讓“建模思想”在數學課堂落地生根

張曉麗

[摘 要]文章以“行程問題”的教學為例，提出讓“建模思想”在數學課堂落地生根的基本路徑，引導學生依托生活實際，層層提煉、逐步深入，逐漸樹立起利用數學模型解決實際問題的意識，掌握數學建模的基本方法和技能，以加深對數學的理解，促進知識構建、思維培養(yǎng)、核心素養(yǎng)等方面全面發(fā)展。

[關鍵詞]建模思想;行程問題;小學數學

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）08-0051-03

《義務教育數學課程標準（2011年 版）》中指出：“重視學生已有經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。”小學數學課堂教學中，教師有意識地滲透數學建模思想，發(fā)展學生建模能力，可以使學生體驗提出、思考、質疑和解決問題的過程，從而領悟數學的應用價值。更為重要的是，建模思想可以使學生從實際問題中抽象出數學模型，從而促進知識構建、思維培養(yǎng)、核心素養(yǎng)等方面全面發(fā)展。

一、數學建模概述

數學建模是溝通數學知識與現實世界的橋梁。目前，學術界對于數學建模尚未形成統一的概念界定。劉振航在《數學模型》中認為，面對現實生活中雜亂無章的現象，從中抽象出恰當的數學關系，組建解決問題的數學模型的過程就是數學建模。周春荔先生認為，從教學的角度看，數學建模是一種數學活動;從方法論的角度看，數學建模是一種數學思想方法。李明振指出，數學建模是從實際問題中發(fā)現可以用數學語言表達的關系或規(guī)律，從中抽象出恰當的數學關系，將現實問題轉化成數學問題，并按照數學的知識方法進行求解，最終對現實問題做出解釋的過程。綜上，在筆者看來，數學建模指的是從問題情境或者現實生活中抽象出反映特定的具體事物系統的數學關系結構的過程。數學建模既包括從現實問題中抽象出數學關系的過程，也包括對建立的模型進行考察與檢驗的過程。

二、數學建模的價值分析

1.有利于培養(yǎng)學生主動探索的能力

數學建模的出發(fā)點在于引導學生積極主動地參與數學探究和實踐的全過程。數學建模的核心要義在于數學化，也就是要將生活情境抽象為數學問題。在這個過程中，學生嘗試運用數學的思維去審視、分析和表達各種事物的數量關系和空間關系，從紛繁復雜的現實情境中抽象出數學模型，由此達成依托數學模型解決現實問題的目的。學生通過發(fā)現、分析、抽象、歸納等思維活動有利于提升自身的探索數學的意識和能力，并形成主動探索的習慣。

2.有利于培養(yǎng)學生的合作交流能力

小學數學課程標準明確指出“動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要形式” 。數學建模是培養(yǎng)學生合作交流能力的重要途徑。數學建模的原始問題往往都是生活中復雜的實際問題，解決一個稍復雜的問題往往需要各方面的知識，這就要求學生合理分工，從不同的角度展開思考和探究，并在此基礎上相互交流，由此達到思維碰撞和思維啟迪的效果。

3.有利于培養(yǎng)學生解決實際問題的能力

著名數學家華羅庚針對數學的實用價值曾經有段經典論述：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無處不用數學?！睌祵W教育的目的并不只是培養(yǎng)專門從事數學研究的人才，更為重要的是培養(yǎng)運用數學思維方法解決實際問題的人。數學建模的過程在本質上就是運用數學思維方法解決現實問題的過程，這無疑增強了學生的數學應用意識，提高了學生分析和解決實際問題的能力。

4.有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維

數學建模是一個學生主動探究原始問題的本質并對其進行抽象的數學加工的過程，是一個對數學模型進行構建、求解、驗證、優(yōu)化的過程，這樣頗具思維深度的過程能使學生經歷一場“微型的科研”，這對于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維是大有裨益的。

