聚焦外角和整體來思考

張立道

根據(jù)n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180°，我們可以推理得到n邊形的外角和等于360°，也就是說隨著多邊形邊數(shù)n的變化，多邊形的內(nèi)角和也在變化，而多邊形的外角和是一個不變的量，都等于360°.解決與多邊形內(nèi)角或外角度數(shù)有關(guān)的問題時，往往從多邊形的外角和入手，整體思考更顯解法自然.現(xiàn)舉例加以說明.

一、直接應(yīng)用多邊形外角和定理

例1 若一個多邊形的每一個外角都等于40°，則這個多邊形的邊數(shù)是（ ）.

A.7 B.8 C.9 D.10

【分析】本題給出條件“多邊形的每一個外角都等于40°”，根據(jù)多邊形的外角和都是360°，所以，直接用360除以外角的度數(shù)就可以求出多邊形的外角個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)，為360÷40=9.選C.

【點(diǎn)評】本題直接應(yīng)用多邊形外角和與每一個外角、外角個數(shù)即多邊形的邊數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系求得多邊形的邊數(shù).

例2 （2016·臺灣）如圖1中的七邊形ABCDEFG中，AB、ED的延長線相交于O點(diǎn).若圖中∠1、∠2、∠3、∠4的角度和為220°，則∠BOD的度數(shù)為（ ）.

A.40° B.45° C.50° D.60°

【分析】待求的∠BOD既不在三角形中，也不是多邊形的內(nèi)角，那我們就應(yīng)考慮把∠BOD放入三角形中或構(gòu)造成與多邊形外角有關(guān)系的角，延長BC交OD于點(diǎn)M，這樣，就可以直接根據(jù)多邊形的外角和為360°得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°，∠OMC與∠BMD的和為180°，即可得出結(jié)論.

解：延長BC交OD于點(diǎn)M.

∵多邊形的外角和為360°，

∴∠OBC+∠MCD+∠CDM

=360°-220°=140°.

∵三角形的內(nèi)角和為180°，

∴在△OMB和△MCD中，∠BOD+∠OBC+∠OMB+∠DMC+∠MCD+∠CDM=360°，

即∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，

∴∠BOD=40°.即本題應(yīng)該選A.

【點(diǎn)評】本題考查了能否靈活地構(gòu)造多邊形的外角，直接應(yīng)用多邊形內(nèi)角和與三角形內(nèi)角和定理解決問題.

例3 如圖2，六邊形ABCDEF中，AB∥DC，∠1、∠2、∠3、∠4分別是∠BAF、∠AFE、∠FED、∠EDC的外角，則∠1+∠2+∠3+∠4= .

【分析】由圖形可知：∠1、∠2、∠3、∠4是六邊形ABCDEF的四個外角，如果能求出這個六邊形的另外兩個外角，即可求解.故作出這兩個外角∠MBC、∠BCN，并應(yīng)用平行線的性質(zhì)求得它們的和，進(jìn)而求得∠1+∠2+∠3+∠4的值.

解：作出六邊形ABCDEF的兩個外角∠MBC、∠BCN.

∵AB∥DC，∴∠MBC+∠BCN=180°.

∵六邊形ABCDEF的外角和為360°，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°.

即：本題應(yīng)該填180°.

【點(diǎn)評】本題考查了能否構(gòu)造多邊形中具有特殊數(shù)量關(guān)系的兩個外角，從而直接應(yīng)用多邊形的外角和定理求得四個角的度數(shù)和.

二、轉(zhuǎn)化內(nèi)角為外角，整體應(yīng)用多邊形外角和定理

例4 （2016·揚(yáng)州）若多邊形的每一個內(nèi)角均為135°，則這個多邊形的邊數(shù)為 .

【分析】由于一個多邊形的每一個內(nèi)角都等于135°，所以這個多邊形的每一個外角都等于45°，再根據(jù)多邊形的外角和都是360°，即可求得多邊形的外角個數(shù)為360÷45=8.

【點(diǎn)評】本題考查能否根據(jù)多邊形的每個內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，求得多邊形的每個外角的度數(shù)，進(jìn)而整體應(yīng)用多邊形外角和與每一個外角、外角個數(shù)的關(guān)系，求得多邊形的邊數(shù).當(dāng)然，本題也可以設(shè)邊數(shù)為n，根據(jù)內(nèi)角和可以用代數(shù)式表示為135n，也可以用代數(shù)式表示為（n-2）×180，則可建立方程為135n=（n-2）×180，解得n=8.

三、實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，整體應(yīng)用多邊形外角和定理

例5 （2016·十堰）如圖3所示，小華從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后左轉(zhuǎn)24°，再沿直線前進(jìn)10米，又向左轉(zhuǎn)24°，……，照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時，一共走的路程是（ ）.

A.140米 B.150米 C.160米 D.240米

【分析】由于小華從點(diǎn)A出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后左轉(zhuǎn)24°，依次行走，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)，說明小華轉(zhuǎn)過的角度就是360°，即為運(yùn)動路線構(gòu)成的多邊形的外角和是360°.每次左轉(zhuǎn)24°，即為這個多邊形的每個外角的度數(shù)，所以這個多邊形的邊數(shù)為360÷24=15，即左轉(zhuǎn)15次可以回到出發(fā)點(diǎn).又因?yàn)槊看巫?0米左轉(zhuǎn)一次，所以共走了150米.選B.

【點(diǎn)評】本題考查正多邊形的外角計算與實(shí)際問題的結(jié)合.求小華所走的路程，使外角和的應(yīng)用煥然一新，解答時需要同學(xué)們靈活地把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市邗江實(shí)驗(yàn)學(xué)校）