高中數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧教學(xué)分析

摘 要：立體幾何知識(shí)在當(dāng)前新課改下的數(shù)學(xué)教學(xué)中有諸多應(yīng)用，將其與相應(yīng)的數(shù)學(xué)題型結(jié)合能夠獲得較好的解題效果，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)欲望。文章基于這一課題，從引入立體幾何元素，培養(yǎng)學(xué)生空間思維;豐富立體幾何內(nèi)容，提升學(xué)生數(shù)學(xué)能力;優(yōu)化立體幾何教學(xué)，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)技巧這三個(gè)教學(xué)技巧出發(fā)，對(duì)高中數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧教學(xué)展開具體探討。

關(guān)鍵詞：立體幾何;數(shù)學(xué)解題;教學(xué)方法

立體幾何是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。在該內(nèi)容的教學(xué)中，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)形式比較枯燥，難以激發(fā)高中生的學(xué)習(xí)熱情。教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)思路，巧妙利用各種幾何元素，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)多元的立體幾何解題情境，以此獲得良好的教學(xué)效果。為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)感知能力，培養(yǎng)他們的空間想象力，本文從立體幾何教學(xué)出發(fā)，對(duì)當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式、教學(xué)策略做具體分析。

一、高中數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧教學(xué)現(xiàn)狀

解題技巧是在解答題目過程中沉淀、總結(jié)和歸納得出的，能夠快速而準(zhǔn)確地解決問題的方式方法。解答高中數(shù)學(xué)立體幾何題有很多技巧，學(xué)生使用相應(yīng)的解題技巧，可以提升自己解答立體幾何題的正確率、解題速度等。因此，在當(dāng)前的立體幾何教學(xué)中，許多教師開始關(guān)注解題技巧的應(yīng)用，有意識(shí)地在教學(xué)中引入解題技巧;但仍然有部分教師不夠重視立體幾何題解題技巧的教學(xué)，缺乏對(duì)學(xué)生空間思維、數(shù)學(xué)能力等方面的關(guān)注，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升是不利的。

二、高中數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧教學(xué)的原則

一是學(xué)生主體原則。高中立體幾何解題技巧教學(xué)要聚焦學(xué)生主體地位，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況來具體展開。換言之，學(xué)生主體原則是以學(xué)生為導(dǎo)向的教學(xué)模式。教育學(xué)認(rèn)為每個(gè)學(xué)生都是學(xué)習(xí)的主體，而且學(xué)生具有個(gè)性化特征，即不同學(xué)生的智力水平、學(xué)習(xí)經(jīng)歷、學(xué)習(xí)能力、基礎(chǔ)水平、學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)興趣等存在一定差異。在立體幾何教學(xué)中，教師需要結(jié)合學(xué)生需求，將學(xué)生分為不同層次，在此基礎(chǔ)上為學(xué)生設(shè)計(jì)不同的立體幾何解題技巧學(xué)習(xí)方式，從而促進(jìn)學(xué)生整體的提升[1]。

二是互動(dòng)性原則，即在開展數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧教學(xué)時(shí)，教師要做好與學(xué)生的互動(dòng)。數(shù)學(xué)教師專業(yè)知識(shí)豐富，是學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何解題技巧的啟發(fā)者和組織者;而學(xué)生是數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧的學(xué)習(xí)者，其能力存在一定的欠缺，這就要求學(xué)生和教師之間要建立密切的互動(dòng)關(guān)系，在互動(dòng)中實(shí)現(xiàn)立體幾何解題技巧的傳遞。

三是適切性原則。適切性一方面指的是教師講解的解題技巧要與學(xué)生所學(xué)知識(shí)相匹配，學(xué)生通過學(xué)習(xí)解題技巧能夠起到查漏補(bǔ)缺、提升學(xué)習(xí)效果、增強(qiáng)解題技能的作用;另一方面，教師講解的解題技巧要與學(xué)生的基礎(chǔ)能力相符，難度適中，符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)。唯有如此，學(xué)生才能夠產(chǎn)生學(xué)習(xí)與探究的欲望和動(dòng)力，才能夠在解題技巧學(xué)習(xí)中獲得真正的提升。

