在變式遷移中厚植“植樹問題”模型思想

楊娟

［摘 要］生活中的許多問題本質(zhì)都是植樹問題。教師通過數(shù)形結(jié)合方法讓學(xué)生切實(shí)理解間隔數(shù)與棵數(shù)的關(guān)系，真正弄明白到底是加1還是減1，抑或是不加不減，建立“植樹問題”解題模型。結(jié)合生活實(shí)例設(shè)計(jì)的變式練習(xí)，能讓學(xué)生將生活問題和植樹問題關(guān)聯(lián)起來，提高解決問題的能力。

［關(guān)鍵詞］植樹；模型；變式；改版；數(shù)列

［中圖分類號(hào)］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A［文章編號(hào)］ 1007-9068（2022）32-0040-03

“間隔”問題早在第二冊(cè)的教材中就已出現(xiàn)過，是在“十幾減9”練習(xí)二的思考題（第12頁）中（如圖1）。在第三冊(cè)教材“9的乘法口訣”練習(xí)二十的第8題（第82頁）中也有出現(xiàn)（如圖2）。

這兩道題釋放出強(qiáng)烈的信號(hào)，那就是教材對(duì)認(rèn)識(shí)兩端都栽樹題型中特有的“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”的數(shù)量關(guān)系，早已埋下伏筆。因此，四年級(jí)的學(xué)生早已深諳“棵數(shù)-1=間隔數(shù)”的玄機(jī)：無非就是算上端點(diǎn)后減1的問題。數(shù)量關(guān)系式“間隔數(shù)×株距=路長”，充其量就是一個(gè)一般“份數(shù)乘以每份數(shù)”的乘法問題，或者可以看成求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡便計(jì)算，返璞歸真到乘法的起源。同樣，“路長÷間距=間隔數(shù)”也可以視為除法含義中的“包含除”，看看總長度里面含有幾個(gè)間距。

為了找到更有力的證據(jù)，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了測評(píng)調(diào)研，結(jié)果表明：已知株距與棵數(shù)求路長的答題正確率高達(dá)100%；已知路長求棵數(shù)的答題正確率為91.5%，答題錯(cuò)誤的4個(gè)學(xué)生中有2人是將兩端的2個(gè)端點(diǎn)數(shù)直接按一比一的比例轉(zhuǎn)換成間隔數(shù)，導(dǎo)致間隔數(shù)多加了1，另外2人則無視端點(diǎn)數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系，錯(cuò)把間隔數(shù)當(dāng)成植樹棵數(shù)。

基于以上現(xiàn)象，筆者設(shè)計(jì)了“植樹問題”第一課時(shí)的教學(xué)。

一、直觀引入，喚起舊知

筆者出示圖2，引導(dǎo)學(xué)生讀圖并提取其中的數(shù)學(xué)信息后提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題。學(xué)生能準(zhǔn)確捕捉到“株距為5米”這一關(guān)鍵信息，還能提出“整條林蔭道從頭到尾一共有多長”這一基本問題。學(xué)生不但能準(zhǔn)確地列出簡約的算式，還能解釋清楚為什么要這樣算，對(duì)每一步算式的算理都一清二楚，并牢牢記住“棵數(shù)-1=間隔數(shù)”這一規(guī)律。

【設(shè)計(jì)意圖】如果直接提出植樹問題，勢必會(huì)將間隔數(shù)和棵數(shù)的關(guān)系這一難題拋給學(xué)生，而學(xué)生也會(huì)對(duì)這一難題苦惱不已，降低了學(xué)習(xí)植樹問題的熱情。而將同一情境換成學(xué)生熟悉的問法：將株距設(shè)為每份數(shù)，將間隔數(shù)設(shè)為份數(shù)，路長設(shè)為總數(shù)，繞開難題，面對(duì)簡易的乘法口訣“五九四十五”，學(xué)生消弭了距離感，消除了抗拒感，學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)大大增強(qiáng)。最后，學(xué)生通過觀察得出“棵數(shù)比間隔數(shù)多1”的結(jié)論。

