利用問(wèn)題變式，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考

[摘? 要] 探尋簡(jiǎn)單自然的方法是數(shù)學(xué)解題追求的基本要義.波利亞指出，當(dāng)原來(lái)的問(wèn)題看起來(lái)似乎不好解時(shí)，就構(gòu)想一個(gè)合適的輔助問(wèn)題.輔助問(wèn)題從何而來(lái)？可以是從認(rèn)知基礎(chǔ)變式而來(lái). 數(shù)學(xué)課堂從一個(gè)最簡(jiǎn)單的問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)不斷改變問(wèn)題的條件，挖掘問(wèn)題的思維價(jià)值，深化對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解，進(jìn)一步凸顯數(shù)學(xué)的思考. 數(shù)形結(jié)合，以形解數(shù)，以數(shù)助形，一法貫穿，有助于認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì);“多思少算”提升學(xué)生的思維層次和思維品質(zhì). 課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)關(guān)注問(wèn)題變式的研究與實(shí)施.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)形結(jié)合;問(wèn)題變式;數(shù)學(xué)思考

二次函數(shù)綜合題是基于二次函數(shù)本質(zhì)、圖像變化，再以三角形或四邊形等幾何關(guān)系為轉(zhuǎn)化橋梁，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法等綜合解題的能力. 想讓學(xué)生體會(huì)幾何與數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)，教學(xué)的核心任務(wù)是理解和轉(zhuǎn)化問(wèn)題[1]，那么，如何設(shè)計(jì)教學(xué)任務(wù)促進(jìn)學(xué)生思考？我們嘗試從理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)三個(gè)維度來(lái)展開(kāi)教學(xué)設(shè)計(jì). 下面以“二次函數(shù)數(shù)形結(jié)合微專(zhuān)題——探索面積背景下如何確定動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)”為例，闡述具體的教法和學(xué)法.

問(wèn)題探究，形成策略

問(wèn)題分析：

3. 理解教學(xué)：俗話說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好”， 此處設(shè)計(jì)“用數(shù)定形，再以形求數(shù)”的方法解決問(wèn)題，抓住兩個(gè)三角形AB同為底，要使得，只能是點(diǎn)P到AB的距離是點(diǎn)C到AB的距離的2倍，進(jìn)而確定點(diǎn)P的位置是與x軸距離10的地方，即在直線y=±10上. 點(diǎn)P的位置既在拋物線圖像上，又在直線y=±10圖像上，即“兩條軌道相交處”為點(diǎn)P（如圖2所示），最后借助方程思想得以求解P的坐標(biāo). 這種“定形”方法解決問(wèn)題1感覺(jué)是有點(diǎn)“不必要”，但是它正是本次“數(shù)形結(jié)合”問(wèn)題研究的起點(diǎn)，同時(shí)也幫助學(xué)生理解坐標(biāo)分類(lèi)的道理. 目的是引導(dǎo)學(xué)生歸納求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的一般思路：①先“定形”——確定符合要求的動(dòng)點(diǎn)位置;②再“定量”——求動(dòng)點(diǎn)所在直線的解析式;直線與拋物線解析式聯(lián)立方程，求出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo).

解決問(wèn)題，形成方法

問(wèn)題分析：

1.理解數(shù)學(xué)：?jiǎn)栴}2是問(wèn)題1的變式，雖然兩個(gè)三角形面積確定，但共有的邊（AB）從平行于x軸，轉(zhuǎn)變?yōu)樾毕颍˙C），將點(diǎn)與線的距離由特殊化（距離即坐標(biāo)）轉(zhuǎn)變?yōu)橐话慊ň嚯x非坐標(biāo)）.

2. 理解學(xué)生：學(xué)生用原有的方法處理這個(gè)問(wèn)題是有一定難度的，原因是不能順利將△BCP 的BC邊上的高轉(zhuǎn)化成“坐標(biāo)”. 經(jīng)過(guò)問(wèn)題1的啟發(fā)，大部分學(xué)生能通過(guò)高之比為3∶2，確定點(diǎn)P可能在的位置有兩處，即能對(duì)符合點(diǎn)P的位置進(jìn)行“定形”;但是在“定量”時(shí)，部分學(xué)生在求動(dòng)點(diǎn)P所在直線解析式時(shí)遇到了問(wèn)題. 問(wèn)題①：有學(xué)生想求出直線平移的距離來(lái)確定解析式，但不能準(zhǔn)確理解平移的距離是哪一段;問(wèn)題②：有學(xué)生通過(guò)線的平行知道直線解析式的k，但是不知道再找哪個(gè)點(diǎn)來(lái)確定直線解析式，或者如果找到一個(gè)點(diǎn)（如與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），也不知道如何求這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo). 也有學(xué)生善于利用“數(shù)形結(jié)合”解決該問(wèn)題[2].

3. 理解教學(xué)：?jiǎn)栴}2延用問(wèn)題1的方法，找到符合條件的動(dòng)點(diǎn)P的位置，這里只列舉一種，其他以此類(lèi)推，如圖4所示. 將三角形面積之比轉(zhuǎn)化成高之比，進(jìn)而利用平行線分線段成比例，將線段比“化斜為正”，即將斜向的線段比轉(zhuǎn)化成y軸上的線段比，具體做法如下：

直線NG的解析式為y=x-9. 聯(lián)立方程y=x2-4x-5，y=x-9，解得x1=1，y1=-8.x2=4，y2=-5，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（1，-8），P2（4，-5）.

