數(shù)學素養(yǎng)培育視角下的解析幾何教學

冉春蓮

【摘要】數(shù)學核心素養(yǎng)的落地離不開教學實踐.解析幾何是高中數(shù)學教學中數(shù)學運算核心素養(yǎng)的重要載體，而雙曲線在其中具有承上啟下的作用：作為雙焦點圓錐曲線，在學習中可將它與橢圓進行類比;而圓和橢圓都是封閉二次曲線，雙曲線作為開口的二次曲線，與拋物線也有一定相似之處.雙曲線的重要性由此可見一斑.而2021年課改地區(qū)高考試卷的數(shù)學試題第21題在某種程度上也體現(xiàn)了這一點.因此，立足解析幾何學習，在核心素養(yǎng)視角下進行雙曲線的標準方程教學設計可以說非常有必要，而結(jié)合教學實踐對教學效果進行反思，真正讓學生在核心素養(yǎng)上有所收獲則更加關(guān)鍵.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學抽象;數(shù)學運算;數(shù)學建模;邏輯推理;類比推理

根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》，數(shù)學核心素養(yǎng)是一個比較大的詞，涵蓋的方面很多，而且學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培育也絕非朝夕之功.但從另一個角度來說，九尺高臺起于壘土，學生數(shù)學素養(yǎng)的提升來自學生在整個學習過程中的日積月累，這離不開每一節(jié)課中教師的精心設計和潤物于無聲的滲透.下面以筆者在開設公開課“雙曲線及其標準方程”（教材版本為人教A版選擇性必修第一冊）的磨課過程中的兩節(jié)課（課例1為磨課，課例2為公開課，下面案例分析的部分均按此表達），談一點筆者的做法和不成熟的想法，以就正于方家.

教學案例分析

一、定義生成

[教學設計]課例1 這一環(huán)節(jié)分為兩個部分：復習回顧和定義生成.

復習回顧：復習橢圓的定義及標準方程，已知F1，F(xiàn)2為平面內(nèi)兩個定點，則平面內(nèi)滿足|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）的動點P的軌跡為橢圓，強調(diào)定義中2a>|F1F2|這一條件;橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1（焦點為（±c，0））或y2a2+x2b2=1（焦點為（0，±c）），其中a，b，c之間的關(guān)系滿足方程a2=b2+c2.

[設計意圖]由橢圓到雙曲線，筆者試圖在降低思維難度的同時，使學生經(jīng)歷通過類比發(fā)現(xiàn)并提出新問題、學習新的數(shù)學知識的過程，積累數(shù)學學習活動經(jīng)驗，培養(yǎng)類比推理的數(shù)學思想和相應能力.

[課堂效果及反思改進]課堂反饋：很多學生對用PPT展示、教師板書的復習橢圓的環(huán)節(jié)感到無趣.首先是沒有實際背景的復習，很容易陷入字母和數(shù)學符號的抽象怪圈，令學生心生抵觸，再加上學生的預期是一節(jié)新課，心理落差之下，大多數(shù)學生雖然基本都會（后續(xù)教學中體現(xiàn)出來的），但對回答問題的興趣不高.

根據(jù)學生的課堂反饋，筆者認識到，這種復習屬于無效復習，在教學中需要慎重應用.為了讓學生保持思維的活躍和知識聯(lián)結(jié)的方便，在講解雙曲線定義討論參數(shù)a的環(huán)節(jié)，教師調(diào)整了節(jié)奏，并改變提問的方式，讓學生之間互問互答，以學優(yōu)生帶動學困生，在本環(huán)節(jié)有效達成了讓不同學生都有收獲的小目標.

定義生成：接下來筆者利用圖釘將拉鏈固定在硬紙板上，讓同桌之間合作進行拉鏈實驗，畫出雙曲線，并總結(jié)雙曲線的定義，引導學生注意雙曲線定義的條件、絕對值，注意對0<2a<|F1F2|，2a=|F1F2|，2a>|F1F2|及2a=0等情況的討論.

①在條件0<2a<|F1F2|下：

|PF1|-|PF2|=2a時為雙曲線的一支（更靠近F2的一支）;

|PF1|-|PF2|=-2a時為雙曲線的另一支（更靠近F1的一支）.此時，結(jié)合橢圓定義，確定兩定點F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點，|F1F2|叫作焦距.

②當2a=|F1F2|時，||PF1|-|PF2||=2a表示兩條射線;

③當2a>|F1F2|時，||PF1|-|PF2||=2a不表示任何圖形;

④當2a=0時，||PF1|-|PF2||=2a表示線段F1F2的垂直平分線.