“植樹問題”屬于綜合實(shí)踐板塊，這樣的課程與前后知識(shí)的聯(lián)系微弱，基本上就是獨(dú)立單設(shè)的一個(gè)板塊，主要是為了訓(xùn)練學(xué)生某方面的思維能力?！爸矘鋯栴}”的目標(biāo)是訓(xùn)練學(xué)生在生活中遇到類似實(shí)際問題時(shí)對(duì)加1還是減1的果斷研判?！岸?”“少1”的錯(cuò)位對(duì)應(yīng)關(guān)系在生活中和數(shù)學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)，但是沒有引起足夠的注意，也沒有被單獨(dú)作為一門“顯學(xué)”來研究，“植樹問題”就將這類問題集中暴露出來。正因?yàn)槿绱耍绻蝗惶岢隹脭?shù)與間隔數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生勢必一時(shí)難以接受，也很難快速回憶起相關(guān)知識(shí)。而通過與之前的基礎(chǔ)知識(shí)（如乘除法計(jì)算）關(guān)聯(lián)起來，就能讓學(xué)生自然而然地發(fā)現(xiàn)“多1”和“少1”的對(duì)應(yīng)問題。

二、探究新知，建立模型

1.研習(xí)例1

題目：中國科考隊(duì)要在南極科考站旁100米長的隔離墻上插上五星紅旗（兩端都插），一共要插上多少面五星紅旗？

學(xué)生初次審題，發(fā)現(xiàn)信息不全。教師補(bǔ)充完善：每隔5米的距離插一面五星紅旗。

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)沒有直接呈現(xiàn)完整信息，而是故意賣關(guān)子，半遮半掩，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)，考驗(yàn)了學(xué)生的眼力和敏銳性，增強(qiáng)了學(xué)生的思維性。通過這種自查自糾的訓(xùn)練，學(xué)生全面掌握了植樹問題的解題模型結(jié)構(gòu)。

筆者引導(dǎo)學(xué)生揣摩題意——為什么要強(qiáng)調(diào)“兩端都栽”？通過對(duì)題意的認(rèn)真解讀，掃清文字上的障礙，避免因?yàn)檫z漏字詞而誤解題意。

筆者要求學(xué)生先獨(dú)立解題然后檢驗(yàn)。大多數(shù)學(xué)生選擇畫圖的方法（如圖3）。

筆者追問：“能清晰地看出到底有幾棵樹嗎？”促使學(xué)生制訂化繁為簡的策略：先畫兩個(gè)只有幾棵樹的簡圖，列出相應(yīng)算式，然后根據(jù)路長為35米這一條件，在不畫圖的情況下，憑借前面總結(jié)的規(guī)律和公式，直接運(yùn)算。這樣，“植樹問題”的解題模型呼之欲出。

2.研究棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系

解答了兩道題后，學(xué)生對(duì)植樹問題的整個(gè)脈絡(luò)有了全面的了解，此時(shí)，歸納棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系則是最后一關(guān)。

筆者引導(dǎo)學(xué)生用圓點(diǎn)代表樹，用線段表示間隔，畫圖后觀察（如圖4）。

筆者又請(qǐng)學(xué)生用磁貼動(dòng)態(tài)演示兩端都栽的情境：你能設(shè)法一招暴露間隔數(shù)和棵數(shù)的差距嗎？引導(dǎo)學(xué)生用“一一對(duì)應(yīng)”的方法揭示間隔數(shù)和棵數(shù)之間“多1”與“少1”的關(guān)系（如圖5）。

3.舉例

學(xué)生即興舉例，筆者用課件配合演示：借助旗桿、路樁理解“兩端都栽”與“兩邊都栽”的區(qū)別；借助紅旗深化理解“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為解決基本的植樹問題清除障礙。

