線性化思想在求導(dǎo)數(shù)單調(diào)區(qū)間的運(yùn)用

廣東省中山市桂山中學(xué)(528463)蔡曉波

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具,是高中數(shù)學(xué)中的學(xué)習(xí)重點(diǎn)和學(xué)習(xí)難點(diǎn),很多學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)有一定的畏懼感.而研究一個(gè)函數(shù)單調(diào)區(qū)間是認(rèn)識(shí)和運(yùn)用這個(gè)函數(shù)不可逾越的一步,而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性的強(qiáng)有力工具.但是很多學(xué)生對(duì)于復(fù)雜一點(diǎn)的,尤其是涉及到分類討論的利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間問(wèn)題就束手無(wú)策,無(wú)從下手.筆者基于學(xué)生的此種現(xiàn)實(shí)狀況進(jìn)行探究,發(fā)現(xiàn)對(duì)一類函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行線性化可以有效的降低該類函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的復(fù)雜性,現(xiàn)將探究結(jié)果呈現(xiàn)如下,望同行批評(píng)指正.

一、相關(guān)結(jié)論與證明

首先,我們先來(lái)看一個(gè)引理.

引理若函數(shù)f(x)與g(x)是具有相同定義域的連續(xù)單調(diào)函數(shù),且具有相同的零點(diǎn),相同的單調(diào)性,則不等式f(x)＞0(＜0)的解集與g(x)＞0(＜0)的解集相同.

證明下面僅證明f(x)＞0的解集與g(x)＞0的解集相同.設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為D,設(shè)x0為f(x)的零點(diǎn),故f(x0) = g(x0) = 0,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)與g(x)具有相同單調(diào)性,故不妨設(shè)f(x)為單調(diào)增函數(shù),故g(x)也為單調(diào)增函數(shù),故f(x) = 0與g(x) = 0均有唯一的實(shí)數(shù)根x0.

(1)若f(x)＞0的解集為?,此時(shí)若g(x)＞0不為空集,不妨設(shè)g(x1)＞0,(x1∈D),故g(x1)＞g(x0),結(jié)合g(x)單調(diào)性可得x1＞x0;故f(x1)＞f(x0) = 0,故x1為f(x)＞0的一個(gè)解,與f(x)＞0的解集為?矛盾,故g(x)＞0的解集也為?.反之可得g(x)＞0的解集為?時(shí)f(x)＞0的解集也為?.

(2)若f(x)＞0的解集不為?,不妨設(shè)f(x)＞0的解集為D1,由(1)可知此時(shí)g(x)＞0的解集也不為空集,設(shè)為D2.設(shè)任意x1∈D1,則f(x1)＞0 = f(x0),結(jié)合單調(diào)性可得x1＞x0.由g(x)為增函數(shù)可得g(x1)＞g(x0) = 0,故x1∈D2,故D1?D2.同理可證: D2?D1,故D1= D2.同理可證:證明f(x)＜0的解集與g(x)＜0的解集相同.

綜上可得:不等式f(x)＜0(＞0)的解集與g(x)＜0(＞0)的解集相同.

結(jié)論若函數(shù)fi(x)與gi(x), i∈{1,2,3,···,n}是具有相同定義域Di的連續(xù)單調(diào)函數(shù),且具有相同的零點(diǎn),相同的單調(diào)性,且Di= D ≠?,則不等式fi(x)＞0(＜0)的解集與gi(x)＞0(＜0)的解集相同.

證明下面用數(shù)學(xué)歸納法證明該結(jié)論.

(1)由引理可得當(dāng)n = 1時(shí)結(jié)論成立.

設(shè)fk+1(x)＞0的解集為S0, fk+1(x)＜0的解集為T0,故

利用結(jié)論,不難證明出該推論,故這里不再贅述,相關(guān)證明留給讀者完成.

利用該推論,我們可以對(duì)一類涉及討論的,需要利用求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題進(jìn)行線性化,從而降低復(fù)雜度,使得學(xué)生容易理解,不易出錯(cuò).

二、例題實(shí)踐

例1(2017年高考全國(guó)I卷第21題改編)已知函數(shù)f(x) = ae2x- (a + 2)ex+ x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)略.

分析對(duì)f(x)求導(dǎo)可得: f′(x) = (aex-1)(2ex-1),若不對(duì)其線性化處理,學(xué)生對(duì)該形式容易產(chǎn)生畏懼感,形式比較復(fù)雜,容易出錯(cuò),但是如果我們利用結(jié)論及其推論對(duì)其線性化后,便可化為熟悉的一次函數(shù)或者二次函數(shù)的形式.

解對(duì)f(x)求導(dǎo)可得f′(x) = (aex- 1)(2ex- 1),顯然y = 2ex- 1為增函數(shù)且有唯一零點(diǎn)x =

評(píng)注本題在a＞0的情況中,通過(guò)線性化把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式,而二次函數(shù)學(xué)生比較熟悉,能有效的降低單調(diào)區(qū)間討論的復(fù)雜性.

例2(2018年遼寧朝陽(yáng)高三一模(文) )已知函數(shù)f(x) =(常數(shù)a＞0).

(1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)略.

分析對(duì)f(x)求導(dǎo)可得: f′(x) = (x - a)lnx,故在分析f′(x)正負(fù)情況時(shí),可以對(duì)lnx進(jìn)行線性化處理,另外此題要注意f(x)的定義域.

解對(duì)f(x)求導(dǎo)可得f′(x) = (x-a)lnx,顯然y = lnx為增函數(shù),且有唯一的根x = 1, f′(x)正負(fù)情況等價(jià)于分析g(x) = (x - a)(x - 1),(x＞0)的正負(fù)情況.