[設計意圖]由于雙曲線有兩支，同桌操作時則兩人都有動手的機會，也都有觀察的機會.由拉鏈實驗到雙曲線定義，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學建模思想、數(shù)學抽象素養(yǎng)，對參數(shù)a的細致討論，能使學生思維嚴密，提升學生的邏輯推理素養(yǎng).

[課堂效果及反思改進]按照預計，學生在復習了橢圓相關(guān)知識的基礎(chǔ)上，能比較順利地動手畫出雙曲線，并確定其定義，但事實并不如此.

問題主要在于作圖的過程極其不順利.大多數(shù)學生想當然地認為拉鏈實驗會和畫橢圓一樣很容易進行.對做了充分準備的教師而言，硬紙板加上圖釘固定焦點兩端非常容易，馬克筆的粗細也足以掩蓋誤差.于部分學生而言，薄薄的白紙上固定拉鏈兩端有困難，運動過程中很容易移位;隨著拉鏈的滑動，筆尖的運動也不是很容易控制，因為一般拉鏈很少能在緊繃的狀態(tài)下進行拉開或是閉合;兩點固定的太遠且拉鏈不夠長，畫出的圖形弧度不足……也有部分小組提前嘗試時發(fā)現(xiàn)了這個問題，決定用將繩子打活結(jié)作圖，但受限于摩擦力太大等問題仍不成功.

不問而知，師生雙方都對這個環(huán)節(jié)印象深刻.教師在課后反思本環(huán)節(jié)要不要取消，因為該環(huán)節(jié)似乎對學生理解并抽象出雙曲線的定義幫助不大，同時耗費的時間很多，并且有作秀的嫌疑.

而后續(xù)定義生成的過程不涉及數(shù)學抽象和數(shù)學建模素養(yǎng)，只能說是對照橢圓而進行的類比，并沒有很深層次的思維過程.

課例2 這一環(huán)節(jié)分為兩個部分：實例引入和定義生成.

[實例引入]你知道什么是勞蘭海圖嗎？岸上兩發(fā)射臺A，B同時發(fā)射時間很短促的脈沖波，船上則有一臺定位儀接收信號.當船與兩發(fā)射臺距離相等時，則兩發(fā)射臺的脈沖波會同時到達;如果船與兩發(fā)射臺的距離不相等，則脈沖波到達船上所需要的時間就不一樣，就會出現(xiàn)一個時差，這時，就可以在專門的雙曲線海圖（又叫勞蘭海圖）上畫出船位線確定船的位置.

問題1：勞蘭海圖為什么又叫雙曲線海圖？

問題2：將A，B，C視為三個點的話，它們滿足什么樣的關(guān)系？

[設計意圖]吸取課例1的教訓，結(jié)合教材例2的背景，選取了雙曲線定位系統(tǒng)的一個案例進行引入，再通過兩個問題培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)，引導學生認識數(shù)學的應用價值，同時，開門見山的引入有助于學生更好地進入新課.

[課堂效果及反思改進]學生很好地進入了學習狀態(tài)，部分學生描述A，B，C三點間關(guān)系時選用的物理量是時間，經(jīng)過討論后統(tǒng)一為距離.這給了教師一個啟發(fā)：此處教師沒有必要設置問題，完全可以問學生對這段材料有什么疑問，這樣能更好地培養(yǎng)學生的數(shù)學閱讀能力，讓學生主動提出問題并進行探索，從知識的接受者變成知識的發(fā)現(xiàn)者，從被老師考變成考官考查和提問老師與其他同學，這無論在心理上還是數(shù)學學習上都更有利于學生的發(fā)展.

定義生成：教師采用多媒體演示拉鏈實驗的過程，考慮到學生水平差異，這里仍然采取小組合作的方式.與課例1相同的環(huán)節(jié)不再贅述.

[設計意圖]引導學生結(jié)合引例和橢圓的定義抽象出雙曲線的定義.

[課堂效果及反思改進]課堂上這一環(huán)節(jié)進行得很順利.雖然沒有復習橢圓，但是在相關(guān)環(huán)節(jié)教師采用簡明扼要提問、學生口頭回答的方式，使學生理解起來并不困難，教學效果較好.

但課后部分學生提出了自己在課堂上這一時刻的困惑：引例中船的位置應該是固定的，但這里變成了動點，一時之間難以理解.教師意識到這部分學生欠缺的剛好是數(shù)學抽象素養(yǎng)：從具體的情境問題中抽象出一般規(guī)律，并用數(shù)學語言予以表征.經(jīng)此一問，教師意識到，引例中應該有這樣一個問題：兩發(fā)射臺A，B固定時，船C可能會在什么位置？C的所有可能的位置構(gòu)成什么圖形？這樣能更好地銜接引例和定義.

