例說(shuō)含參零點(diǎn)問(wèn)題的突破策略

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 陳偉連

1 問(wèn)題背景

含參函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常見(jiàn)的題型有已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍,或由已知條件討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).該類題型以函數(shù)零點(diǎn)的概念、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理、函數(shù)的圖象、函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)為背景,考查學(xué)生的直觀想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力,能有效檢測(cè)學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),體現(xiàn)了分類討論、化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法.基于以上特點(diǎn),含參函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題不僅是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題的重要內(nèi)容,也是高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn).

作為考生在高考備考中的常規(guī)訓(xùn)練,教師如果能在解題教學(xué)中讓學(xué)生會(huì)一道題而通一類題,那么備考工作將事半功倍,避免迷失在題海戰(zhàn)術(shù)的海洋里.本文將利用一道含參函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,總結(jié)解題策略,分析各種策略存在的易錯(cuò)點(diǎn)和難點(diǎn)及相應(yīng)的突破策略,揭示題目的本質(zhì)和命題的角度,希望能夠?yàn)榻處煹慕毯蛯W(xué)生的學(xué)提供一點(diǎn)啟示.

2 問(wèn)題展現(xiàn)

題目已知函數(shù)f(x) = lnx - ax2+ ax恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )

3 解題策略

3.1 特值法

作為選擇題,本題可在觀察題目選項(xiàng)之后,利用特值法排除不合題意的選項(xiàng),從而快速得到正確選項(xiàng),培養(yǎng)學(xué)生“小題小做”的解題智慧.

解①當(dāng)a = 1時(shí), f(x) = lnx - x2+ x,

當(dāng)0＜x＜1時(shí), f′(x)＞0,當(dāng)x＞1時(shí), f′(x)＜0.即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.所以fmax(x) = f(1) = 0,此時(shí)函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)(如圖1),不合題意,排除B, D.

圖1

②當(dāng)a = -1時(shí), f(x) = lnx + x2- x, f′(x) =+ 2x - 1 =＞0恒成立,且f(1) = 0.所以f(x)至多只有一個(gè)零點(diǎn)(如圖2),不合題意,從而排除A.故選C.

圖2

評(píng)注在選擇題中使用特值法可以極大減少運(yùn)算量,縮短解題時(shí)間.當(dāng)a = -1時(shí),都不需要算出f(1) = 0,即可判斷選項(xiàng)A不符合題意.

3.2 分類討論法

分類討論法處理含參函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題需要準(zhǔn)確把握分類討論的分界點(diǎn).首先應(yīng)該關(guān)注導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來(lái)討論函數(shù)的單調(diào)性,具體而言即關(guān)注:導(dǎo)函數(shù)是否有根、根是否在定義域內(nèi)以及根的大小.接著關(guān)注特殊位置的函數(shù)值,特殊位置包括:極值點(diǎn)處、區(qū)間端點(diǎn)處以及極限位置.考慮了以上因素之后,就能夠做到不重不漏地對(duì)參數(shù)值進(jìn)行分類和討論.

解由題知

f′(x) =- 2ax + a =(x＞0).

①當(dāng)a = 0時(shí), f′(x) =＞0,f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,且f(1) = 0,所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;

②當(dāng)Δ= a2+ 8a≤0,即-8≤a＜0時(shí),-2ax2+ ax + 1≥0.即f′(x)＞0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,且f(1) = 0,所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn),不合題意;

圖3

綜上所述, a的取值范圍為a＞0且a ≠ 1.

評(píng)注上述分類討論做法存在難點(diǎn).難點(diǎn)一在于極值點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào)的判斷,此時(shí)需要利用隱零點(diǎn)代換消去參數(shù),構(gòu)造新函數(shù)求最值以判號(hào);難點(diǎn)二在于極限位置函數(shù)值符號(hào)的判斷,此時(shí)需要適當(dāng)取點(diǎn)進(jìn)行判號(hào),或者利用函數(shù)類型的增長(zhǎng)速度進(jìn)行判斷(增長(zhǎng)速度:指數(shù)型＞多項(xiàng)式型＞對(duì)數(shù)型).