1.當(dāng)0＜a＜1時(shí),當(dāng)x∈(a,1)時(shí), g(x)＜0?f′(x)＜0;當(dāng)x∈(0,a),(1,+∞)時(shí), g(x)＞0?f′(x)＞0;故f(x)在(a,1)單調(diào)遞減,在(0,a),(1,+∞)單調(diào)遞增.

2.當(dāng)a = 1時(shí), g(x) = (x - 1)2≥0,故f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.

3.當(dāng)a＞1時(shí),當(dāng)x∈(1,a)時(shí), g(x)＜0?f′(x)＜0;當(dāng)x∈(0,1),(a,+∞)時(shí), g(x)＞0?f′(x)＞0;故f(x)在(1,a)單調(diào)遞減,在(0,1),(a,+∞)單調(diào)遞增.

綜上所述,當(dāng)0＜a＜1時(shí), f(x)在(a,1)單調(diào)遞減,在(0,a),(1,+∞)單調(diào)遞增;當(dāng)a = 1時(shí),故f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增;當(dāng)a＞1時(shí),故f(x)在(1,a)單調(diào)遞減,在(0,1),(a,+∞)單調(diào)遞增.

評(píng)注在對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行線性化分析正負(fù)之前,一定要先觀察原函數(shù)的定義域,在前邊的結(jié)論與推論中,我們均要求定義域相同.

例3已知函數(shù)

討論f(x)的單調(diào)性.

分析對(duì)f(x)求導(dǎo)可得:

顯然當(dāng)a≤0時(shí), ex-3a＞0,ex-a＞0,故僅需分析x-2a的正負(fù)情況即可,故不難得出f(x)在(-∞,2a)單調(diào)遞減,在(2a,+∞)單調(diào)遞增;而a＞0時(shí), y = ex-3a單調(diào)遞增且有零點(diǎn)x = ln(3a), y = ex- a單調(diào)遞增且有零點(diǎn)x = lna;根據(jù)推論可得分析

的正負(fù)情況等價(jià)于分析

的正負(fù)情況;另一方面,根據(jù)a＞0不難證出

故根據(jù)“數(shù)軸穿根法”[1]便可很快的求出f(x)的單調(diào)區(qū)間情況為: f(x)在(lna,ln(3a)),(2a,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,lna),(ln(3a),ln(2a))單調(diào)遞減.

解略,由讀者根據(jù)以上分析自己完成.

評(píng)注此題如果不把導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行線性化,學(xué)生在分析導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)情況時(shí)便會(huì)產(chǎn)生一定的畏懼感,容易算錯(cuò);而如果根據(jù)推論把導(dǎo)函數(shù)f′(x)線性化后,問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的高次線性不等式的分析問(wèn)題.

三、結(jié)論的運(yùn)用范圍與要注意的地方

上述例1-3均具有共同的特征:導(dǎo)函數(shù)能因式分解為有限個(gè)明確單調(diào)性或者明確恒大于(等于)零或恒小于(等于)零的因式相乘除.

因此,具備有上述特征我們便可以用本文的結(jié)論(推論)對(duì)其進(jìn)行線性化,從而化為熟悉的高次線性不等式來(lái)分析問(wèn)題.

在線性化過(guò)程中特別要注意兩點(diǎn): (1)線性化前后單調(diào)性一致; (2)線性化前后零點(diǎn)一致; (3)線性化前后定義域一致.

四、教學(xué)效果分析

筆者以中山市桂山中學(xué)水平相當(dāng),選科組合相同的6個(gè)班級(jí)為例進(jìn)行試驗(yàn).班級(jí)情況如下:

表1 中山市桂山中學(xué)參與試驗(yàn)的班級(jí)基本數(shù)據(jù)

筆者任教的班級(jí)為1, 2班, 2020年3月份由于疫情原因,本校學(xué)生均是利用釘釘進(jìn)行線上教學(xué),因此,筆者聯(lián)系年級(jí)管理人員與相關(guān)班級(jí)的數(shù)學(xué)老師,在講授“函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”本節(jié)新課時(shí),把1, 9, 17班的數(shù)學(xué)老師設(shè)置為同一個(gè)老師,為筆者本人.把2, 10, 18班的數(shù)學(xué)老師設(shè)置為同一個(gè)老師,也為筆者本人.筆者在上述的奇數(shù)班級(jí)講授了線性化的方法,在偶數(shù)班講授了以往的常規(guī)分析方法.

五月底返校復(fù)學(xué)一周后,筆者對(duì)上6個(gè)班的學(xué)生要進(jìn)行一次“函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”的測(cè)驗(yàn),測(cè)試題目為本文前面所列的3個(gè)例題,內(nèi)容均為考查單調(diào)性的討論,其中例1,例2,例3分值分別為5分, 5分, 10分,測(cè)試時(shí)間為25分鐘,測(cè)試的成績(jī)?nèi)缦卤?

表2 參與“函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”測(cè)試的班級(jí)的測(cè)試情況

據(jù)此,我們可以看出線性化思想對(duì)于具有“3”中總結(jié)的特征的題目十分有用,可以有效的降低了該類函數(shù)求單調(diào)區(qū)間的復(fù)雜性,特別是當(dāng)導(dǎo)函數(shù)中有零點(diǎn)的因式越多時(shí),線性化思想就越有用.另外,我們對(duì)以上數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到如下2×2列聯(lián)表[2]:

表3 測(cè)試成績(jī)統(tǒng)計(jì)出來(lái)的2×2列聯(lián)表

根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)我們可以計(jì)算得到

因此在犯錯(cuò)誤率不超過(guò)0.1的前提下,可以認(rèn)為本文所講的“線性化法”與學(xué)生是否能掌握具有“3”中總結(jié)的特征的題目有關(guān)系.