函數(shù)思想在“從分?jǐn)?shù)到分式”教學(xué)設(shè)計(jì)中的滲透

李曉娜 周子凡 高然

【摘要】在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以滲透一些后續(xù)學(xué)習(xí)會(huì)用到的數(shù)學(xué)思想.本文通過(guò)在“從分?jǐn)?shù)到分式”的教學(xué)設(shè)計(jì)中創(chuàng)設(shè)情境，在分式有意義、分式值為零的條件的求解過(guò)程中滲透函數(shù)的“變量對(duì)應(yīng)思想”，發(fā)展學(xué)生合情推理的能力，滲透函數(shù)思想，并利用小組合作交流提升學(xué)生小組合作的意識(shí).

【關(guān)鍵詞】函數(shù)思想;分式;教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教材分析

分式在整個(gè)初中教材中具有承上啟下的作用.分式屬于有理式范疇，但和整式有本質(zhì)的區(qū)別，是初中代數(shù)部分的重要概念.對(duì)于本章的教學(xué)，教師應(yīng)主要借助舊知分?jǐn)?shù)來(lái)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)分式的內(nèi)容，運(yùn)用類(lèi)比的學(xué)習(xí)方法讓學(xué)生承上啟下地理解知識(shí)之間的聯(lián)系和區(qū)別.分?jǐn)?shù)與分式有一致的形式，有相似的定義方式、性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)律，學(xué)生通過(guò)類(lèi)比的學(xué)習(xí)方式可得出分式的概念，并通過(guò)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算方式引入分式的運(yùn)算.這為后面解分式方程做了鋪墊，也為學(xué)習(xí)反比例函數(shù)奠定了基礎(chǔ).

二、學(xué)情分析

學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)分?jǐn)?shù)的概念和基本性質(zhì)，因此，通過(guò)類(lèi)比分?jǐn)?shù)的知識(shí)，學(xué)生會(huì)較容易理解分式的相關(guān)知識(shí).初二的學(xué)生已具有數(shù)學(xué)知識(shí)探索能力，分析歸納能力也逐步增強(qiáng)，同時(shí)筆者執(zhí)教班級(jí)的學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力較強(qiáng)，對(duì)于知識(shí)的接受能力及數(shù)學(xué)演繹創(chuàng)造能力較強(qiáng)，故本節(jié)課主要以學(xué)生主動(dòng)探究學(xué)習(xí)為主.

三、目標(biāo)分析

1.了解分式的概念，掌握分式有意義和值為零時(shí)字母的取值范圍.

2.類(lèi)比分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)，經(jīng)歷分式概念的形成及探索分式有意義條件的過(guò)程，從具體到抽象，從特殊到一般，同時(shí)滲透函數(shù)思想.

3.通過(guò)具體問(wèn)題的解決，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)語(yǔ)言的嚴(yán)密性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和自信心.

四、教學(xué)環(huán)節(jié)

【環(huán)節(jié)一】類(lèi)比思考，發(fā)現(xiàn)分式

數(shù)學(xué)游戲：請(qǐng)你任意給出兩個(gè)整數(shù)并相除，商有幾種結(jié)果？

問(wèn)題1：計(jì)算的結(jié)果一定是整數(shù)嗎？

師生：（總結(jié)）兩個(gè)整數(shù)的商不一定是整數(shù).

追問(wèn)：當(dāng)兩個(gè)整數(shù)相除的結(jié)果不是整數(shù)時(shí)，如5÷2，怎樣表示商？它有什么實(shí)際意義嗎？

師生活動(dòng)：結(jié)合分?jǐn)?shù)52進(jìn)行說(shuō)明.

教師總結(jié)思路：引入分?jǐn)?shù)的意義是解決商不為整數(shù)的這類(lèi)結(jié)果.

追問(wèn)：請(qǐng)你任意給出兩個(gè)整式，商有幾種結(jié)果？

問(wèn)題2：計(jì)算的結(jié)果一定是整式嗎？

師生：（總結(jié)）類(lèi)比分?jǐn)?shù)的發(fā)展，任意兩個(gè)整式的商的結(jié)果如何？如2x2yz÷xyz（結(jié)果是整式），y÷（y+2）（結(jié)果不為整式）.