三、高中數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧的教學(xué)對(duì)策

（一）引入立體幾何元素，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維

空間思維能力的培養(yǎng)具有重要的意義和價(jià)值，它是解答立體幾何題的關(guān)鍵，也是每個(gè)學(xué)生應(yīng)該加強(qiáng)的思維能力。具體而言，立體圖形需要學(xué)生用一定的空間思維能力對(duì)其進(jìn)行想象和分析，通過對(duì)點(diǎn)、線、面的透徹理解和分析，找到更簡便的解題方式，從而得出答案。在立體幾何教學(xué)中，每個(gè)學(xué)生的思維方式不同，而立體幾何元素也是多種多樣的，這需要教師在教學(xué)過程中引入各種類型的數(shù)學(xué)例題，在數(shù)學(xué)例題中融入立體幾何元素，并切合不同學(xué)生的興趣點(diǎn)，兼顧不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。當(dāng)學(xué)生完成例題解答后，教師要進(jìn)行多角度評(píng)析，對(duì)學(xué)生的結(jié)果給出反饋性評(píng)價(jià)，尤其是要對(duì)學(xué)生常見的錯(cuò)誤進(jìn)行講解和分析，總結(jié)錯(cuò)誤根源，查找學(xué)生的解題漏洞，這樣才能進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握與運(yùn)用，加強(qiáng)學(xué)生的論證能力，降低他們解答立體幾何題的難度，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

例如，在立體幾何“點(diǎn)、線、面”章節(jié)的教學(xué)中，考慮到點(diǎn)、線、面都是比較抽象的元素，單純依靠教師的語言講解或書面解釋，學(xué)生很難透徹地理解點(diǎn)、線、面的本質(zhì)。為了提高學(xué)生對(duì)點(diǎn)、線、面的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)教師可以給出一個(gè)四棱錐P-ABCD（圖1），讓學(xué)生展開相應(yīng)探究，如描述四棱錐P-ABCD的點(diǎn)、線、面，探討四棱錐P-ABCD的點(diǎn)、線、面之間有什么關(guān)系，等等。教師通過引導(dǎo)學(xué)生在由四棱錐P-ABCD建構(gòu)的立體幾何空間中探索知識(shí)，培養(yǎng)他們的空間思維能力。比如，教師可以提出問題：線段AB垂直于線段AD，線段PA垂直于底面ABCD，點(diǎn)E在邊AD上，請(qǐng)利用數(shù)學(xué)知識(shí)證明線段CE垂直于平面PAD。通過圖像分析，學(xué)生可以得知，線段CE和線段AB是相互平行的，即CE∥AB，這是解題的突破口。學(xué)生再由CE∥AB推出CE垂直于AD，而AD與PA兩條直線相交于點(diǎn)A，最后得出線段CE垂直于平面PAD。在這一過程中，數(shù)學(xué)教師充分運(yùn)用了立體幾何的空間特征，激發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生在四棱錐P-ABCD建構(gòu)的幾何情境中思考和探究空間關(guān)系，最終獲得對(duì)問題的正確解答。學(xué)生在這一解題過程中，能不斷積累立體幾何圖形運(yùn)用技巧與解題思路，提高解題能力[2]。

（二）豐富立體幾何內(nèi)容，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力

豐富的立體幾何內(nèi)容能夠提高學(xué)生的知識(shí)整合能力、思維能力和解題能力。在實(shí)際的立體幾何題解題過程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生能通過解讀立體幾何信息來獲得解題能力的鍛煉和提升，其中，函數(shù)思維非常關(guān)鍵。在解答立體幾何題時(shí)，學(xué)生需要具備一定的函數(shù)思維，根據(jù)題目構(gòu)建相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再通過計(jì)算函數(shù)模型求出問題答案。雖然這一解題思路比較明確，但部分學(xué)生在將其應(yīng)用于解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題時(shí)還存在一定的不足，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這一思路進(jìn)行實(shí)踐和應(yīng)用。比如，有一道立體幾何題：已知在球O（圖2）中，點(diǎn)P是球O的直徑AB上的動(dòng)點(diǎn)，PA=x，過點(diǎn)P且與AB垂直的截面面積記為f（x），請(qǐng)利用立體幾何的數(shù)學(xué)知識(shí)來表示y=f（x）的表達(dá)式。這一題目需要學(xué)生利用函數(shù)思想來解答，屬于綜合類知識(shí)考查題目。

