張先生家住H小區(qū),他工作在C科技園區(qū),從家開車到公司上班路上有L1, L2兩條路線(如圖), L1路線上有A1,A2, A3三個(gè)路口,各路口遇到紅燈的概率均為; L路線上2有B1, B2兩個(gè)路口,各路口遇到紅燈的概率依次為

(I)若走L1路線,求最多遇到1次紅燈的概率;

(Ⅱ)若走L2路線,求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;

(Ⅲ)按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求,請你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線,并說明理由.

答案(I)選擇L2路線上班最好.