單元整體教學(xué)視角下的復(fù)習(xí)課教學(xué)探究
——以“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”為例

裴 姣

(江蘇省宜興外國(guó)語(yǔ)學(xué)校，江蘇無(wú)錫，214200)

單元復(fù)習(xí)課中知識(shí)以何種形式呈現(xiàn)，能讓概念復(fù)習(xí)不再是枯燥的無(wú)效重復(fù)，能讓學(xué)生思維在鞏固中落實(shí)提升？課前教師有必要把單元內(nèi)容進(jìn)行整體規(guī)劃，優(yōu)化整合，在情境中把問(wèn)題聯(lián)系結(jié)合起來(lái)，通過(guò)情景式問(wèn)題串帶領(lǐng)學(xué)生回憶相關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生在一個(gè)個(gè)問(wèn)題的關(guān)聯(lián)中感受數(shù)學(xué)的整體性，感悟知識(shí)點(diǎn)之間的相互聯(lián)系，讓知識(shí)生長(zhǎng)起來(lái).通過(guò)學(xué)生自我整理、歸納知識(shí)，構(gòu)建知識(shí)體系，達(dá)成學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解更透徹，達(dá)成學(xué)生思維能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)有效提升.下面，筆者以蘇科版九年級(jí)下冊(cè)第五章“二次函數(shù)”的單元復(fù)習(xí)教學(xué)為例，談?wù)劵谡w教學(xué)視角下，單元復(fù)習(xí)教學(xué)的實(shí)踐與思考.

1 教材內(nèi)容分析

1.1 內(nèi)容分析

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”部分的內(nèi)容，教科書(shū)把“代數(shù)式—方程—不等式—函數(shù)”作為這部分課程內(nèi)容的主干[1]，它們自成體系，都沿用了“由實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)模型—研究數(shù)學(xué)問(wèn)題(圖象、性質(zhì))—解決實(shí)際問(wèn)題”的學(xué)習(xí)思路，“數(shù)與代數(shù)”學(xué)法是相通的.從函數(shù)板塊分析，二次函數(shù)是學(xué)生在學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)后又一次接觸到的重要模型，放最后出現(xiàn)，從知識(shí)和思維層面，都表明它對(duì)學(xué)生能力要求更高，綜合性更強(qiáng)，在各地中考試卷中，二次函數(shù)常以壓軸題的形式出現(xiàn).二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)結(jié)構(gòu)如圖1所示.

圖1

1.2 復(fù)習(xí)目標(biāo)

(1) 通過(guò)對(duì)二次函數(shù)知識(shí)的回憶和梳理，鞏固二次函數(shù)的概念、函數(shù)表達(dá)式、待定系數(shù)法、圖象和性質(zhì)，由拋物線和拋物線上的點(diǎn)，感悟確定的數(shù)量與圖形直觀間的緊密聯(lián)系.

(2) 通過(guò)從函數(shù)的視角看一元二次方程(不等式)，明確二次函數(shù)與一元二次方程(不等式)、一次函數(shù)的關(guān)系，能用二次函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活問(wèn)題，提高數(shù)學(xué)抽象思維能力.

(3) 引導(dǎo)學(xué)生在歸納整理知識(shí)和探究問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)函數(shù)學(xué)習(xí)的方法，感悟模型思想、數(shù)形結(jié)合思想.

1.3 復(fù)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：二次函數(shù)的表達(dá)式、圖象和性質(zhì).

難點(diǎn)：結(jié)合圖象解題，應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題.

1.4 教學(xué)準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，重難點(diǎn)，列出存在的問(wèn)題，把知識(shí)點(diǎn)整理成文字、表格、結(jié)構(gòu)圖或思維導(dǎo)圖，小組成員開(kāi)展互評(píng)，在課前展示優(yōu)秀作業(yè).

2 由點(diǎn)入手，“對(duì)稱(chēng)”指路

例1見(jiàn)表1，已知二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y對(duì)應(yīng)的值，

問(wèn)題1：觀察表1，你能獲得哪些信息?

表1

鼓勵(lì)學(xué)生仔細(xì)觀察數(shù)值特征，大膽發(fā)表看法.經(jīng)過(guò)充分觀察和思考后，結(jié)合學(xué)生的回答和教師引導(dǎo)，完成表2的問(wèn)題.