面對(duì)這道數(shù)學(xué)立體幾何題，學(xué)生如果缺乏一定的空間思維能力，就會(huì)不知道從何入手，筆者在執(zhí)教時(shí)就發(fā)現(xiàn)有很多學(xué)生對(duì)這道題目一頭霧水。那么如何著手解答這一題目呢？首先，要觀察題目中給定的條件，明確題目考查的知識(shí)點(diǎn)，并對(duì)其中的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行思考和分析?；诹Ⅲw幾何的知識(shí)概念，教師可以先簡化題目，引入函數(shù)思想，幫助學(xué)生解決問題。具體的解答過程如下：

設(shè)截面圓的半徑為r，而球O的半徑為R。作圖，可以根據(jù)射影定理列出式子r2=-x2+2Rx，而f（x）是過動(dòng)點(diǎn)P的截面圓面積，即f（x）=-π（x-R）2+πR2，這就表達(dá)出了最基礎(chǔ)的f（x）函數(shù)式，繼而可推出y=f（x）的表達(dá)式。

這一過程中，學(xué)生的思考需要在立體幾何思想與函數(shù)思想之間轉(zhuǎn)變，分析每條信息對(duì)解題的影響和價(jià)值。這一思路并不算難，學(xué)生掌握相應(yīng)的思考流程就能很快地找到解題突破口，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題便能迎刃而解。在具體講解中，如果學(xué)生對(duì)解題過程存在疑惑，教師需要耐心為學(xué)生解答。如在分析題目階段，教師可以創(chuàng)設(shè)簡單的導(dǎo)入情境。如提出問題：“同學(xué)們，這道題給了我們哪些條件？你可以看出這道題目都考查了哪些知識(shí)嗎？”以此幫助數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力較弱的學(xué)生集中精力，理解該題目。在講解的過程中，教師要及時(shí)了解學(xué)生是否能夠順利得出本題的解題思路和應(yīng)用相應(yīng)的解題技巧;在講解結(jié)束之后，教師可以邀請(qǐng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)能力較強(qiáng)的學(xué)生探討是否有更多解題技巧可以用于解答該題目。通過這種分層關(guān)注與針對(duì)性教學(xué)，教師能夠全面培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展。

為了進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)立體幾何題解題技巧的關(guān)注和應(yīng)用，教師可以給學(xué)生布置相應(yīng)的分層作業(yè)練習(xí)。如作業(yè)擬設(shè)計(jì)8道題目，其中3道是基礎(chǔ)性題目，難度中等偏下，主要是為了強(qiáng)化學(xué)生對(duì)立體幾何的理解，這些題目全班學(xué)生都有能力完成;設(shè)置3道考查學(xué)生是否能靈活應(yīng)用立體幾何解題技巧的題目，題目難度中等，旨在提升和強(qiáng)化中等及中等以上學(xué)習(xí)能力的學(xué)生的學(xué)習(xí)能力;設(shè)置2道拓展題目，以知識(shí)應(yīng)用為主，難度較大，旨在給數(shù)學(xué)基礎(chǔ)好、學(xué)有余力的學(xué)生完成，以提高他們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（三）優(yōu)化立體幾何教學(xué)，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)技巧