追問(wèn)：不是整式的商如何表示呢？

師生活動(dòng)：用yy+2表示所得的商.

追問(wèn)：你能舉出兩個(gè)整式相除的結(jié)果不是整式的例子嗎？

教師：（總結(jié)）商的結(jié)果不是整式時(shí)，可用類(lèi)似分?jǐn)?shù)的方法引入整式相除商的表示方式，即：

兩個(gè)整數(shù)相除商不是整數(shù)→一般化→引入分?jǐn)?shù)表示商，

兩個(gè)整式相除商不是整式→一般化→引入新的式子表示商.

【設(shè)計(jì)意圖】抓住數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心，類(lèi)比分?jǐn)?shù)的運(yùn)算本質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)整式相除結(jié)果不是整式時(shí)引入分式這個(gè)新的概念，讓學(xué)生在分式的引入過(guò)程中體會(huì)數(shù)系擴(kuò)充的思想，同時(shí)為從分?jǐn)?shù)到分式的一般化抽象提供樣例.

【環(huán)節(jié)二】發(fā)現(xiàn)新知，總結(jié)歸納

問(wèn)題1：對(duì)于新引入的式子，應(yīng)該研究它的哪些內(nèi)容？依據(jù)什么樣的思路展開(kāi)研究？

追問(wèn)：在小學(xué)我們學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的哪些知識(shí)？是按照怎樣的思路和方法研究的？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)思路，類(lèi)比分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)方式“分?jǐn)?shù)的定義—分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)—分?jǐn)?shù)的運(yùn)算”的思路，進(jìn)一步學(xué)習(xí)一般化的式子——分式，同時(shí)滲透研究新概念的一般方式.

問(wèn)題2：你能?chē)L試給分式下個(gè)定義嗎？

① 這類(lèi)代數(shù)式有哪些特征？

② 如何定義分式？

師生活動(dòng)：

（發(fā)現(xiàn)其共同特征）AB表示兩個(gè)整式A，B相除得到的商，并通過(guò)比較整式得到B中含有字母的特征.

一般地，如果A，B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫作分式.分式AB中，A叫作分式的分子，B叫作分式的分母.

類(lèi)似于“整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù)”，我們把整式和分式統(tǒng)稱(chēng)有理式.

【設(shè)計(jì)意圖】類(lèi)比分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)方式建構(gòu)分式的概念，同時(shí)學(xué)習(xí)研究分式的一般思路.

【環(huán)節(jié)三】辨析概念，新知應(yīng)用

例1 下列代數(shù)式中，哪些是分式？哪些是整式？

（1）3x+16;（2）2a（a≠0）;（3）3xπ;（4）3x2x.

分析 （1）是整式;（2）是分式;（3）是整式：π是一個(gè)數(shù);

（4）是分式：分式是用形式定義的，不能先變形.

解 整式：3x+16，3xπ;分式：2aa≠0，3x2x.

歸納總結(jié)：分式應(yīng)具備如下條件：

（1）形如AB，且A，B均為整式;

（2）分母B中含有字母;

（3）分母B≠0.

【設(shè)計(jì)意圖】概括分式的本質(zhì)屬性：兩個(gè)整式的商，分母中含有字母，且分母不為0.

【環(huán)節(jié)四】合作探究，深化新知

思考：以分式xx+2為例，說(shuō)說(shuō)分式與整式的關(guān)系，以及分式與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系與區(qū)別.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出分式表示兩個(gè)整式的商，分式與整式的區(qū)別在于分母中是否含有字母.

追問(wèn)：分式xx+2中的字母x可以取哪些值？分式和分?jǐn)?shù)之間有什么關(guān)系？分式有意義的條件是什么？分式為零的條件是什么？

填表：

x-2-1012…

x+201234…

xx+2無(wú)意義-101312…

問(wèn)題1：對(duì)于任意的x值，都能求出整式x+2的值嗎？

問(wèn)題2：對(duì)于任意的x值，都能求出xx+2的值嗎？

問(wèn)題3：分式在什么條件下值為零？

歸納總結(jié)：分式是分?jǐn)?shù)的一般化，分?jǐn)?shù)是分式中字母取某些值時(shí)得到的具體數(shù).分式的值為零的條件是：分母不為零且分子為零.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)填寫(xiě)表格，讓學(xué)生直觀理解分式的概念.