思路啟發(fā):因?yàn)閤=-2和x=0時(shí)函數(shù)值相等都是-3，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，確定對(duì)稱(chēng)軸是直線x=-1，表格數(shù)據(jù)知(-1，-4)即為頂點(diǎn)坐標(biāo).再由對(duì)稱(chēng)性知點(diǎn)(1，0)關(guān)于直線x=-1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(-3，0)為圖象與x軸的另一交點(diǎn).隨著x的值從左到右逐漸增大，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y先減小后增大，確定開(kāi)口向上，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)值最小是-4.

問(wèn)題2：已知點(diǎn)(-2.5，y1)，(-0.5，y2)，(2，y3)是表1中對(duì)應(yīng)拋物線圖象上的三個(gè)點(diǎn)，則y1、y2、y3之間的大小關(guān)系是.

思路啟發(fā):如圖2，把(-2.5，y1)轉(zhuǎn)化為它關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(0.5，y1)，這樣三個(gè)點(diǎn)都在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，根據(jù)增減性知y隨x的增大而增大，因?yàn)?0.5<0.5<2，所以y2

圖2

設(shè)計(jì)意圖：拋物線是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它不僅充盈和諧之美，還顯露數(shù)學(xué)的靈活與精巧.運(yùn)用對(duì)稱(chēng)的思想來(lái)觀察點(diǎn)、轉(zhuǎn)化點(diǎn)，靈活捕捉、落實(shí)對(duì)稱(chēng)，不僅簡(jiǎn)化大量復(fù)雜的運(yùn)算，還能開(kāi)辟出新的解題路徑.

問(wèn)題3：請(qǐng)你求出表1對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.你有幾種方法？

讓學(xué)生動(dòng)筆寫(xiě)下過(guò)程，再一起交流方法.

思路啟發(fā):二次函數(shù)表達(dá)式有三種形式，若已知頂點(diǎn)，可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=a(x+1)2-4(a≠0)；已知三個(gè)點(diǎn)，可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c(a≠0)；已知圖象與x軸的交點(diǎn)，可設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=a(x+3)(x-1)(a≠0)，表達(dá)式中有幾個(gè)待定系數(shù)，就代入幾個(gè)已知點(diǎn)求出這個(gè)待定系數(shù).三個(gè)表達(dá)式形式雖不同，但實(shí)質(zhì)是同一個(gè)式子.

設(shè)計(jì)意圖：確定一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的表達(dá)式，都是待定系數(shù)法，足見(jiàn)待定系數(shù)法在求函數(shù)表達(dá)式中的重要作用.通過(guò)觀察列出的方程(組)，讓學(xué)生體會(huì)變量和常量的區(qū)別，感受方程(組)與函數(shù)的內(nèi)在關(guān)聯(lián).

問(wèn)題4：三個(gè)點(diǎn)一定能確定二次函數(shù)表達(dá)式嗎？

(1) 已知三點(diǎn)(-2，-3)，(-2，-2)，(0，0)；(2) 已知三點(diǎn)(-2，-2)，(0，0)，(1，1).

思路啟發(fā):留出充分觀察思考的時(shí)間，鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)出看法.問(wèn)題4中第一問(wèn)不能，因?yàn)閮蓚€(gè)點(diǎn)(-2，-3)，(-2，-2)橫坐標(biāo)相同，這與函數(shù)概念“兩個(gè)變量x與y，對(duì)于x的每一個(gè)值，都有唯一的y的值與它對(duì)應(yīng)”不符；第(2)問(wèn)也不能，因?yàn)槿c(diǎn)在一直線上.

設(shè)計(jì)意圖：聚點(diǎn)成線，線的形狀如何，要由點(diǎn)的位置和點(diǎn)的變化趨勢(shì)來(lái)決定，在不明確函數(shù)類(lèi)型的情況下，生搬硬套是對(duì)函數(shù)概念的混淆，碰到這類(lèi)問(wèn)題可以按照：描點(diǎn)——觀察猜想——連線——寫(xiě)出表達(dá)式的步驟處理.

2 觀察圖象，數(shù)形結(jié)合

2.1 圖形變換

問(wèn)題5：如圖3，是表1中對(duì)應(yīng)的拋物線圖象，(1) 如何平移這個(gè)拋物線，使其頂點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)？(2) 如何左右平移這個(gè)拋物線，使其圖象過(guò)原點(diǎn)？(3) 如何平移這個(gè)拋物線，使其頂點(diǎn)正好落在坐標(biāo)軸上？寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式.

