極值原理的一個(gè)應(yīng)用

梁詩雨 韓 菲 羅小榮

新疆師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 新疆烏魯木齊 830017

若方程解的極值在區(qū)域的邊界達(dá)到，我們稱方程對(duì)應(yīng)的算子滿足極值原理。橢圓方程中，以Laplace方程為例，利用極值原理，可以得到Laplace方程的狄利克雷邊值問題的最大模估計(jì)。拋物型方程中，熱傳導(dǎo)方程滿足極值原理，用物理知識(shí)簡單形象地去理解此原理，即在熱傳導(dǎo)過程中，若物體內(nèi)無熱源，想要溫度趨于平衡，則高溫處的熱量需輸向低溫處，這種情況下，物體最高溫度必在初始時(shí)物體的邊界處達(dá)到。這是極值原理在現(xiàn)實(shí)生活中真實(shí)現(xiàn)象的映射[1-2]。蘭乃端、常保平應(yīng)用Hopf極值原理研究了一類具有邊界條件的半線性橢圓方程解的梯度q的估計(jì)[3]。麻西南、邱國寰等人在研究Hesse方程的Neumann邊值問題時(shí)，選取較合適的函數(shù)，利用極值原理方法給出了所研究問題的解的梯度估計(jì)[4]。徐金菊綜合利用Lieberman[5]等人的技巧，運(yùn)用極大值原理證明了平均曲率方程N(yùn)eumann問題解的邊界梯度估化，從而得到一個(gè)存在性定理[6-7]。本文應(yīng)用伯恩斯坦方法，應(yīng)用極值原理，得出一類線性方程的梯度估計(jì)。

1 準(zhǔn)備知識(shí)

2 主要結(jié)果

定理2 設(shè)aij(x)Diju+bi(x)Diu=f(x，u，?u)

(1)

證明：取測(cè)值函數(shù)P=|Du|2+β|u|2+eαx1，其中α、β待定。

令L=aijDij+biDi先計(jì)算L(|Du|2)：

可得：

對(duì)aij(x)Diju+bi(x)Diu=f(x，u，?u)每一項(xiàng)關(guān)于xl求導(dǎo)，得：

將上式每一項(xiàng)乘Dlu再對(duì)l求和整理：

現(xiàn)對(duì)上式等號(hào)左邊每一項(xiàng)估計(jì)：

可知：

(2)

由:

(3)

即：

又：

已知：

又：

由一致橢圓條件得：

及：

綜上可得：

又：

對(duì)上式等號(hào)右邊兩項(xiàng)估計(jì)后可得：

L(u2)≥2|f|c1|u|+2λ|Du|2≥2λ|Du|2-2|f|c1|u|≥2λ|Du|2-2|f|c1H

綜上我們有：

取β足夠大，則有：

對(duì)c4常數(shù)項(xiàng)，由于:

L(eαx1)=α11α2eαx1+b1αeαx1

及：

其中x1與diam(Ω)相關(guān)，取α足夠大，則:

a11α2eαx1+b1αeαx1-C4≥0

則有：

由于L(P)≥0，滿足弱極值原理，即：

則得到：

由此(1)式結(jié)論成立。