也可以如圖5所示，同理將線段之比轉(zhuǎn)化到x軸上AB與BH之比. “形”的處理，引導(dǎo)學(xué)生不用計(jì)算三角形BC邊上具體的高，不用具體求出線段EG長(zhǎng)，從而達(dá)到方法的優(yōu)化，思維的進(jìn)階. 學(xué)生通過(guò)圖形的分析，找到條件和結(jié)論之間的聯(lián)系點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“幾何”關(guān)系和“代數(shù)”關(guān)系的互化，挖掘在解析幾何中“數(shù)形結(jié)合”思想的本質(zhì)，體會(huì)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和從特殊到一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題探究方法.

方法應(yīng)用，拓展延伸

問(wèn)題分析：

1. 理解數(shù)學(xué)：?jiǎn)栴}3是問(wèn)題2的變式和拓展，不同的是△CPD，△CQD兩個(gè)三角形的面積是動(dòng)態(tài)的，不能確定面積大小，但面積比為1∶3是確定的.但如何確定點(diǎn)P坐標(biāo)？問(wèn)題設(shè)置螺旋上升，數(shù)學(xué)思考也更深一層.

2. 理解學(xué)生：前面兩個(gè)問(wèn)題的完成，學(xué)生逐漸形成了自己的理解，但是處理兩個(gè)動(dòng)態(tài)三角形的問(wèn)題可能還是會(huì)遇到困難. 比如面積比1∶3轉(zhuǎn)化成共底邊CD上的高，但是兩條高都是變化的，又怎么處理？可以轉(zhuǎn)化成到底PD與底DQ邊上的比嗎？或者轉(zhuǎn)化成到CQ邊上的高之比嗎？猜想很多，如何篩選？

3. 理解教學(xué)：通過(guò)類(lèi)比的方法研究條件為“兩個(gè)動(dòng)三角形”面積之比為定值的問(wèn)題，再次感受用平行線將線段比“化斜為正”的轉(zhuǎn)化思想，體會(huì)這種轉(zhuǎn)化思想的“優(yōu)越性”，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的重要性，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).學(xué)生可能用到的方法歸納如下：

方法1：如圖7所示，過(guò)P，Q分別作PH⊥x軸，QG⊥x軸，則PD∶DQ=PH∶QG=3∶1，再利用坐標(biāo)關(guān)系代數(shù)化，帶入解析式求解.

方法2：如圖8所示，過(guò)P，D分別作PN∥BC交y軸于點(diǎn)N，DM∥BC交y軸于點(diǎn)M，則PD∶DQ=NM∶MC=3∶1，再利用MC確定NM，從而確定動(dòng)點(diǎn)P的直線解析式，最后聯(lián)立解析式求解.

方法對(duì)比：方法1，坐標(biāo)法表示關(guān)系，建立方程，容易想，但計(jì)算煩瑣，坐標(biāo)與線段互化符號(hào)容易出錯(cuò);方法2，轉(zhuǎn)比（面積比轉(zhuǎn)線段比，斜向線段比轉(zhuǎn)正向線段比），計(jì)算簡(jiǎn)便，但不容易想到. 可能學(xué)生還有另一個(gè)轉(zhuǎn)線段比的方法，如圖9所示，這里不再贅述. 解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，要“多思少算”，利用圖形中的不變量與圖形的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在變中圍繞不變量轉(zhuǎn)化會(huì)事半功倍！借助幾何畫(huà)板，將學(xué)生的方法及原理展示出來(lái)，讓學(xué)生總結(jié)研究問(wèn)題的方法、解決問(wèn)題的策略等，點(diǎn)明整節(jié)課的主線，加深學(xué)生的印象.

專(zhuān)題抓住“線段轉(zhuǎn)化”為主線，從一個(gè)簡(jiǎn)單易解的面積問(wèn)題出發(fā)，循序展開(kāi)三個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題層層深入，設(shè)計(jì)連續(xù)變式.看似不同的問(wèn)題，實(shí)則內(nèi)在緊密聯(lián)系，形成方法自然水到渠成.探究如何“化斜為正”轉(zhuǎn)化線段，體現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的優(yōu)越性，化繁（數(shù)）為簡(jiǎn)（形），以形解數(shù)、以數(shù)助形的數(shù)學(xué)思想，啟發(fā)學(xué)生對(duì)二次函數(shù)綜合問(wèn)題的思考. 課后，還可以鼓勵(lì)學(xué)生“原創(chuàng)”問(wèn)題，在同一個(gè)二次函數(shù)背景下，你能根據(jù)哪些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，變化出一串相關(guān)聯(lián)的，并且有研究?jī)r(jià)值的問(wèn)題？以小組為單位展開(kāi)數(shù)學(xué)活動(dòng).綜合性再?gòu)?qiáng)的函數(shù)問(wèn)題，都是由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的變式，由特殊到一般的變式，由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的變化[3]，學(xué)生親自參與到探討和設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，并驗(yàn)證問(wèn)題是否具有研究性，發(fā)散學(xué)生思維，啟迪思考與反思，相信這將是學(xué)生真正做數(shù)學(xué)的開(kāi)始.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 朱建良. 設(shè)計(jì)遷移問(wèn)題 助力深度探究——以“二次函數(shù)——設(shè)元引參”專(zhuān)題復(fù)習(xí)為例[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2021（15）：5-7.

[2]? 溫暉，曾愛(ài)群. 在專(zhuān)題復(fù)習(xí)中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)——以“二次函數(shù)綜合性問(wèn)題”為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2021（14）：19-23.

[3]? 劉才云. 題組變式漸次呈現(xiàn)，簡(jiǎn)約開(kāi)放對(duì)話讓學(xué)——以“含參二次函數(shù)”專(zhuān)題課打磨為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（18）：25-26.

作者簡(jiǎn)介：朱春燁（1990—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作.