圖3

思路啟發(fā):確定拋物線平移的方向和距離，抓住平移前后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的關(guān)系展開(kāi)，(1)(2)兩問(wèn)終點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，只要找出特殊點(diǎn)平移前的位置即可，第(1)問(wèn)自然是頂點(diǎn)，第(2)問(wèn)看拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，第(3)問(wèn)要注意x軸和y軸都是坐標(biāo)軸，分兩種情況討論向右平移1個(gè)單位或向上平移4個(gè)單位，由于坐標(biāo)軸上的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，因此拋物線平移后頂點(diǎn)的位置不能確定，故有無(wú)數(shù)種平移方式，函數(shù)表達(dá)式可根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)a和頂點(diǎn)具體位置來(lái)寫(xiě).

問(wèn)題6：把如圖3的拋物線沿x軸或y軸翻折，分別寫(xiě)出翻折后的拋物線表達(dá)式.

問(wèn)題7：把如圖3的拋物線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)后的拋物線表達(dá)式.

思路啟發(fā):如圖4，圖形變換的本質(zhì)，圖形的形狀和大小不變，只有位置改變.形狀取決于|a|，位置看特殊點(diǎn)與開(kāi)口方向，通常知道a和頂點(diǎn)就能寫(xiě)出函數(shù)表達(dá)式.

圖4

設(shè)計(jì)意圖：研究拋物線先研究點(diǎn)，由關(guān)鍵的點(diǎn)來(lái)確定整體情況，從具體到抽象符合認(rèn)知規(guī)律，抓住圖形變換前后變與不變的關(guān)系，變化的量變成了什么，讓學(xué)生先定點(diǎn)再畫(huà)線，后寫(xiě)出表達(dá)式，感悟“以形助數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想.

2.2 二次函數(shù)與一元二次方程(不等式)

問(wèn)題8：如圖3，結(jié)合圖象，(1) 直接寫(xiě)出方程x2+2x-3=0的解；

思路啟發(fā):從函數(shù)的角度出發(fā)，聯(lián)系一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點(diǎn)的情況，二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，觀察函數(shù)圖象知，方程的解為：x1=-3，x2=1.

(2) 寫(xiě)出方程x2+2x-3=-4的解；

思路啟發(fā):如圖5，從函數(shù)角度看這個(gè)方程，方程的解的情況是函數(shù)y=x2+2x-3與直線y=-4的交點(diǎn)情況，因?yàn)閽佄锞€與直線只有唯一交點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根.觀察函數(shù)圖象知，方程的解為：x1=x2=-1.

圖5

(3) 探究方程x2+2x-3=k(k為常數(shù))的根的情況；

思路啟發(fā):如圖6，與第(2)問(wèn)中不同的是等式右邊從-4變?yōu)閗，鑒于k的不確定，直線y=k是一組垂直于y軸的動(dòng)直線，結(jié)合上一題的經(jīng)驗(yàn)，二次方程的解的情況取決于二次函數(shù)和動(dòng)直線交點(diǎn)的情況，分k<-4，k=-4，k>-4三種情況展開(kāi)討論.

圖6

(4) 探究方程x2+2x-3=x-1的根的情況；

思路啟發(fā):如圖7，一元二次方程的根的情況是函數(shù)y=x2+2x-3與直線y=x-1的交點(diǎn)情況，方程的根是兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫(huà)出函數(shù)圖象，由圖象知，方程的解為：x1=-2，x2=1.

圖7

(5) 已知不等式x2+2x-3>x-1，求x的取值范圍.

思路啟發(fā):從函數(shù)角度審視不等式，令y1=x2+2x-3，y2=x-1，即求y1>y2時(shí)x的取值范圍，要找在x相同情況下，y1的函數(shù)值大于y2的函數(shù)值，反映在圖象上即找出當(dāng)x為同一數(shù)值時(shí)，二次函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方的部分，結(jié)合圖象知，x的取值范圍為：x<-2或x>1.