列表格的第一個(gè)目的是著眼于兩個(gè)“0”時(shí)刻的解讀.第一個(gè)“0”時(shí)刻是當(dāng)x=-2時(shí)x+2=0，類(lèi)比“分?jǐn)?shù)分母不為零分式分母B≠0-20無(wú)意義”，進(jìn)而得到分式有意義的條件是：分式的分母B≠0.第二個(gè)“0”時(shí)刻是當(dāng)x=0時(shí)x+2=2，“分子值為零、分母值不為零分式值為零”，從而歸納出分式值為零的條件：分子為零且分母不為零.

第二個(gè)目的是對(duì)分式與分?jǐn)?shù)關(guān)系的一個(gè)直觀解讀，同時(shí)滲透函數(shù)的“變量對(duì)應(yīng)說(shuō)”的概念，在取值范圍內(nèi)，當(dāng)x給定任意值時(shí)，分式都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)值恰好是分?jǐn)?shù)，總結(jié)來(lái)說(shuō)，分式是分?jǐn)?shù)的一般化，分?jǐn)?shù)是分式的具體化.

第三個(gè)目的是對(duì)分式值進(jìn)行一個(gè)整體的分析，從它的大小變化趨勢(shì)進(jìn)一步滲透函數(shù)思想.

這個(gè)環(huán)節(jié)滲透了從特殊到一般的研究思想，從分?jǐn)?shù)到分式運(yùn)用了類(lèi)比的思想，符合學(xué)生的認(rèn)知水平和認(rèn)知規(guī)律.

例2 當(dāng)x取什么值時(shí)，下列各式有意義？

（1）x-3x+3;（2）2x-5x2 ;（3）x-2x2-4.

例3 當(dāng)x取什么值時(shí)，分式x-4x-4的值等于零？

解 分式|x|-4x-4的值等于零的條件：x-4≠0 ①，|x|-4=0 ②，

由①，得x≠4，

由②，得x=±4.

故當(dāng)x=-4時(shí)，分式|x|-4x-4的值等于零.

注：一般地，稱(chēng)一個(gè)式子為分式時(shí)，就隱含了分母不等于零的條件.

拓展練習(xí)：

1.如果分式63a-5是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是.

2.x取何值時(shí)，代數(shù)式11+11+x有意義？

3.分式2x+1x2-4x+4中x的取值范圍是.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例題的講解使學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握分式有意義的條件以及分式為零的條件，同時(shí)與上一章因式分解、七年級(jí)絕對(duì)值內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)融合，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的縱向理解.

【環(huán)節(jié)五】課堂作業(yè)，自我評(píng)價(jià)

1.下面的式子中，哪些是分式？

3x2-1，3000300-a，27， VS，S32， 2x2+15，45b-c，x2-xy+y22x-1.

2.當(dāng)x取什么值時(shí)，下列各式有意義？

（1）2x-5x-3;（2）xx2-1;（3）2xx2+3.

3.當(dāng)x取什么值時(shí)，下列各式的值等于零？

（1）2x-3x+2;（2）xx-1;（3）x-1x-1.

【環(huán)節(jié)六】課后反思

“從分?jǐn)?shù)到分式”是人教版八年級(jí)上冊(cè)中的教學(xué)內(nèi)容，初中生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)分?jǐn)?shù)的概念和基本性質(zhì)，因此，類(lèi)比分?jǐn)?shù)的知識(shí)學(xué)生較容易理解分式的相關(guān)知識(shí).筆者執(zhí)教班級(jí)的學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力較強(qiáng)，已具有數(shù)學(xué)知識(shí)探索能力及分析歸納能力，對(duì)于知識(shí)的接受能力及數(shù)學(xué)演繹創(chuàng)造能力較強(qiáng)，故本節(jié)課中可以學(xué)生為主體，讓學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)腦積極思考.通過(guò)本節(jié)課，無(wú)論是在實(shí)際教學(xué)實(shí)踐方面，還是教學(xué)理論指導(dǎo)方面，都使我受益匪淺.下面，筆者將從備課準(zhǔn)備以及授課結(jié)束兩個(gè)方面談一下自己的感受.