二、方程推導（課例1，2過程大致相同）

[教學設計]設|F1F2|=2c，讓學生自由建立坐標系，化簡并求出方程.F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），∴P={P||PF1|-|PF2}={±2a}，代入兩點間距離公式即可得到方程：

（x+c）2+y2-（x-c）2+y2=±2a，化簡，得x2a2-y2b2=1，此即為焦點在x軸上的雙曲線的標準方程.同理可得焦點在y軸上，即焦點是F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c）的雙曲線的標準方程為y2a2-x2b2=1，方程中均有c2=a2+b2.

[設計意圖]學生類比橢圓標準方程的推導過程來完成雙曲線的標準方程的推導，通過運算的相似性降低運算難度，提高成功率，提升學生的數(shù)學運算素養(yǎng).

[課堂效果及反思改進]在課例1中，由于前一環(huán)節(jié)占用的時間較長，教師在本環(huán)節(jié)進行了調(diào)整，將原本的個人完全獨立推導轉(zhuǎn)化為個人獨立建系設點列方程組，小組內(nèi)先完成的同學幫助其他同學檢查、協(xié)助學困生進行推導，由學生之間互相幫助、檢查來攻克學生在運算上的弱點，同時讓學生體會到解析幾何中運算的魅力——由復雜到簡單的過程，結(jié)果具有對稱美.實踐證明這個改動非常好，最大限度地減少了學困生迷茫和彷徨的時間——教師不可能對所有學困生進行單獨指導，而集中講解針對性又不強——解放了教師的同時，讓一部分原本在數(shù)學運算上只能說水平一般的學生通過指導他人運算在數(shù)學運算素養(yǎng)上有了提升，同時增強了他們學習數(shù)學的信心.

教師意料之中的難點是：學生對于絕對值的處理.班級學生的計算大體分為三種：第一類學生左右直接平方，這在一定程度上增加了運算難度，但由于選擇這種做法的幾個學生都是數(shù)學素養(yǎng)較高的，只是為了回避可能復雜的分類討論，而且他們對左右兩側(cè)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)把握比較到位，反而完成得比較順利;第二類學生沒有分類討論，含糊略過，這一類大多是基礎(chǔ)較差的學生，他們的主要目光集中在多項式的運算化簡上，對運算的等價性關(guān)注不夠;第三類學生是大多數(shù)，他們仿照橢圓標準方程的化簡過程，先去掉絕對值符號，將一個根式移項到等號另一側(cè)，然后進行分類討論，但是有超過一半的學生在第二次左右同時平方時沒能顧及等價性確定x的取值范圍——因為橢圓中沒有這一環(huán)節(jié)——反而是在應用題中才認識到這一問題的重要性.兩個課例中均是如此.

教師意料之外的問題：學生對于引入新變量很猶豫，即要不要令c2-a2=b2.學生認為，為了更好地和橢圓區(qū)分，應該引入新的變量，由此引發(fā)了新一輪的討論：橢圓和雙曲線是否應該用同一組字母a，b，c？事實上，這也是學生后續(xù)學習過程中的易錯點之一.對于該過程，學生進行了討論，最后學習程度較高、預習較充分的學生說服了其他學生：同為雙焦點曲線，用同一組字母a，b，c更有助于學生在學習過程中進行方法上的類比與區(qū)分.但對此結(jié)果仍有不少學生心存疑慮.教師適時拋出問題：在后續(xù)學習中請大家關(guān)注，橢圓和雙曲線是否有共同的性質(zhì)，是否可以使用同一組字母a，b，c來表示呢？事實上是有的，比如通徑和第三定義表達式等，橢圓和雙曲線可以在各自不同的定義下用同樣的式子來表示，這對培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)很有意義.通過引導學生從橢圓和雙曲線兩類曲線中抽象出一般性表達，培養(yǎng)學生思考問題一般性的習慣，抓住數(shù)學本質(zhì)，以簡馭繁.

但此處筆者仍有一個教學上的疑惑：有學生提出，可以在此處先設一個字母d，后面學習幾何性質(zhì)之后再將d替換為b，這樣邏輯上會更加自然，學生還提出這個做法類似于證明三線共點問題中先尋找兩兩之間的交點、再證明交點重合的想法.筆者接納學生，準備在下一屆教學中進行實踐.但無論如何，學生的獨立思維能力在此處得到了鍛煉.

三、鞏固練習（此處課例1，2過程大致相同）

[教學設計]

例1 已知兩定點為F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），曲線C上一點P到F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于6，求曲線C的標準方程.

練習1 判斷下列方程是否表示雙曲線，若是，求出其焦點的坐標.

（1）x24-y22=-1;（2）4y2-9x2=36.

[設計意圖]學生通過例1和練習1，從正、反兩個方面認識雙曲線的標準方程，從而加深理解.

