基于解題回顧的數(shù)學(xué)寫(xiě)作的試探

何銘

【摘要】 數(shù)學(xué)寫(xiě)作是一種行之有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，解題回顧也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必不可少的過(guò)程.教師嘗試以解題回顧為基礎(chǔ)讓學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)寫(xiě)作，可以強(qiáng)化其解題過(guò)程中的元認(rèn)知.數(shù)學(xué)寫(xiě)作可以幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系，鞏固數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的理解.同時(shí)，數(shù)學(xué)寫(xiě)作還可以幫助學(xué)生理解與掌握元認(rèn)知，從而提高學(xué)生的元認(rèn)知水平.學(xué)生在具體寫(xiě)作時(shí)可以圍繞“對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行分步”“記錄解題思路及由來(lái)”“對(duì)題目按解題方法進(jìn)行分類(lèi)”和“對(duì)解題活動(dòng)總結(jié)”這四點(diǎn)展開(kāi)，使數(shù)學(xué)寫(xiě)作成為有米之炊.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)寫(xiě)作;解題回顧;元認(rèn)知

隨著以“核心素養(yǎng)”為中心的課程改革的不斷深入，數(shù)學(xué)交流、數(shù)學(xué)閱讀、數(shù)學(xué)寫(xiě)作、數(shù)學(xué)項(xiàng)目式學(xué)習(xí)等新型數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式出現(xiàn)在教學(xué)中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式受到了越來(lái)越多的關(guān)注.在國(guó)內(nèi)，自2017年5月5日“數(shù)學(xué)寫(xiě)作”學(xué)校聯(lián)盟啟動(dòng)開(kāi)始，數(shù)學(xué)寫(xiě)作在全國(guó)范圍內(nèi)推動(dòng)了眾多學(xué)校的學(xué)科教研和特色發(fā)展.但數(shù)學(xué)寫(xiě)作在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中受學(xué)生知識(shí)面、理解程度等因素影響，實(shí)施范圍較小，對(duì)于初一學(xué)生來(lái)說(shuō)這種限制更加嚴(yán)重.本人在教學(xué)中嘗試以解題回顧的形式打開(kāi)學(xué)生的數(shù)學(xué)寫(xiě)作大門(mén)，并為日后展開(kāi)數(shù)學(xué)寫(xiě)作活動(dòng)打下基礎(chǔ).數(shù)學(xué)寫(xiě)作是學(xué)生表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)的思想與想法，將學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)所產(chǎn)生的情感體驗(yàn)表現(xiàn)在寫(xiě)作內(nèi)容之中的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，數(shù)學(xué)寫(xiě)作是實(shí)現(xiàn)師生有效交流的重要途徑，教師在批閱數(shù)學(xué)寫(xiě)作時(shí)，應(yīng)該對(duì)學(xué)生所表達(dá)的情感及時(shí)評(píng)價(jià)與回應(yīng).

一、解題回顧與數(shù)學(xué)寫(xiě)作

1.解題回顧

著名美國(guó)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞在《怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法》中把解題過(guò)程分為四個(gè)階段：理解題意、擬訂方案、執(zhí)行方案和回顧.其中回顧是指：回顧完整的答案，重新斟酌、審查結(jié)果及導(dǎo)致結(jié)果的途徑.

解題回顧的過(guò)程中，除了要回顧有關(guān)知識(shí)、解題方法，更要回顧一開(kāi)始是怎樣探索的，走過(guò)哪些彎路，產(chǎn)生過(guò)哪些錯(cuò)誤，為什么會(huì)出現(xiàn)這些彎路和錯(cuò)誤等，最后形成解題經(jīng)驗(yàn).

2.數(shù)學(xué)寫(xiě)作

數(shù)學(xué)寫(xiě)作是指在學(xué)習(xí)目標(biāo)的指引下，學(xué)生將所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題整合起來(lái)，或者是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)及其規(guī)律的認(rèn)識(shí)，或者是自己對(duì)數(shù)學(xué)的困惑及理解，或者是與教師的溝通等，通過(guò)自主研究并整理寫(xiě)成數(shù)學(xué)文章的一種學(xué)習(xí)活動(dòng).活動(dòng)形式有數(shù)學(xué)日記、數(shù)學(xué)周記、數(shù)學(xué)作文、數(shù)學(xué)小論文等.