在備課準(zhǔn)備的過(guò)程中，筆者有以下收獲：

1.為了進(jìn)一步了解學(xué)情，了解這一階段學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律及特點(diǎn)，筆者精心研讀了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和皮亞杰的認(rèn)知規(guī)律，進(jìn)一步了解了學(xué)生思維邏輯的發(fā)展過(guò)程，知道了學(xué)生知識(shí)形成所經(jīng)歷的過(guò)程是從具體運(yùn)算階段到形式運(yùn)算階段，是從具體的圖表演示轉(zhuǎn)變?yōu)槌橄蟮乃季S概括，這些都為筆者本次教學(xué)及今后的教學(xué)提供了重要的理論指導(dǎo)，知道了如何按照當(dāng)前學(xué)生的心理和認(rèn)知特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué).

2.對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)的理解：通過(guò)磨課、研課，筆者看到了數(shù)學(xué)是思維發(fā)展的呈現(xiàn)，上課的過(guò)程既是學(xué)生思維發(fā)展訓(xùn)練的過(guò)程，也是教師進(jìn)一步理解知識(shí)本質(zhì)、不斷成長(zhǎng)的過(guò)程.本次課程打磨的過(guò)程使筆者從數(shù)學(xué)更高的層面看到了數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該具備的要點(diǎn)：重在思維，把握本質(zhì)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，由易到難，層層深入.

3.對(duì)于情感與態(tài)度方面的理解：筆者漸漸理解了數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是知識(shí)和技能、過(guò)程與方法的教學(xué)，更體現(xiàn)在情感、態(tài)度上，適時(shí)地對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)給出表?yè)P(yáng)和贊賞，會(huì)讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，體會(huì)到成功.我們不僅要在課堂上落實(shí)學(xué)科知識(shí)，更要發(fā)揮學(xué)科的育人功能，落實(shí)學(xué)科素養(yǎng)對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的更高要求.

4.對(duì)于板書(shū)設(shè)計(jì)的理解：板書(shū)是課堂內(nèi)容的精髓，是課堂重難點(diǎn)及課堂邏輯思維的展現(xiàn).在板書(shū)設(shè)計(jì)方面，筆者深刻領(lǐng)悟到了板書(shū)示范作用的重要性，慢慢學(xué)習(xí)到了如何通過(guò)板書(shū)展示本節(jié)課的重難點(diǎn)，以及如何有效利用板書(shū)展現(xiàn)整節(jié)課的邏輯思維過(guò)程.但是筆者的板書(shū)還有待加強(qiáng)，字跡的工整程度還需要練習(xí).

四、總 結(jié)

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)通過(guò)實(shí)際的檢驗(yàn)，成功及不足之處有以下幾點(diǎn).

1.在課堂引入方面，類(lèi)比分?jǐn)?shù)引入本節(jié)課的主要內(nèi)容“分式”，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，學(xué)生已有認(rèn)知得到了充分體現(xiàn)，并自主總結(jié)，從而引出了本節(jié)課的主題“分式”.