三、數學建模的基本過程

1.抓住本質規(guī)律，在生活情境中提煉問題

“發(fā)現問題比解決問題更加重要?！睌祵W問題來源于生活情境，一般都能夠用數學符號來表述。在生活情境中發(fā)現和提出數學問題是建模的基礎。在提出實際生活中的問題原型后，教師要引導學生從問題原型中提煉出數學問題，并抓住問題本質，這對于數學模型的構建是至關重要的一步。需要注意的是，教師要讓學生從生活情境中主動發(fā)現問題、提出問題，而不能代替學生。只有這樣，才能逐步培養(yǎng)學生從生活情境中發(fā)現問題、提出問題的意識和能力。

【教學片段1】

出示5條信息：

（1）爸爸開汽車行駛105千米。

（2）淘氣騎自行車的速度是5千米/時。

（3）媽媽步行走了2千米。

（4）淘氣騎自行車行駛了1個小時。

（5）汽車行駛了3個小時。

師：請想一想，在這些信息中哪些信息是相關的，你可以提出哪些數學問題呢？

生1：我把信息（1）和信息（5）組合起來：爸爸開汽車行駛了105千米，汽車行駛了3個小時，汽車行駛的平均速度是多少？

生2：我把信息（2）和信息（4）組合起來：淘氣騎自行車的速度是5千米/時，他騎自行車行駛了1個小時，淘氣行駛的路程是多少？

……

師：同學們已經發(fā)現了不少數學問題，大家能夠進一步找出這些數據之間的內在關聯嗎？

生1：我提出的問題可以用“速度=路程÷時間”來解答。

生2：我提出的問題可以用“路程=速度×時間”來解答。

……

教學中，教師呈現5條信息，引導學生從信息中提煉有價值的數學信息，并對這些信息進行重組，培養(yǎng)了學生觀察問題和概括問題的能力;教師引導學生把通俗語言轉化為數學符號語言，通過提煉、轉化的方法把生活情境中的問題轉化為行程、速度和時間關系的數學問題，再與具體數據相結合，這正是構建數學模型的思維過程。

2.把握數量關系，在分析比較中構建數學模型

在學生把生活情境中的問題轉化為數學問題的基礎上，教師要重點引導學生厘清各個數據之間的數量關系，通過觀察、抽象、判斷、分析等思維方法，探索并建立以數學符號為媒介的一般規(guī)律，由此形成關于問題本質的模式化表達方法，初步構建數學模型。在這個過程中，教師要鼓勵學生積極思考、動手操作，通過畫表格、線段圖、示意圖等多種方式分析各個數據之間的關系，進而使學生學會分析數量關系的基本方法。

【教學片段2】

師（出示題目）：如果甲地到乙地的距離是70千米，那么爸爸開車需要多長時間能夠從甲地到達乙地？同學們思考一下，題給條件是不是夠了呢？還缺什么條件？

生1：條件不夠，還需要知道汽車的行駛速度。

生2：求出汽車的行駛速度是解決問題的關鍵。

師：根據前面給出的5條信息，是不是能夠求出汽車的行駛速度呢？在紙上畫一畫，說一說你是怎樣想的。

生1：如果要求出時間，根據“時間=路程÷速度”可知，需要同時得知路程和速度，但是題目的條件中沒有直接給出速度，我通過前面給出的5條信息來算出汽車的行駛速度。速度=路程÷時間=105÷3=35千米/時。當得出速度后，這個題就變得非常簡單了。（如圖1）

生2：我是通過畫示意圖來思考的。我的思路也是先求出汽車的行駛速度，然后再根據“時間=路程÷速度”求出時間。（如圖2）

在分析數量關系這一環(huán)節(jié)中，當學生發(fā)現已知條件不夠時，教師不要直接告知學生答案，而要引導學生根據已知條件進一步求出所需條件，從而厘清數量之間的內在聯系，初步構建數學模型。

3.厘清解題思路，在求解模型中解決問題

在模型初步建立之后，教師要引導學生進一步厘清解題思路，并且利用數學模型解決相關的實際問題。在這個過程中，教師要注意以下兩點：第一，使學生厘清數學模型的基本思路，明確先算什么，后算什么。第二，在具體的計算過程中，要指導學生注意計算細節(jié)，比如四則運算順序以及計算結果的單位等，使學生在答題過程中做到思路清晰、步驟完整、結果正確。