數(shù)學(xué)解題技巧不是一朝一夕就能養(yǎng)成的，而是需要長期的引導(dǎo)與訓(xùn)練。換言之，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，對(duì)這一能力的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)滲透在日常教學(xué)中。教師要優(yōu)化立體幾何教學(xué)模式，讓學(xué)生感受立體幾何的趣味性，學(xué)會(huì)自主、自覺地感受數(shù)學(xué)空間概念。當(dāng)學(xué)生建立起完善的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，他們在遇到數(shù)學(xué)問題時(shí)就能自主建立相應(yīng)的空間坐標(biāo)系，學(xué)會(huì)簡化數(shù)學(xué)問題。如果有數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生暫時(shí)還不會(huì)構(gòu)建空間坐標(biāo)系，教師不要過于苛責(zé)他們，而是要耐心地指導(dǎo)和教育他們，并適當(dāng)降低例題難度，讓數(shù)學(xué)例題更加貼近他們的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，避免他們出現(xiàn)學(xué)習(xí)能力止步不前的情況。立體幾何是抽象性極強(qiáng)的內(nèi)容，僅靠理論知識(shí)講解是不夠的。如果條件允許，教師可以通過多媒體教學(xué)、創(chuàng)設(shè)故事情境、設(shè)計(jì)實(shí)踐情境等教學(xué)模式，直觀、形象地呈現(xiàn)立體幾何知識(shí)，為學(xué)生營造輕松愉悅的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍，學(xué)生的思維也會(huì)更加活躍。在這一過程中，教師要循序漸進(jìn)地培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題技巧，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力。

例如，有一空間四邊形ABCD（圖3），已知邊AD=BD，邊CB=CA，請(qǐng)利用數(shù)學(xué)幾何知識(shí)，證明圖中的線段AB垂直于平面DCE，并給出證明過程。這是一道抽象性較高的數(shù)學(xué)問題，類似題型是近年高考的熱點(diǎn)考查題型。這類題目看似簡單，實(shí)則包含很多細(xì)節(jié)，如果學(xué)生缺乏一定的解題技巧，就容易掉進(jìn)出題者所設(shè)的圈套，難以證明題設(shè)。基于教學(xué)實(shí)踐，筆者發(fā)現(xiàn)不少數(shù)學(xué)能力中上等的學(xué)生也無法很快找到該題目的解決思路與方法。為了幫助學(xué)生理解，教師可以采用多媒體進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示：取AB的中點(diǎn)E，將線段CE和線段DE連接。接著教師再分析證明過程，簡化作答流程，邀請(qǐng)學(xué)生來點(diǎn)評(píng)和分析多媒體動(dòng)態(tài)演示這一解題方法。這樣學(xué)生在解決這一題目時(shí)就有了思路和解題的突破口，從而順利回憶起“等腰三角形底邊中線三線合一”等相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，合理解答問題，促進(jìn)自身對(duì)立體幾何的理解。教師一定要注重對(duì)學(xué)生解題思維的引導(dǎo)與啟發(fā)，并與學(xué)生進(jìn)行溝通，凸顯學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位。在講解完該題目后，教師可以進(jìn)一步出示類似的題目，供學(xué)生練習(xí)和鞏固解題技巧。在學(xué)生解答的過程中，教師要給予其積極的指導(dǎo)，尤其是學(xué)生遇到難以理解的問題時(shí)，教師要給予學(xué)生更多的關(guān)注和積極開展錯(cuò)題歸因分析，以發(fā)現(xiàn)立體幾何教學(xué)中的薄弱環(huán)節(jié)。

結(jié)語

綜上所述，數(shù)學(xué)是一門融合圖像、理論、計(jì)算等內(nèi)容為一體的學(xué)科，對(duì)學(xué)生的感官能力、解題思維、計(jì)算技巧等都有著較高的要求。特別是高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生若缺少對(duì)立體幾何知識(shí)的深入掌握，就難以樹立明確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方向。在日常教學(xué)活動(dòng)中，教師要注重立體幾何元素的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維，通過新時(shí)期的教學(xué)素材，豐富立體幾何教學(xué)的內(nèi)容。只有這樣才能不斷優(yōu)化立體幾何解題技巧教學(xué)，在保證課堂教學(xué)效果的同時(shí)，全方位訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

[參考文獻(xiàn)]

[1]陳優(yōu)厚.高中數(shù)學(xué)立體幾何教學(xué)中對(duì)學(xué)生空間想象力的培養(yǎng)分析[J].考試周刊，2020（24）：43-44.

[2]王龍，周思波.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中立體幾何學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)分析：以2019年全國高考文科Ⅲ卷19題為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2020，39（1）：50-54.

作者簡介：徐詩淇（2002—），女，南京曉莊學(xué)院。