3.3 分離函數(shù)法

3.3.1 分離為兩曲線

該類方法的關(guān)鍵是將原函數(shù)分離成兩個(gè)函數(shù)圖象為曲線的函數(shù),于是接下來(lái)可以根據(jù)函數(shù)的凹凸性,初步確定參數(shù)的分類,接著根據(jù)使其具有公切線的臨界情況,進(jìn)一步對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類.具體操作如下:

解函數(shù)f(x) = lnx - ax2+ ax恰有兩個(gè)零點(diǎn)?方程lnx = ax2- ax恰有兩個(gè)實(shí)根?y = lnx與y = ax2- ax恰有兩個(gè)交點(diǎn).

①當(dāng)a = 0時(shí), y = lnx與y = 0只有1個(gè)交點(diǎn).

②當(dāng)a＜0時(shí), y = lnx與y = ax(x - 1)只有1個(gè)交點(diǎn).

③當(dāng)a = 1時(shí),因?yàn)閘nx≤x-1,且x2-x-(x-1) =(x - 1)2≥0,所以x2- x≥x - 1≥lnx.此時(shí)y = x - 1恰好是y = lnx與y = x2- x的公切線,切點(diǎn)都為(1,0),所以y = lnx與y = x2- x只有1個(gè)交點(diǎn).

④當(dāng)a＞1時(shí),此時(shí)y = a(x2- x)的開(kāi)口變小,y = lnx與y = a(x2- x)有2個(gè)交點(diǎn),其中一個(gè)橫坐標(biāo)為1,另一個(gè)在(0,1)內(nèi).

⑤當(dāng)0＜a＜1時(shí),此時(shí)y = a(x2- x)的開(kāi)口變大,y = lnx與y = a(x2- x)有2個(gè)交點(diǎn),其中一個(gè)橫坐標(biāo)為1,另一個(gè)在(1,+∞)內(nèi).

綜上所述, a＞0且a ≠ 1.

圖4

圖5

圖6

圖7

評(píng)注該解法中,當(dāng)a = 0時(shí),不是兩曲線,單獨(dú)考慮;當(dāng)a＜0時(shí),兩個(gè)函數(shù)都是凹函數(shù),且沒(méi)有公切線;當(dāng)a＞0時(shí),y = lnx為凹函數(shù), y = a(x2- x)為凸函數(shù),于是以當(dāng)a = 1時(shí)有公切線作為臨界點(diǎn)進(jìn)一步分類討論.這不僅是一種解題策略,同時(shí)也是該類題目的命題方法.如:選定一個(gè)凸函數(shù)y = ex,然后確定含參二次函數(shù)y = ax2+ b′x + c′,求出其公切線的情況,于是就能得到如下高考題:

題目1(2018年高考全國(guó)II卷理科第21題)已知函數(shù)f(x) = ex- ax2, (1)略; (2)若f(x)在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn),求a的值.

題目2(2017年高考全國(guó)I卷理科第21題)已知函數(shù)f(x) = ae2x+ (a - 2)ex- x, (1)略; (2)若f(x)有2個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

3.3.2 分離為一直線和一曲線

該類方法中,分離后的參數(shù)在新的函數(shù)中一般會(huì)有明顯的幾何意義,于是可以根據(jù)參數(shù)的幾何意義,結(jié)合函數(shù)的圖象對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論,判斷兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),從而求出符合零點(diǎn)個(gè)數(shù)條件的參數(shù)范圍.具體操作如下:

綜上所述, a＞0且a ≠ 1.

