初中數(shù)學(xué)中關(guān)于“圓”的解題策略探索

玉 蘭

(內(nèi)蒙古通遼市庫倫旗第四中學(xué)，內(nèi)蒙古通遼，028299)

圓形在生活中十分常見，也是數(shù)學(xué)中的一個特殊的有規(guī)則圖形，教師應(yīng)在執(zhí)教過程中，引導(dǎo)學(xué)生正確理解圓的基本定理，并結(jié)合圓形的特殊性質(zhì)，更好地解決圓形問題的相關(guān)知識.教師還應(yīng)注意激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生能夠自發(fā)自覺地探究關(guān)于圓形問題的解題策略，啟發(fā)學(xué)生更加深入地思考相關(guān)圓形的知識.

1 利用“圓”的對稱性解題

作為軸對稱圖形、中心對稱圖形及旋轉(zhuǎn)對稱圖形，圓形上任何一條直徑的所在直線都是其對稱軸，且圓心是其對稱中心.教師可以通過動手實作的方式，讓學(xué)生進一步對圓的對稱性進行理解.教師可以讓學(xué)生將手中的圓形沿著中心線進行任意折疊，會發(fā)現(xiàn)無論從哪一個方向進行折疊，都會使圓形變成一個半圓形，教師可以借此啟發(fā)學(xué)生認知；通過圓心進行折疊，一條折痕就是直徑，而直徑的一般即為半徑，一條圓弧和經(jīng)過圓弧這條兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫扇形.教師可以以此為學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，將學(xué)習(xí)知識點進行深入挖掘，包括引導(dǎo)學(xué)生認知圓形周長及面積，這會順理成章地完成知識內(nèi)容的遷移，讓學(xué)生能夠進一步理解圓的對稱性.

例1學(xué)生甲和學(xué)生乙在沙灘上玩耍，需要在沙灘上畫出一個圓形，但二人手中均沒有工具，那么，應(yīng)如何在沙灘上畫出圓形？結(jié)合圓的對稱性進行分析，圓是在平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的軌跡，而圓心被稱為定點O，半徑Oa則被稱為定長，由于定長的點的集合與到點的距離相等，所以，學(xué)生甲可以在原地旋轉(zhuǎn)，將學(xué)生甲設(shè)置為O點，并拉動學(xué)生乙的手臂，將學(xué)生乙設(shè)置為a點，讓學(xué)生乙繞著學(xué)生甲在沙灘上走一圈，學(xué)生乙與學(xué)生甲之間的距離即為Oa，當繞到點b時，就會形成一個半圓，學(xué)生乙繼續(xù)前行，直到走到a點，這自然就會形成一個圓形(見圖1).教師通過這種與生活內(nèi)容相結(jié)合的，甚至與每個人都息息相關(guān)的模式開展教學(xué)，這會增加學(xué)生的代入感，讓學(xué)生可以更好地理解圓的對稱性這一特征.教師也可以讓同桌兩人在室外場地還原畫圓圈的場景，讓學(xué)生能夠通過實踐進一步理解圓的對稱性的特點，促進學(xué)生進行鞏固記憶.

圖1

2 利用“圓心角”解題

在等圓或同圓中，圓心角相等則其所對應(yīng)的弦及所對應(yīng)的弧都是相等的.在等圓或同圓中，若兩條弦相等、兩條弧相等、兩個圓心角相等中只要有一個概念成立，則說明另外兩個概念也是成立的.教師在引導(dǎo)學(xué)生理解了圓心角的基本概念后，應(yīng)通過案例對學(xué)生進行教學(xué)引導(dǎo)，以此提高學(xué)生的圓心角知識應(yīng)用能力.

例2如圖2-1，已知在⊙O中，∠A=35°，OB⊥OA，求∠COD的度數(shù).

圖2-1

解題：將OC連接，在Rt△AOB中，∠A=35°，∴∠B=55°，又∵OB=OC，∴180°-2∠B=∠COB=70°，∴∠COD=90°-∠COB=90°-70°=20°.在本問題中，將OC相連，在求圓心角度數(shù)的基礎(chǔ)上求解，以此對圓心角的概念進行鞏固性認知.

圖2-2

解法1：若證明弧相等，可以將BD、OD、OC、AC進行連接，N、M分別為BO、AO的中點，AB⊥CM、AB⊥DN，∴BD=OD、OC=AC，又∵OD=OC，∴BD=AC，所以弧度相等.