[課堂效果及反思改進]課例1考慮時間因素，由學優(yōu)生作答，確實非常流暢，但這類題作為基礎(chǔ)過關(guān)題，是檢驗班級解析幾何學習較弱者的試金石，是學生課堂學習效果落地程度的標尺，教師必須保證全班學生都要過關(guān)，因此，筆者在課例2中調(diào)整為讓學困生作答.

四、實際應用

課例1：例2 一炮彈在某處爆炸，在 A處聽到爆炸聲的時間比在 B處晚2 s.

（1）爆炸點應在什么樣的曲線上？

（2）已知 A， B兩地相距800 m，并且聲速為340 m/s，求曲線的方程.

[設計意圖] 本例即教材的例2，通過雙曲線在解決實際問題中的應用，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng).

[課堂效果及反思改進]這個例題在不同時間和空間的各個版本的高中數(shù)學教材中都出現(xiàn)過，教師事先預想不會有問題，但在比較活躍的課堂氣氛中，學生提出了很多問題，有一些是無關(guān)緊要的，比如“人們怎么知道是炮彈爆炸而不是其他聲音”，但也有一些是值得探究的，比如“如何最終確定爆炸點的位置”，這一問題，教師交給學生課后查閱資料或者自己設計方案來解決.又比如“A，B兩地相距恰好800 m？即使這兩個是觀測站，建立之初就規(guī)劃好距離為800 m，兩地聽到爆炸聲的時間差會剛好是2 s嗎？如此短的時間差是如何確定其精確度的”，這充分體現(xiàn)了學生嚴肅認真的科學研究態(tài)度，教師應當予以重視.針對學生提出的問題，事實上也是絕大部分數(shù)學模型應用于實際時的常見問題：數(shù)據(jù)并不一定非常適合學生筆算，教師應該提出并指導學生學會運用相應的信息技術(shù)手段來解決，使學生能運用數(shù)學抽象、邏輯推理建立一般化的數(shù)學模型，并將模型應用于具體問題，從而得到比較可靠的結(jié)果，并用來解釋或解決實際問題.

課例2：例2 在本題的引例中，A，B兩處發(fā)射的電磁波在空氣中傳播的速度為每一微秒300 m，船上的定位儀C接收到 A信號比B處信號晚2 μs.

（1）定位儀C所在的海船應在什么樣的曲線上？

（2）已知 A，B兩地相距800 m，求（1）中曲線的方程.

[設計意圖]仿照教材的例2設置例題，一方面，說明船位線的由來，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和數(shù)學建模素養(yǎng)，另一方面，是對本節(jié)課前面內(nèi)容的進一步學習，形成了前后呼應.

[課堂效果及反思改進]對于這個例題，學生仍然提出了問題，比如“船的體積較大，能否視為質(zhì)點C”，由班級學生結(jié)合物理相關(guān)知識進行討論，確定可以，這種有理有據(jù)的討論有利于學科融合和學生建模素養(yǎng)的提升，課后可以更進一步完善問題.

五、結(jié) 語

曾經(jīng)筆者一直以為教學的高效在于為學生鋪平大路，引導他們最快地跑向終點，但遺憾的是，很多時候重來一次，學生甚至找不到起點.

相信學生自己能找到合適的路徑，相信學生能在群體學習中汲取營養(yǎng)，是筆者進行教學設計的主要指導思想.“要相信學生”，對教師而言，這也是一句知易行難的話.但在后續(xù)的學習中，學生的反應更加確定了筆者的想法.課后，根據(jù)范希爾理論（該理論可以用來確定不同推理能力的學生所處的演繹幾何思維水平）進行的測試中，學生的幾何認知水平差異有比較明顯的改善.課例1中，有學生告訴筆者他機械復習消減的學習興趣在手動畫圖時爆發(fā)，在應用題部分又有一個小爆發(fā)，而且經(jīng)過教訓，學生在后續(xù)學習的預習環(huán)節(jié)認真了很多，動手操作的熱情在拋物線的教學中明顯加強，作圖能力也有了明顯提升.而課例2中由于沒有學生自己畫圖的過程，他們作圖并不順利.這節(jié)課雖然出現(xiàn)了很多問題，但其中有很大一部分是學生自己深刻的體驗和感受，無論是成功或是失敗，都給學生留下了明確的指路標.這正是核心素養(yǎng)或者說教學的本質(zhì)所在：培養(yǎng)學生扎根于大腦深處的、可復制、更可創(chuàng)新的思維習慣.

【參考文獻】

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020：3-7.

[2]曹莉，王宇曉.基于范希爾理論的“橢圓及標準方程”教學設計[J].學習方法報·理綜教學研究，2021（8）：6.