基于深度學(xué)習(xí) 重拾教材碎片

[摘? 要] 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，受學(xué)生思維力和知識(shí)儲(chǔ)備等因素的限制，會(huì)遺留知識(shí)碎片.教師基于深度學(xué)習(xí)理念，在整體理解課程和精準(zhǔn)評(píng)估學(xué)情的基礎(chǔ)上，重拾碎片，設(shè)計(jì)融合章節(jié)的大單元教學(xué)，讓學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中發(fā)展核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 深度學(xué)習(xí);教材碎片;核心素養(yǎng);單元整體

受學(xué)生的思維力和知識(shí)儲(chǔ)備等因素的限制，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不可避免地會(huì)遺留一些知識(shí)碎片，給學(xué)生設(shè)置了“知其然，不知其所以然”的認(rèn)知門檻. 知識(shí)的零散與斷層，讓部分學(xué)生難以把握數(shù)學(xué)的整體結(jié)構(gòu)，使教學(xué)陷于淺層次、低效率的困境. 初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)要求能夠整體呈現(xiàn)初中數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)，以融會(huì)貫通的方式對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行組織、整合[1]. 教師基于這一理念，在學(xué)生思維力和知識(shí)儲(chǔ)備達(dá)到要求時(shí)，重拾教材碎片，跨章節(jié)融合教材，貫通式設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié)，形成有思維場(chǎng)的大單元教學(xué)，為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)階梯，使學(xué)生在解決問題的情境中，達(dá)成構(gòu)筑知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階，發(fā)展核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo).

問題提出

1. 問題背景

圖1和圖2是蘇科版七下第12章“證明”的章頭圖.

原文：圖1是面積為64的正方形紙片，把它剪成4塊，按圖2所示重新拼合，這4塊紙片恰好能拼成一個(gè)長為13、寬為5的長方形嗎？

2. 教材思考

該章頭圖旨在通過拼合圖形，給學(xué)生營造出將面積為64的正方形拼成了面積為65的長方形的“神秘”情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，在教師的引導(dǎo)下，通過操作、觀察和思考，尋找“面積多出1”的原因，感知該“神秘”情境的不合理性. 讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到通過思考、觀察、操作、實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論不一定是正確的，為學(xué)生種下追求真理的種子，感受證明的合理性與必要性，揭開章節(jié)學(xué)習(xí)的序幕，實(shí)現(xiàn)從合情推理到演繹推理的交融過渡.

該章頭圖雖然培養(yǎng)了學(xué)生的問題意識(shí)，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，但數(shù)學(xué)的核心是解決問題，僅發(fā)現(xiàn)、提出問題，沒有分析、解決問題，知識(shí)生長鏈條不完整. 而以七年級(jí)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備與思維層次，的確較難找到面積相差1的說理方法，通常是教師給出“矩形的中間有空白”、“不能拼成長、寬分別為13和5的矩形”等解釋，學(xué)生的印象不深刻，對(duì)知識(shí)的理解浮于表面，隨著時(shí)間的推移，較多的學(xué)生容易淡忘. 該圖在七年級(jí)的教學(xué)中，雖發(fā)揮了啟后的作用，卻以“碎片”的形式遺留，在某種程度上限制了學(xué)生的思維進(jìn)階.

通觀蘇科版初中數(shù)學(xué)6冊(cè)教材，該圖沒能如“搭小魚”等情境，隨著學(xué)生思維進(jìn)階與知識(shí)儲(chǔ)備增多而漸次呈現(xiàn). 該章頭圖雖為學(xué)生埋下了思維的種子，卻沒能催生、成長，留白過大，給學(xué)生設(shè)置了“知其然，不知其所以然”的認(rèn)知門檻.

教學(xué)實(shí)施

1. 設(shè)計(jì)原則

學(xué)生的思維水平與知識(shí)儲(chǔ)備是決定能否有效開展數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的條件之一. 蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)第五章和第六章分別為平面直角坐標(biāo)系和一次函數(shù)，筆者在結(jié)束上述兩章的教學(xué)后，基于深度學(xué)習(xí)的理念，審慎學(xué)情，以重拾教材碎片設(shè)置問題情境，融合章節(jié)實(shí)現(xiàn)大單元教學(xué)，學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中發(fā)展核心素養(yǎng)為原則，設(shè)計(jì)并實(shí)施了以“1從哪里來？”為題的單元教學(xué).

2. 教學(xué)片段呈現(xiàn)

師：同學(xué)們，七年級(jí)時(shí)，我們?cè)佑|了這樣一個(gè)問題，圖1是面積為64的正方形紙片，把它剪成4塊，按圖2所示重新拼合，這4塊紙片恰好能拼成一個(gè)長為13、寬為5的長方形嗎？組成正方形的4個(gè)圖形分別是哪些圖形，它們之間有什么關(guān)系？

生：我發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)全等的直角三角形，和兩個(gè)全等的直角梯形.