解法2：為拓展學(xué)生的思維模式，教師還可以鼓勵學(xué)生連接OD和OC進行證明.由于N、M分別是BO、AO的中點，∴BN=ON、AM=OM，∵OB=OA，∴ON=OM，∵AB⊥CM，AB⊥DN，OD=OC，∴Rt△DON≌Rt△COM，∴∠DOB=∠COA，所以弧度相等.

這一案例題目的難度并不強，但其解題方法較為靈活，而通過基本的輔助線可以提高學(xué)生的發(fā)散思維素養(yǎng).

3 利用“垂徑定理”解題

利用垂徑定理進行解題，大都結(jié)合勾股定理，以及弦心距、弦長、半徑間的運算，為提高學(xué)生對垂徑定理的解題能力，教師可以通過案例教學(xué)的方式啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)，并將案例進行組合，讓學(xué)生能夠通過掌握一種解題方法，進而對相同類型問題進行解題的素養(yǎng)，提高學(xué)生舉一反三的能力，以及知識遷移能力，促進學(xué)生發(fā)散思維素養(yǎng)的不斷提高.

例4⊙O的弦CD與直徑AB在E點相交，∠DEB=30°，EB=6，AE=2，求弦CD的長度.(見圖3-1)

圖3-1

圖3-2

變式2⊙O的弦為AB，AB上的一點為M，若OM=10 cm、MB=8 cm、AB=20 cm，求⊙O的半徑.(見圖3-3)教師應(yīng)結(jié)合垂徑定理，啟發(fā)學(xué)生進行分析，通過計算可知，⊙O的半徑等于14.

圖3-3

在此基礎(chǔ)上，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生以垂徑定理解決綜合應(yīng)用問題.

圖3-4

學(xué)生在對本題進行解題后，能夠有效提高對垂徑定理的應(yīng)用能力，還可以根據(jù)題意做出輔助線，以此對構(gòu)造出的直角三角形進行分析，會有效提高本題的解題效率.

4 利用“弦心距”解題

在一個圓中，圓心與該圓的任一弦距離即這一弦的弦心距，在等圓或同圓中，弦心距及弦都是相等的，若兩條弦不相等，則其弦心距也是不相等的，弦心距較小反而說明弦大.教師在引導(dǎo)學(xué)生理解弦心距定理后，應(yīng)結(jié)合實際問題啟發(fā)學(xué)生進行深入思考，確保學(xué)生通過解題對數(shù)學(xué)定理進一步認識，并以此提高學(xué)生將理論知識轉(zhuǎn)換為實踐思維的能力，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力可以獲得不斷突破[3].

例5如圖4，在⊙O中，弦EF=CD，直徑為10 cm，CD⊥OA于A，EF⊥OB于B，EF=8 cm，求OA的長.在對本問題進行解決的過程中，教師應(yīng)提醒學(xué)生，在解決弦心距、弧、弦問題的環(huán)節(jié)，應(yīng)做出弦心距或半徑，確保半徑、弦心距、弦的一半構(gòu)成直角三角形，并注意在等圓或同圓中，將弦心距、弧、弦、圓心角的關(guān)系進行解讀.可以將OF連接，EF=CD，CD⊥OA、EF⊥OB，∴BF=BE，AD=AC，OB=OA，∴直徑為10 cm，而OF則為5 cm，∴OA=3 cm.

圖4

圖5

利用不同方法進行解題，有利于提高學(xué)生對弦心距概念的理解能力，也可以讓學(xué)生從不同角度思考數(shù)學(xué)問題，對促進學(xué)生數(shù)學(xué)綜合思維素養(yǎng)的提高大有裨益.

5 結(jié)語

總而言之，在學(xué)習(xí)關(guān)于“圓”知識內(nèi)容的過程中，教師應(yīng)注意結(jié)合不同的案例幫助學(xué)生進行分析，這會有助于學(xué)生鞏固對相關(guān)數(shù)學(xué)概念問題的理解，也可以讓學(xué)生能夠通過分析數(shù)學(xué)概念，對數(shù)學(xué)應(yīng)用問題進行探究，確保學(xué)生能夠運用數(shù)學(xué)思維發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、分析問題、解決問題.尤其對于“圓”知識點的學(xué)習(xí)，更應(yīng)對與圓有關(guān)的所有定理有一個充分的掌握，使學(xué)生能夠更加高效地解決關(guān)于“圓”的問題，幫助學(xué)生從多元視角進行解題.