2.教學(xué)時(shí)通過(guò)幾個(gè)問(wèn)題展示分式概念生成的過(guò)程，它類(lèi)比分?jǐn)?shù)的引入、數(shù)域的擴(kuò)充對(duì)本節(jié)課的知識(shí)進(jìn)行生成，對(duì)學(xué)生進(jìn)行提問(wèn)、追問(wèn)，并引導(dǎo)學(xué)生成功解決了問(wèn)題，讓學(xué)生初步體會(huì)了概念學(xué)習(xí)的一般規(guī)律以及對(duì)新事物學(xué)習(xí)的一般思路.我們學(xué)習(xí)的過(guò)程是：定義—基本性質(zhì)—運(yùn)算，而本節(jié)課只需完成第一步概念的學(xué)習(xí).在完成例1的過(guò)程中，學(xué)生如預(yù)設(shè)的一樣出現(xiàn)了障礙，對(duì)于3x2x是否為分式出現(xiàn)了分歧，說(shuō)明學(xué)生在思維和認(rèn)知上還存在差距.筆者趁機(jī)引導(dǎo)，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)定義中“分母中含有字母”這一特點(diǎn)，同時(shí)完善定義，對(duì)在定義教學(xué)過(guò)程中設(shè)置的“障礙”進(jìn)行處理.在質(zhì)疑、討論到完善認(rèn)知的過(guò)程中，學(xué)生慢慢學(xué)會(huì)了自己提出問(wèn)題并解決問(wèn)題，得出了完整的分式的概念以及判斷分式的方法.在此過(guò)程中，學(xué)生體會(huì)了從“特殊到一般再到特殊”的數(shù)學(xué)思想，也鍛煉了學(xué)生提出問(wèn)題能力、解決問(wèn)題能力及基本的表達(dá)能力.

3.在分式的值為零的條件的探究中，筆者主要設(shè)置了三個(gè)問(wèn)題，這個(gè)環(huán)節(jié)是本節(jié)課至關(guān)重要的一環(huán)，這里利用表格數(shù)據(jù)的填寫(xiě)計(jì)算輔助學(xué)生完成問(wèn)題的解答.在這一過(guò)程中，學(xué)生探究了分式值為零的條件及相關(guān)延伸，并突出對(duì)分式與分?jǐn)?shù)關(guān)系的一個(gè)直觀解讀，同時(shí)滲透了函數(shù)的“變量對(duì)應(yīng)說(shuō)”的概念，在取值范圍內(nèi)，當(dāng)x給定任意值時(shí)，分式都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)值恰好是分?jǐn)?shù)，也就是分式是分?jǐn)?shù)的一般化，分?jǐn)?shù)是分式的具體化.

4.在例2、例3的學(xué)習(xí)中，學(xué)生能運(yùn)用思考環(huán)節(jié)得出的結(jié)論進(jìn)行例題的解決，但筆者也從做題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，動(dòng)腦不動(dòng)手，過(guò)程不夠嚴(yán)謹(jǐn)，大部分學(xué)生直接寫(xiě)出答案，沒(méi)有知識(shí)生成的過(guò)程，同時(shí)由于沒(méi)有手寫(xiě)的過(guò)程出現(xiàn)了計(jì)算上的失誤.

5.本課的課堂小結(jié)不僅體現(xiàn)了知識(shí)層面的收獲，更注重了數(shù)學(xué)思維方法的滲透，最后由學(xué)生通過(guò)做題來(lái)檢驗(yàn)自己本節(jié)課的學(xué)習(xí)成果，對(duì)自己的學(xué)習(xí)進(jìn)行評(píng)價(jià).在自評(píng)中，學(xué)生體驗(yàn)到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣和主人翁地位，很好地體現(xiàn)了新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于情感、態(tài)度與價(jià)值觀的展現(xiàn)，使數(shù)學(xué)課堂不僅僅是教師的課堂，而成為學(xué)生思維的主戰(zhàn)場(chǎng).最后教師對(duì)整堂課給予客觀評(píng)價(jià)，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)的信心，讓學(xué)生看到自己思維的價(jià)值.

6.分?jǐn)?shù)到分式的教學(xué)過(guò)程，讓學(xué)生站到了主人翁的地位.隨著教師的引導(dǎo)，學(xué)生逐漸理解了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方式方法，即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實(shí)際上有一條暗線(xiàn)——知識(shí)的邏輯生成過(guò)程以及舊知的鋪墊，從學(xué)習(xí)中體會(huì)到了學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，獲得了豐富的果實(shí).

【參考文獻(xiàn)】

[1]錢(qián)佩玲.中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2008.

[2]波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：科學(xué)出版社，1982.