【教學片段3】

師：爸爸開車行駛105千米，用了3個小時，甲乙兩地相距70千米，爸爸開車需要多長時間能從甲地到達乙地？應該先計算什么，后計算什么呢？

生1：甲乙之間的距離是已知條件，那么應該先計算出汽車的行駛速度，然后才能求出爸爸開車需要多長時間。

生2：是的，根據“時間=路程÷速度”，要計算時間，必須先知道路程和速度。

師：既然明確了思路，就可以開始計算了。請同學們把計算步驟寫下來。

生3：我是分兩步計算的。105÷3=35（千米/時），70÷35=2（小時）。

生4：我只用了一步。70÷（105÷3）=2（小時）。

師：這兩位同學的計算思路非常清晰，而且計算結果也很準確?，F在，如果把題目變?yōu)椤鞍职珠_車行駛105千米，用了3個小時，甲乙兩地相距210千米，爸爸開車需要多長時間能從甲地到達乙地？”，應如何計算？

生5：數據變了，思路不變。還是要先計算出汽車的行駛速度。

在教學中，教師要求學生敘述計算步驟，厘清計算思路，并通過變換數據再次讓學生計算，引導學生抓住問題的關鍵、找出規(guī)律，將數學模型由初步的文字模型進一步轉化為符號模型，真正掌握數學模型的本質。無論外部數據如何變化，答題的思路始終是清晰的，這正是運用數學模型解決問題的優(yōu)勢所在。

4.提煉建模思想，在拓展模型外延中提升能力

數學模型來源于現實生活，數學建模的最終目標是解決實際問題。在現實中對數學模型的活學活用，能夠幫助學生更加深刻地理解所學知識，構建起科學的知識體系，做到以點帶面、觸類旁通，提高解決數學問題的能力。在學生構建數學模型解決問題后，教師還應引導學生進行回顧和反思，使學生體會到構建數學模型解決數學問題的基本思路，指導學生概括并提煉出在建模過程中運用了哪些數學思想和方法，從而引導學生探索數學建模的內在規(guī)律，增加學生在模型建構中的思考深度，進一步提升學生的模型建構能力。

【教學片段4】

師：數學建模為我們解決數學問題提供了一種全新的思維方法，用數學模型可以解決很多同類問題。比如：媽媽花15元買了5斤蘋果，如果媽媽有27元錢，她可以買幾斤蘋果呢？

生1：這道題與我們前面做的那道題思路差不多。

生2：求出蘋果的單價是關鍵。單價為15÷5=3（元），根據“數量=總價÷單價”可得27÷3=9（斤）。

師：利用數學模型可以解決很多同類型問題，我們要抓住問題的本質，做到活學活用，才能達到事半功倍的效果。

師：你在構建數學模型的過程中有什么體會？

生3：構建數學模型，就是把生活情境中的問題轉化為數學問題，然后形成解決這類問題的統一方法，這樣解決問題就方便多了。

師：是的，在構建數學模型時要運用轉化的數學思想，我們以后在解決問題時也要有這種轉化意識。

教學中，教師通過引導學生運用剛建立的數學模型解決同類問題，使學生切身體會到數學模型在解決實際問題中的便利，進而明白數學模型的獨特優(yōu)勢。教師通過指導學生回顧、總結數學模型的建立過程，使學生在解決實際問題的過程中樹立建模思想，厘清了建模思路，為以后進一步學習數學打下基礎。

總之，在小學數學課堂教學中，教師要充分領會新課程改革的基本理念，緊密結合課堂教學內容，把建模思想融入課堂教學的各個環(huán)節(jié)之中，引導學生依托實際生活層層提煉、逐步深入，把紛繁的信息轉化為數學問題，逐漸樹立起利用數學模型解決實際問題的意識，掌握數學建模的基本方法和技能，最終達到提升解決問題能力、促進全面發(fā)展的目的。

（責編 羅 艷）