3.基于解題回顧的數(shù)學(xué)寫(xiě)作

教學(xué)過(guò)程中，很多學(xué)生回答問(wèn)題或與同學(xué)交流時(shí)，往往以答案開(kāi)始以答案結(jié)束，沒(méi)有呈現(xiàn)自己的解題思路.數(shù)學(xué)活動(dòng)作為特殊的認(rèn)知活動(dòng)，數(shù)學(xué)元認(rèn)知是客觀存在的.數(shù)學(xué)元認(rèn)知理論提出學(xué)生在參與解題活動(dòng)的過(guò)程中會(huì)存在解題策略和對(duì)整個(gè)過(guò)程的監(jiān)控，回到數(shù)學(xué)解題上其實(shí)就是解題思路的一部分.教師需要做的就是探索一些方法幫助學(xué)生主動(dòng)思考、監(jiān)控這個(gè)過(guò)程，并把它表達(dá)出來(lái).

基于解題回顧的數(shù)學(xué)寫(xiě)作就是以解題回顧為內(nèi)容，通過(guò)對(duì)解題方法和思路的體悟、總結(jié)等形式，把學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的思考和體驗(yàn)整理成文的活動(dòng).這一活動(dòng)過(guò)程的重點(diǎn)是把解題活動(dòng)中思考、監(jiān)控的過(guò)程用文字記錄下來(lái)，也就是說(shuō)不但要有完整的解題過(guò)程，而且要有方法、思路的生成過(guò)程.目的是把以前學(xué)生之間只能意會(huì)的數(shù)學(xué)變得可以言傳.

二、基于解題回顧的數(shù)學(xué)寫(xiě)作的價(jià)值

一方面，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》2011年版的課程基本理念中提出：教師教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生合作交流，并且對(duì)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)明確提出了數(shù)學(xué)交流的目標(biāo)要求.數(shù)學(xué)交流包括用書(shū)面或口頭形式進(jìn)行合理推斷、表達(dá)數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、反思與評(píng)價(jià)自己和他人觀點(diǎn).數(shù)學(xué)寫(xiě)作是提高數(shù)學(xué)活動(dòng)中接受信息和表達(dá)能力的手段，而初一學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的工具有限，以解題回顧為內(nèi)容來(lái)開(kāi)展數(shù)學(xué)寫(xiě)作活動(dòng)是比較合理的.同時(shí)，學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力得到鍛煉，也為日后全方面開(kāi)展數(shù)學(xué)寫(xiě)作乃至數(shù)學(xué)交流打下了基礎(chǔ).

另一方面，數(shù)學(xué)解題元認(rèn)知能力的提升，可以使解題的元認(rèn)知監(jiān)控上升到自我意識(shí)的水平，只有當(dāng)各種元認(rèn)知監(jiān)控達(dá)到不假思索、油然而生的境界，也就是上升到意識(shí)的層次才能使學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力達(dá)到自己的最高水平.因此，教師在解題的教學(xué)活動(dòng)中，要刻意讓學(xué)生通過(guò)監(jiān)控自己的思考過(guò)程及對(duì)解題過(guò)程追根溯源提高自我監(jiān)控水平.而基于解題回顧進(jìn)行數(shù)學(xué)寫(xiě)作可以很好地完成這一任務(wù)，從而幫助學(xué)生深化對(duì)答案的理解，理清解題過(guò)程中每一步的作用、步驟之間關(guān)系和其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，也促使學(xué)生思考用不同方法解同一道題目和將該題的結(jié)論或方法推廣到其他題目.這也是華羅庚先生提出的“書(shū)要從薄讀到厚，再?gòu)暮褡x到薄”的過(guò)程.

三、數(shù)學(xué)寫(xiě)作建立的試探

數(shù)學(xué)寫(xiě)作中遇到的首要問(wèn)題是學(xué)生不知道可以寫(xiě)什么，因此數(shù)學(xué)寫(xiě)作需要具體的、可操作的行動(dòng)才能真正落實(shí)，只有目標(biāo)沒(méi)有方法只能淪為空中樓閣.由于對(duì)象是剛剛升上初中的初一學(xué)生，數(shù)學(xué)寫(xiě)作可以選擇對(duì)數(shù)學(xué)題的總結(jié)歸納，這時(shí)需要教師給予學(xué)生解題回顧的內(nèi)容和數(shù)學(xué)寫(xiě)作的方法.下面從四點(diǎn)建議，談?wù)劤跻浑A段的數(shù)學(xué)寫(xiě)作內(nèi)容.