師：可以用什么方法驗(yàn)證這位同學(xué)的猜想？

生：用疊合法可以驗(yàn)證，兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)直角梯形是對(duì)應(yīng)全等的.

師：怎樣拼合這4個(gè)圖形，形成如圖2所示的矩形？

生：直角三角形的較短直角邊和直角梯形的上底長度相等，所以分別用將直角三角形和梯形組合，可分別形成兩個(gè)較大的直角三角形，然后將兩個(gè)大直角三角形重合斜邊可組成如圖2所示的矩形.

師：請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手試一試.

學(xué)生完成后，展示拼成的矩形.

師：請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算拼成的矩形面積是多少？

生：矩形的面積計(jì)算公式是長乘以寬，拼成后的矩形長為13，寬為5，所以面積是65.

師：比較正方形和矩形的面積，同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：老師，我發(fā)現(xiàn)面積由64變成了65，這真的很神奇.

師：這種神奇的現(xiàn)象真實(shí)存在嗎？

生：我認(rèn)為存在，通過計(jì)算可以獲得，圖形的面積確實(shí)發(fā)生了改變.

（教室中略安靜，隨后有學(xué)生小聲議論.）

生：我不認(rèn)同這個(gè)觀點(diǎn)，我感覺面積不可能由64變成65，因?yàn)閳D形面積是守恒的，重新組合只是形狀發(fā)生了變化，面積是不可能改變的.

生：我記得在七年級(jí)時(shí)，老師說過這個(gè)問題，面積是不會(huì)變的，不可能由64變成65.

師：但是同學(xué)們通過計(jì)算的確發(fā)現(xiàn)了面積多了1，1從哪里來？觀察你手里的拼圖，想一想原因.

（學(xué)生觀察、動(dòng)手、思考.）

生：我認(rèn)為面積不可能多1，但是我沒找到合理的解釋.

生：我剛才在擺動(dòng)矩形的過程中，發(fā)現(xiàn)矩形的對(duì)角線好像沒能完全貼合，不知道是不是我裁剪的過程中有誤差.

有學(xué)生附和也發(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象.

師：同學(xué)們，如何來驗(yàn)證對(duì)角線不在一條直線上呢？

生：可用平角，因?yàn)槠浇鞘?80°，利用特殊角可以證明.

師：你的思路很好，能想到從形的角度來解決這個(gè)問題，說說你的具體思路.

生：四個(gè)圖形除直角外，其他角度都不明確，不能完成證明.

師：這位同學(xué)雖然沒給出具體的思路，卻提供了一條有價(jià)值的線索，即我們所看到的對(duì)角線可能不在同一條線段上，可以怎樣來說理呢？

生：我想可以在對(duì)角線上取3個(gè)點(diǎn)，過兩點(diǎn)確定一條直線，如果第三點(diǎn)在直線上，則三點(diǎn)共線，如果第三點(diǎn)不在該直線上，則三點(diǎn)不共線.

師：直線是外顯的形，結(jié)合近期所學(xué)，由直線你能想到什么？

生：一次函數(shù)的圖像.

教師：很好，現(xiàn)在有這么多的線索了，能理出什么樣的思路？

生：建立坐標(biāo)系，讓矩形左下頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，相鄰的長和寬與坐標(biāo)軸重合，根據(jù)題中的數(shù)據(jù)，能得出矩形兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出該一次函數(shù)表達(dá)式，然后在“對(duì)角線”上再找1個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，就能驗(yàn)證這三點(diǎn)是否共線.

師：這位同學(xué)說的很細(xì)致，請(qǐng)同學(xué)們快速求解，我請(qǐng)一位同學(xué)上來展示過程.

（教師指定一名學(xué)生板書過程，完成板書后向其他學(xué)生口述解題思路.）

師：由三點(diǎn)不共線，可得到哪些結(jié)論？

生：可驗(yàn)證，矩形中間確實(shí)有空白.

生：我知道面積為什么會(huì)相差1了，因?yàn)橹虚g有空白，四個(gè)圖形在組成矩形時(shí)，并不是完全對(duì)接的，我感受到另一種證明方法.

師：在獲得這一結(jié)論的過程中，同學(xué)們用了哪些方法，有什么感悟？

生：建立坐標(biāo)系，將圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合.

生：以后見到直線，可以考慮能否建立一個(gè)合理的坐標(biāo)系，然后用表達(dá)式描述直線.

師：同學(xué)們說得很好，理性思維是數(shù)學(xué)的核心，觀察、操作得到的結(jié)論不一定正確，只有通過證明得出的結(jié)論才是正確的，課后請(qǐng)繼續(xù)思考其他解法.

