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    聚焦外角和整體來思考

    2017-03-04 01:27:33張立道
    初中生世界 2017年9期
    關(guān)鍵詞:邊數(shù)外角左轉(zhuǎn)

    張立道

    聚焦外角和整體來思考

    張立道

    根據(jù)n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)· 180°,我們可以推理得到n邊形的外角和等于360°,也就是說隨著多邊形邊數(shù)n的變化,多邊形的內(nèi)角和也在變化,而多邊形的外角和是一個(gè)不變的量,都等于360°.解決與多邊形內(nèi)角或外角度數(shù)有關(guān)的問題時(shí),往往從多邊形的外角和入手,整體思考更顯解法自然.現(xiàn)舉例加以說明.

    一、直接應(yīng)用多邊形外角和定理

    例1若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于40°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是().

    A.7B.8C.9D.10

    【分析】本題給出條件“多邊形的每一個(gè)外角都等于40°”,根據(jù)多邊形的外角和都是360°,所以,直接用360除以外角的度數(shù)就可以求出多邊形的外角個(gè)數(shù),即多邊形的邊數(shù),為360÷40=9.選C.

    【點(diǎn)評(píng)】本題直接應(yīng)用多邊形外角和與每一個(gè)外角、外角個(gè)數(shù)即多邊形的邊數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系求得多邊形的邊數(shù).

    例2(2016·臺(tái)灣)如圖1中的七邊形ABCDEFG中,AB、ED的延長(zhǎng)線相交于O點(diǎn).若圖中∠1、∠2、∠3、∠4的角度和為220°,則∠BOD的度數(shù)為().

    A.40°B.45°C.50°D.60°

    圖1

    【分析】待求的∠BOD既不在三角形中,也不是多邊形的內(nèi)角,那我們就應(yīng)考慮把∠BOD放入三角形中或構(gòu)造成與多邊形外角有關(guān)系的角,延長(zhǎng)BC交OD于點(diǎn)M,這樣,就可以直接根據(jù)多邊形的外角和為360°得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°,∠OMC與∠BMD的和為180°,即可得出結(jié)論.

    解:延長(zhǎng)BC交OD于點(diǎn)M.

    ∵多邊形的外角和為360°,

    ∴∠OBC+∠MCD+∠CDM

    =360°-220°=140°.

    ∵三角形的內(nèi)角和為180°,

    ∴在△OMB和△MCD中,∠BOD+∠OBC+∠OMB+∠DMC+∠MCD+∠CDM=360°,

    即∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM= 360°,

    ∴∠BOD=40°.即本題應(yīng)該選A.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了能否靈活地構(gòu)造多邊形的外角,直接應(yīng)用多邊形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和定理解決問題.

    例3如圖2,六邊形ABCDEF中,AB∥DC,∠1、∠2、∠3、∠4分別是∠BAF、∠AFE、∠FED、∠EDC的外角,則∠1+∠2+∠3+∠4=.

    圖2

    【分析】由圖形可知:∠1、∠2、∠3、∠4是六邊形ABCDEF的四個(gè)外角,如果能求出這個(gè)六邊形的另外兩個(gè)外角,即可求解.故作出這兩個(gè)外角∠MBC、∠BCN,并應(yīng)用平行線的性質(zhì)求得它們的和,進(jìn)而求得∠1+∠2+∠3+∠4的值.

    解:作出六邊形ABCDEF的兩個(gè)外角∠MBC、∠BCN.

    ∵AB∥DC,∴∠MBC+∠BCN=180°.

    ∵六邊形ABCDEF的外角和為360°,

    ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.

    即:本題應(yīng)該填180°.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查了能否構(gòu)造多邊形中具有特殊數(shù)量關(guān)系的兩個(gè)外角,從而直接應(yīng)用多邊形的外角和定理求得四個(gè)角的度數(shù)和.

    二、轉(zhuǎn)化內(nèi)角為外角,整體應(yīng)用多邊形外角和定理

    例4(2016·揚(yáng)州)若多邊形的每一個(gè)內(nèi)角均為135°,則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為.

    【分析】由于一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于135°,所以這個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于45°,再根據(jù)多邊形的外角和都是360°,即可求得多邊形的外角個(gè)數(shù)為360÷45=8.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查能否根據(jù)多邊形的每個(gè)內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角,求得多邊形的每個(gè)外角的度數(shù),進(jìn)而整體應(yīng)用多邊形外角和與每一個(gè)外角、外角個(gè)數(shù)的關(guān)系,求得多邊形的邊數(shù).當(dāng)然,本題也可以設(shè)邊數(shù)為n,根據(jù)內(nèi)角和可以用代數(shù)式表示為135n,也可以用代數(shù)式表示為(n-2)×180,則可建立方程為135n=(n-2)×180,解得n=8.

    三、實(shí)際問題數(shù)學(xué)化,整體應(yīng)用多邊形外角和定理

    例5(2016·十堰)如圖3所示,小華從點(diǎn)A出發(fā),沿直線前進(jìn)10米后左轉(zhuǎn)24°,再沿直線前進(jìn)10米,又向左轉(zhuǎn)24°,……,照這樣走下去,他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí),一共走的路程是().

    圖3

    A.140米B.150米C.160米D.240米

    【分析】由于小華從點(diǎn)A出發(fā),沿直線前進(jìn)10米后左轉(zhuǎn)24°,依次行走,他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn),說明小華轉(zhuǎn)過的角度就是360°,即為運(yùn)動(dòng)路線構(gòu)成的多邊形的外角和是360°.每次左轉(zhuǎn)24°,即為這個(gè)多邊形的每個(gè)外角的度數(shù),所以這個(gè)多邊形的邊數(shù)為360÷24=15,即左轉(zhuǎn)15次可以回到出發(fā)點(diǎn).又因?yàn)槊看巫?0米左轉(zhuǎn)一次,所以共走了150米.選B.

    【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形的外角計(jì)算與實(shí)際問題的結(jié)合.求小華所走的路程,使外角和的應(yīng)用煥然一新,解答時(shí)需要同學(xué)們靈活地把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題.

    (作者單位:江蘇省揚(yáng)州市邗江實(shí)驗(yàn)學(xué)校)

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