1.對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行分步

“控制”是數(shù)學(xué)解題自我監(jiān)控的主要因素之一，要求主體關(guān)注解題的過(guò)程性和層次性，有意識(shí)地控制自己的解題節(jié)奏，對(duì)整個(gè)解題過(guò)程做到心中有數(shù)，明確知道每一個(gè)解題步驟的意圖.教師通過(guò)解題過(guò)程分步來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)寫(xiě)作可以幫助學(xué)生有意識(shí)地監(jiān)控解題的過(guò)程，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生解題的程序性思維.要說(shuō)明的是，這里的分步不需要細(xì)分到每一步的運(yùn)算、證明，而是根據(jù)在題目中的作用對(duì)過(guò)程分模塊，明確每個(gè)模塊在整個(gè)過(guò)程里的作用和原理，理清模塊之間的關(guān)系.

案例1 絕對(duì)值的化簡(jiǎn)題

學(xué)生在數(shù)學(xué)寫(xiě)作中記錄：

已知a，b，c的大致位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a+c|+|b+c|-|a-b|.

解 Step 1：如圖可知b<a<0<c

Step 2：且|a|<|c|<|b|

Step 3：∴a+c>0，b+c<0，a-b>0

Step 4：∴原式=（a+c）+（-b-c）-（a-b）

Step 5： =a+b-b-c-a+b

Step 6： =（a-a）+（b-b+b）-c

Step 7： =b-c

點(diǎn)評(píng)和修改建議：分步并不是把標(biāo)準(zhǔn)答案里面的一行當(dāng)作一步，學(xué)生應(yīng)該關(guān)注整個(gè)過(guò)程可以分為幾大模塊，每個(gè)模塊要解決什么問(wèn)題，模塊之間是什么關(guān)系.例如，該題答案里面的第1，2行是解題的第一步：讀圖;第3行是第二步：判斷正負(fù);第4行是第三步：去絕對(duì)值;第5，6，7行是第四步：化簡(jiǎn).請(qǐng)根據(jù)上述建議修改并說(shuō)明：這四個(gè)步驟之間的關(guān)系及做這一步的理由.

設(shè)計(jì)意圖 數(shù)學(xué)解題元認(rèn)知理論提出：對(duì)整個(gè)解題過(guò)程要做到心中有數(shù)，而且要意識(shí)到每個(gè)步驟的意圖.這就要求學(xué)生對(duì)題目既要有全局意識(shí)，又要有局部意識(shí)，即要對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行有意義的分步并理清每一步的作用.學(xué)生在記錄這一題的時(shí)候明顯還不懂怎樣分步，此時(shí)學(xué)生需要通過(guò)例子進(jìn)行學(xué)習(xí).因此，教師可以先把解題步驟告訴學(xué)生，讓學(xué)生通過(guò)步驟來(lái)感受，接下來(lái)的工作由學(xué)生獨(dú)自思考完成.

案例2 一道用作差法比較兩數(shù)大小的題

學(xué)生在數(shù)學(xué)寫(xiě)作中記錄：

若M=3x2-5x+2，N=2x2-5x-2，判斷M，N的大小關(guān)系.

解 ∵M(jìn)-N=（3x2-5x+2）-（2x2-5x-2）=x2+4>0，

∴M>N.

點(diǎn)評(píng)和修改建議：根據(jù)下列問(wèn)題補(bǔ)充：1.這題主要用了什么方法？2.為什么是相減，原理是什么？3.這個(gè)方法的步驟、流程是怎樣的？4.每個(gè)步驟的作用和依據(jù)是什么？

設(shè)計(jì)意圖 這是一道比較兩數(shù)大小的題目，題目通常用作差法解決.學(xué)生升入中學(xué)后會(huì)學(xué)習(xí)很多解題的基本方法和模型，但隨著學(xué)習(xí)的內(nèi)容越來(lái)越多，學(xué)生會(huì)迷失在眾多的方法、模型之中.這是因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有掌握方法的原理，知其然不知其所以然.學(xué)生在做總結(jié)的時(shí)候往往沒(méi)有做更深層次的思考，為了改變這種現(xiàn)象，教師應(yīng)該在教授數(shù)學(xué)方法時(shí)要求學(xué)生注意數(shù)學(xué)方法、模型背后的原理.