設(shè)計(jì)意圖：把一元二次方程(不等式)處理成兩個(gè)函數(shù)間相關(guān)問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)相輔相成，相互關(guān)聯(lián)，具有整體結(jié)構(gòu)，也體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的靈活性，從不同的角度去思考，能收獲新的方法.把一元二次方程(不等式)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，觀察函數(shù)圖象，從函數(shù)的交點(diǎn)，函數(shù)值的比較，自變量(函數(shù)值)范圍等處去研究，直觀明了，實(shí)現(xiàn)“化數(shù)為形，以形助數(shù)”，讓學(xué)生很好地感悟到數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等重要思想方法.

3 知識(shí)整合，思維提升

例2如圖8，已知拋物線過(guò)A(-4，0)，B(1，0)，C(0，-3)，作直線AC，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，C重合)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線m，與拋物線交于點(diǎn)Q，

圖8

問(wèn)題9：求線段PQ的最大值.

思路啟發(fā):點(diǎn)P、Q都是動(dòng)點(diǎn)，PQ是垂直于x軸的一組動(dòng)線段，任何位置P、Q的橫坐標(biāo)滿足相等，PQ的長(zhǎng)度就是兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，結(jié)合圖象，即PQ=yp-yQ，用代數(shù)式表示出PQ的長(zhǎng)度，轉(zhuǎn)化為求二次三項(xiàng)式的最值，用配方法或頂點(diǎn)公式求出最值.

設(shè)計(jì)意圖：線段的長(zhǎng)度就是兩端點(diǎn)之間的距離，我們知道，在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)坐標(biāo)就能算出兩點(diǎn)間的距離，結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律，表示出線段長(zhǎng)度的代數(shù)式模型，運(yùn)用函數(shù)知識(shí)求出最值.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用解析法求最值問(wèn)題的過(guò)程，感受數(shù)與形的緊密聯(lián)系及模型思想.

問(wèn)題10：如圖9，連接AQ，CQ，求△ACQ面積的最大值.

圖9

設(shè)計(jì)意圖：割補(bǔ)法是處理面積問(wèn)題的一般方法，在二次函數(shù)中同樣適用，可從“割”或“補(bǔ)”的角度去處理圖形，把問(wèn)題中的三角形面積轉(zhuǎn)化為新圖形面積的和或差，以此暢通思路，找到可行的解題方法.在平面直角坐標(biāo)系中，鉛垂線段和水平線段是更為特殊的線段，要充分把握住這些線段，表示出三角形的底和高，復(fù)雜圖形的組成還是基本的點(diǎn)和線，要善于捕捉，用這些特殊作用的點(diǎn)和線去表示題中的未知量.通過(guò)分析探究過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的作用，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題的能力.

問(wèn)題11：如圖10，作QH⊥AC于點(diǎn)H，垂足為點(diǎn)H，求線段QH的最大值.

圖10

設(shè)計(jì)意圖：“斜化直”是平面直角坐標(biāo)系中轉(zhuǎn)換線段的有效方法，通過(guò)相似三角形或銳角三角函數(shù)找出線段間的數(shù)量關(guān)系，把線段轉(zhuǎn)換為鉛垂線段和水平線段更易于處理和表示，培養(yǎng)學(xué)生大膽構(gòu)造，縝密思考，靈活運(yùn)用的思維習(xí)慣和能力.

一題多解(一)：由三角形入手，把QH看成△ACQ中AC邊上的高，底邊AC是定值5，當(dāng)高最大時(shí)，面積最大，把求QH的最大值轉(zhuǎn)化為問(wèn)題10中求△ACQ面積的最大值.

圖11

知識(shí)的復(fù)習(xí)，也要關(guān)注“知識(shí)鏈”的產(chǎn)生、生長(zhǎng)過(guò)程.本復(fù)習(xí)課例，從創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境入手，把二次函數(shù)紛繁零碎的知識(shí)點(diǎn)整合到問(wèn)題串中，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的探究，幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)知識(shí)歸類(lèi)整合，把點(diǎn)狀知識(shí)聚集為塊狀知識(shí)，進(jìn)而內(nèi)化建構(gòu)成知識(shí)體系.在知識(shí)鞏固的過(guò)程中，注意對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，通過(guò)問(wèn)題串把相近思維點(diǎn)或相同方法的問(wèn)題放一起，更易于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，感悟變式題的通性通法，提升思維能力和核心素養(yǎng).