評(píng)注解題過(guò)程中的“注意到”是需要去計(jì)算的,涉及“過(guò)一點(diǎn)求已知曲線的切線”的知識(shí)點(diǎn).該類方法較為簡(jiǎn)單,思維量少,但學(xué)生在繪制分離出來(lái)的函數(shù)圖象時(shí)容易出錯(cuò),出現(xiàn)將y =在(e,+∞)上單調(diào)遞減時(shí)穿過(guò)x軸的情況.此外,該類解題策略也是命題方法:選定一個(gè)凹函數(shù)或者凸函數(shù),過(guò)一點(diǎn)求其切線,然后將斜率設(shè)置為參數(shù),進(jìn)行命題.如:令f(x) = ex(凸函數(shù)), g(x) = k (x - x0),討論函數(shù)F(x) = f(x) - g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),則可以命制出如下高考題:

題目3(2020年高考全國(guó)I卷文科第20題)已知函數(shù)f(x) = ex-a(x+2). (1)略; (2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

還可以將x0換為參數(shù)k,改變函數(shù)f(x),如令f(x) =x3,g(x) = k(x - k),討論函數(shù)F(x) = f(x) - g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).可以命制出以下高考題:

題目4(2020年高考全國(guó)III卷文科第20題)已知函數(shù)f(x) = x3-kx-k2. (1)略; (2)若f(x)有3個(gè)零點(diǎn),求k的取值范圍.

3.4 分離參數(shù)法

利用該解法的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)和極限的知識(shí)準(zhǔn)確地畫(huà)出分離出來(lái)的函數(shù)的大致圖象,求其值域,然后利用y = a或y =與分離出來(lái)的函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù),討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù),具體如下.

令h(x) = (x - 1) - (2x - 1)lnx,則

h′′(x) = -＜0,所以h′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,注意到h′(1) = 0,故當(dāng)0＜x＜1時(shí), h′(x)＞0,當(dāng)x＞1時(shí), h′(x)＜0,所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)單調(diào)遞減,故h(x)≤hmax(x) = h(1) = 0,從而g′(x)≤0,所以g(x)在(0,1)和(1,+∞)上單調(diào)遞減.當(dāng)x→0+時(shí),g(x)→+∞;當(dāng)x→+∞時(shí), g(x)→0,當(dāng)x→1時(shí),由洛必達(dá)法則可知:

評(píng)注利用分離參數(shù)法解決含參零點(diǎn)問(wèn)題往往能夠?qū)?fù)雜的分類討論轉(zhuǎn)化成平行與x軸的直線與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,使問(wèn)題簡(jiǎn)化,降低思維量.但是,其難點(diǎn)在于分離出來(lái)的函數(shù)的刻畫(huà),有時(shí)候需要涉及到多次求導(dǎo)和高等數(shù)學(xué)中的洛必達(dá)法則刻畫(huà)函數(shù)圖象.

4 突破策略

每種解題策略都有相應(yīng)的易錯(cuò)點(diǎn)與難點(diǎn),值得引起我們的注意,這給出其類型和相應(yīng)的突破策略,但不詳細(xì)敘述.

方法易錯(cuò)點(diǎn)突破策略難點(diǎn)突破策略分類討論法忽略二次項(xiàng)系數(shù)為0的討論明確二次函數(shù)的定義,強(qiáng)調(diào)分類討論要不重不漏①分類討論的標(biāo)準(zhǔn)①教好分類討論的5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)及原因②隱零點(diǎn)兩端函數(shù)值正負(fù)的判斷②取點(diǎn)問(wèn)題(放縮)②′利用函數(shù)的級(jí)別去判斷極限值(指數(shù)型＞多項(xiàng)式型＞對(duì)數(shù)型)③極值正負(fù)符號(hào)的判斷③隱零點(diǎn)問(wèn)題(消參)構(gòu)造新函數(shù)分離函數(shù)法一(兩條曲線)分類討論的標(biāo)準(zhǔn)關(guān)注兩個(gè)函數(shù)的固定交點(diǎn)處的公切線斜率分離函數(shù)法二(直線與曲線)函數(shù)圖象畫(huà)錯(cuò)關(guān)注圖像的極限情況:是否穿過(guò)x軸分離參數(shù)法忽略分離參數(shù)之后出現(xiàn)消根的情況關(guān)注分離參數(shù)之后的定義域變化函數(shù)圖象極限位置的繪制洛必達(dá)法則