2.記錄解題思路及由來(lái)

解題思路可以用解題經(jīng)驗(yàn)來(lái)解釋?zhuān)褪悄承?shù)學(xué)知識(shí)、解題方法與某些條件的有序組合，成功是一種有效的有序組合，失敗也可以從反面提供有效的有序組合.解題所做的腦力工作就在于回憶經(jīng)驗(yàn)中用得上的東西，并且和解題思維聯(lián)系起來(lái).學(xué)生在回顧時(shí)應(yīng)把解題時(shí)的嘗試進(jìn)行總結(jié)，不管這些嘗試是成功的還是失敗的，對(duì)下次解題活動(dòng)來(lái)講都是有參考價(jià)值的.另外，對(duì)沒(méi)解出來(lái)的題目，拿到標(biāo)準(zhǔn)答案之后也應(yīng)該嘗試反推解題思路，這會(huì)成為日后的解題經(jīng)驗(yàn).

案例3 一道含參數(shù)的一元一次方程題

學(xué)生在數(shù)學(xué)寫(xiě)作中記錄：

已知關(guān)于x的方程x3+a=|a|2x-16（x-6）

（1）當(dāng)a取何值時(shí)，方程無(wú)解？

（2）當(dāng)a取何值時(shí)，方程有無(wú)窮多個(gè)解？

（3）當(dāng)a=3時(shí)，方程的解是多少？

解 由x3+a=|a|2x-16（x-6），

可得3-3|a|6x=1-a（二話不說(shuō)，先化簡(jiǎn).）

（1）由題意得3-3|a|6=0，

1-a≠0，解得a=-1

（問(wèn)：為什么是一個(gè)=0，另一個(gè)≠0？）

（答：只有方程等號(hào)一邊等于0，等號(hào)另一邊不等于0，方程才會(huì)無(wú)解）

∴當(dāng)a=-1時(shí)，方程無(wú)解.

（2）由題意得3-3|a|6=0，

1-a=0，解得a=1.

（無(wú)窮多個(gè)解，就是x的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)都為0）

∴當(dāng)a=1時(shí)，方程有無(wú)窮多個(gè)解.

（3）當(dāng)a=3時(shí)，原方程為x3+3=32x-16（x-6）（直接代入計(jì)算就好）

解得x=2

總結(jié)：這類(lèi)題要分類(lèi)討論.

點(diǎn)評(píng)和修改建議：把自己的解題思路用口語(yǔ)化的表達(dá)記錄下來(lái)很親切，而且對(duì)于含參方程解的情況已經(jīng)掌握得很好.在做總結(jié)的時(shí)候可以把問(wèn)題的本質(zhì)關(guān)于x的方程ax=b拿出來(lái)，然后把復(fù)雜的問(wèn)題化歸到簡(jiǎn)單的、已解決的問(wèn)題上.

設(shè)計(jì)意圖 解題過(guò)程以外的思路記錄部分應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生用各種形式，可以是解題時(shí)畫(huà)的草圖、自問(wèn)自答的對(duì)話、口語(yǔ)化的表達(dá)等，這些才是學(xué)生真實(shí)存在的思考內(nèi)容，真實(shí)的內(nèi)容才能對(duì)過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行分析和總結(jié).除了成功的經(jīng)驗(yàn)外，失敗的經(jīng)驗(yàn)也能為學(xué)生日后解題指導(dǎo)方向.如果學(xué)生大膽把自己失敗的嘗試過(guò)程記錄下來(lái)，教師也要進(jìn)行鼓勵(lì).

3.對(duì)題目按解題方法進(jìn)行分類(lèi)

學(xué)生要將陌生問(wèn)題化歸為熟悉問(wèn)題，需要善于將所學(xué)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，形成一個(gè)個(gè)知識(shí)組塊，再對(duì)這些知識(shí)組塊進(jìn)行加工，形成一個(gè)條理清楚、層次分明的知識(shí)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，這樣就可以提高知識(shí)的檢索與提取效率.一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生手頭上與課程配套的練習(xí)是按課時(shí)編排的，不利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，而處理相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)的解題方法是類(lèi)似的.因此，學(xué)生在總結(jié)歸納數(shù)學(xué)題時(shí)應(yīng)該對(duì)題目按解題方法進(jìn)行分類(lèi)，將熟悉的解題方法歸納在一起，從而提高數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究能力.