教學(xué)反思

1. 融合教材碎片，形成單元教學(xué)

教材是詮釋《課標(biāo)》的載體，解讀課標(biāo)并合理分解到章節(jié)，在課標(biāo)、教材及學(xué)情間建立融通共生的渠道，需要教師從整體上把握教材的價(jià)值，催生其教與學(xué)的最大效能. 該章頭圖在七年級(jí)教學(xué)中，雖然發(fā)揮了幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)證明必要性的效能，但限于學(xué)生的認(rèn)知水平，當(dāng)時(shí)較難找到證明的思路，使認(rèn)識(shí)浮于表面，沒能更大程度地挖掘該情境的價(jià)值. 《課標(biāo)》指出：數(shù)學(xué)教學(xué)過程中恰當(dāng)?shù)厥褂脭?shù)學(xué)課程資源，將在很大程度上提高學(xué)生從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的水平和教師從事教學(xué)活動(dòng)的質(zhì)量[2]. 在八年級(jí)上學(xué)期，學(xué)生學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系和一次函數(shù)后，積累了用解析法解決問題的經(jīng)驗(yàn)，有了重拾教材碎片，形成單元教學(xué)的基礎(chǔ). 此時(shí)，基于深度學(xué)習(xí)的理念，融合了矩形的性質(zhì)、平面直角坐標(biāo)系、一次函數(shù)等知識(shí)，設(shè)計(jì)該教學(xué)內(nèi)容，形成大單元教學(xué)鏈條，知識(shí)的綜合面廣，思維跨度大，在析粹解決問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維，拉伸了學(xué)生的深度思考域.

2. 綜合運(yùn)用知識(shí)，學(xué)生思維進(jìn)階

問題既是數(shù)學(xué)新知的邏輯生長點(diǎn)，又是數(shù)學(xué)知識(shí)、技能與能力的邏輯發(fā)展點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)活動(dòng)的載體. 達(dá)成深度學(xué)習(xí)的元素是多元化的，但起決定性作用的依然是教師、教材和學(xué)生. 教師要客觀評(píng)價(jià)學(xué)情，對(duì)數(shù)學(xué)有深度的理解，既能設(shè)置合理的問題情境，又能找到解決問題的驅(qū)動(dòng)力，組織學(xué)生在問題情境中獨(dú)立思考、合作交流，調(diào)用知識(shí)儲(chǔ)備，借鑒過程方法經(jīng)驗(yàn)，切準(zhǔn)問題核心，梳理解題途徑，使學(xué)生在親歷解決問題的過程中，領(lǐng)悟從“學(xué)什么”到“如何用”的轉(zhuǎn)化過程. 本課例源于蘇科版七年級(jí)教材的碎片遺留，在深度學(xué)習(xí)理念的指引下，合理評(píng)估學(xué)情，將該章頭圖重現(xiàn)于八年級(jí)的教學(xué)中，在問題情境中學(xué)生綜合運(yùn)用矩形、平面直角坐標(biāo)系和一次函數(shù)的知識(shí)儲(chǔ)備，漸次轉(zhuǎn)化問題，逐步切準(zhǔn)核心并最終解決問題，在大單元的教學(xué)過程中，達(dá)成了深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了思維進(jìn)階，發(fā)展了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3. “三會(huì)”思想統(tǒng)領(lǐng)，達(dá)成深度學(xué)習(xí)

史寧中教授對(duì)《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)解讀為“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界. ”[3]三會(huì)思想突出反映了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的本質(zhì). 本課例，筆者基于深度學(xué)習(xí)的理念，通過重拾教材碎片，在跨章節(jié)的融合中形成大單元教學(xué)，在探究的過程中，喚醒學(xué)生的求知欲望，在尋找解題思路中滲入數(shù)學(xué)思想方法，在問題解決的情境中實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維進(jìn)階，學(xué)生從拼成的矩形紙片中抽象出點(diǎn)、線，建立坐標(biāo)系，經(jīng)歷了“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”，探究得到用一次函數(shù)描述直線，判斷第三點(diǎn)是否在該直線上的求證思路，經(jīng)歷了“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界”，建立起一次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，并用以解決問題，經(jīng)歷了“會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”，整節(jié)課在“三會(huì)”思想的統(tǒng)領(lǐng)下，達(dá)成了深度學(xué)習(xí)的目標(biāo).

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉曉玫，黃延林. 深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)[M]. 北京：教育科學(xué)出版社，2019.

[2] 中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[3] 吳曉紅，謝海燕. 基于學(xué)科核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)課例研究[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2019.

基金項(xiàng)目：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“基于核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)實(shí)踐研究”（D/2021/02/136）.

作者簡介：魏宇亭（1981—），本科學(xué)歷，中小學(xué)高級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，曾獲江蘇省優(yōu)秀課一等獎(jiǎng)，徐州市優(yōu)秀課一等獎(jiǎng)，徐州市帶頭優(yōu)師，邳州市名師等獎(jiǎng)項(xiàng)和榮譽(yù).