案例4 整理第二章《整式的加減》典型題（1）

學(xué)生在數(shù)學(xué)寫(xiě)作中記錄：

§2.1代數(shù)式學(xué)案（若干題）

§2.2單項(xiàng)式學(xué)案（若干題）

§2.3多項(xiàng)式學(xué)案（若干題）

……（若干份學(xué)案）

點(diǎn)評(píng)和修改建議：切忌傳統(tǒng)錯(cuò)題本式的機(jī)械記錄.不難發(fā)現(xiàn)，不同學(xué)案中會(huì)有處理方式一樣的題，這些題的方法和思路是類(lèi)似的，我們可以把它們歸到一類(lèi)，總結(jié)這一類(lèi)題目的特點(diǎn).如這一章里用整體思想進(jìn)行代換的題目，可以放在一起研究它們的共同點(diǎn)，進(jìn)而掌握這一類(lèi)題目的解題方法.

設(shè)計(jì)意圖 該生一開(kāi)始以為整理就僅僅是把題目記錄下來(lái)，沒(méi)有挖掘該類(lèi)數(shù)學(xué)題目的內(nèi)涵和核心，這是沿用的傳統(tǒng)錯(cuò)題本的經(jīng)驗(yàn).學(xué)生在剛接觸數(shù)學(xué)寫(xiě)作時(shí)很多采用這種模式，這是學(xué)生小學(xué)時(shí)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，或是小學(xué)作業(yè)的要求，這種學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和作業(yè)要求，并不適用于初一的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí).教師要改變這種情況需要“授之以漁”，更需要“授之以魚(yú)”，即給出具體的一類(lèi)題目讓學(xué)生進(jìn)行整理，加強(qiáng)學(xué)生整理歸納的能力，將同類(lèi)型的題歸納整理為一種類(lèi)型題.另外，數(shù)學(xué)寫(xiě)作除了是學(xué)生自己與自己交流、學(xué)生與教師交流，更應(yīng)該是學(xué)生與學(xué)生之間的交流，所以教師可以展示優(yōu)秀作品供大家互相學(xué)習(xí)、評(píng)鑒，學(xué)生在欣賞其他同學(xué)的數(shù)學(xué)寫(xiě)作作品之后，會(huì)不斷完善自己的數(shù)學(xué)寫(xiě)作內(nèi)容，努力提升自身的數(shù)學(xué)寫(xiě)作水平.

4.對(duì)解題活動(dòng)總結(jié)

評(píng)價(jià)也是數(shù)學(xué)解題自我監(jiān)控的主要因素之一，要求主體以理解性和發(fā)展性標(biāo)準(zhǔn)來(lái)認(rèn)識(shí)自己解題的收獲.評(píng)價(jià)應(yīng)該貫串解題的四個(gè)步驟，但在解題后尤其重要，也是學(xué)生會(huì)忽視的一點(diǎn).數(shù)學(xué)寫(xiě)作讓學(xué)生在解題回顧時(shí)對(duì)解題活動(dòng)進(jìn)行總結(jié)，可以樹(shù)立學(xué)生對(duì)解題活動(dòng)總結(jié)的意識(shí)，并潛移默化地遷移到平時(shí).在具體操作時(shí)，學(xué)生應(yīng)該跳出題目本身，嘗試總結(jié)更深層次的觀點(diǎn)，如解決此問(wèn)題的關(guān)鍵所在、解題過(guò)程的經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)、成功得失及其原因等.如在案例3中，學(xué)生把自己的個(gè)人感受和經(jīng)驗(yàn)用一句話進(jìn)行了總結(jié)，這是值得鼓勵(lì)的，初一學(xué)生的這方面能力比較弱，需要循序漸進(jìn)慢慢培養(yǎng).

數(shù)學(xué)寫(xiě)作能夠促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，發(fā)展核心素養(yǎng)，這些目標(biāo)并不能一朝一夕就完成.實(shí)踐能發(fā)現(xiàn)和解決前進(jìn)路上的問(wèn)題，以上述幾點(diǎn)內(nèi)容嘗試讓學(xué)生實(shí)實(shí)在在動(dòng)筆進(jìn)行數(shù)學(xué)寫(xiě)作，即使這些試探還有些不成熟，也是學(xué)生走出萬(wàn)里長(zhǎng)征的第一步.

【參考文獻(xiàn)】

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