【設(shè)計(jì)意圖】間隔數(shù)和棵數(shù)的數(shù)量關(guān)系是植樹問題的核心問題，也是植樹問題的精華所在，解決這個(gè)問題是攻破“植樹問題”的第一道堡壘。但是，這一問題需要學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并掌握解決的竅門，內(nèi)化理解，而不是死記公式，也不能糾結(jié)于“加1”還是“減1”，關(guān)鍵在于通過直觀的手段揭示棵數(shù)與間隔數(shù)的根本關(guān)系。因此，采用“一一對(duì)應(yīng)”的畫圖法，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)兩端都栽的情況下，端點(diǎn)數(shù)總比間隔數(shù)多1。這為后續(xù)研究其他兩種類型奠定了基礎(chǔ)。

植樹問題中間隔數(shù)和棵數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系與植樹方式密切相關(guān)，植樹方式發(fā)生變化，那么間隔數(shù)與棵數(shù)之間的關(guān)鍵數(shù)據(jù)就會(huì)發(fā)生變更，有時(shí)加1，有時(shí)減1，有時(shí)不增不減。正因?yàn)榇嬖谶@樣的變數(shù)，教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)有意出示一些信息不全的題目，如遺漏株距這個(gè)條件，這樣學(xué)生在做題時(shí)憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，自會(huì)想到尋求株距。株距確定后，學(xué)生便能夠通過獨(dú)立思考推理出計(jì)算棵數(shù)的前提是計(jì)算出間隔段數(shù)。遇到難點(diǎn)時(shí)，教師再一步步引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)間隔數(shù)與棵數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。學(xué)生通過歸納法、直觀圖示法等各種方法理解間隔數(shù)和棵數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系存在天然的合理性。最后，在總結(jié)規(guī)律的過程中，學(xué)生也能隱隱約約感覺到兩端都不栽和一端栽另一端不栽時(shí)，棵數(shù)與間隔數(shù)會(huì)循著類似的規(guī)律發(fā)生相應(yīng)的變化。

三、鞏固新知，拓展提高

1.鞏固練習(xí)

練習(xí)環(huán)節(jié)一方面是幫助學(xué)生鞏固植樹問題的基本模型，另一方面是將生活中的類似問題模型化，將學(xué)生心中的固定模型變活，讓學(xué)生對(duì)植樹問題做到靈活理解、隨機(jī)應(yīng)變，但是又能抓住本質(zhì)，做到萬變不離其宗。

筆者出示習(xí)題：某新冠肺炎疫情高風(fēng)險(xiǎn)區(qū)域的疫情防控志愿者在為出境人員做核酸檢測，相鄰兩人之間相隔3米。隊(duì)伍有30米長，一共排了多少人？A.9；B.11；C.10；D.22。

在學(xué)生得出正確答案后，教師可追問：“如果要使‘D.22成為答案，該如何修改題干？”

這樣，以現(xiàn)有素材為基礎(chǔ)，對(duì)其進(jìn)行變式改編，能充分提高學(xué)生對(duì)這類問題的識(shí)別力：雖然題目情境不是植樹，但是本質(zhì)仍是植樹問題。

2.拓展練習(xí)

在第八冊(cè)第三章的“運(yùn)算定律”的教學(xué)中，課本出現(xiàn)兩道等差數(shù)列問題：①1+2+3+4+…+99+100；②2+4+6+…+16+18+20。這兩題的項(xiàng)數(shù)很明確，綜合運(yùn)用加法交換結(jié)合律，然后配對(duì)湊整即可解題，這是學(xué)生熟練掌握的。但對(duì)于14+17+20+…+83+86+89這個(gè)數(shù)列，推算項(xiàng)數(shù)異常困難。如果將植樹問題中的“核心技術(shù)”遷移過來，那么問題就迎刃而解：間距為3，總長為89-14=75，那么間隔數(shù)就為75÷3=25，間隔數(shù)為25，棵數(shù)就為25+1=26。因此，這個(gè)數(shù)列有26項(xiàng)。由此，筆者把等差數(shù)列問題與植樹問題巧妙融合，實(shí)現(xiàn)各元素對(duì)應(yīng)，擴(kuò)大了植樹問題的應(yīng)用范圍。

筆者出示習(xí)題：求這些數(shù)列的項(xiàng)數(shù)？1，2，3，…，99，100，共（）個(gè)數(shù)；2，4，6，…，98，100，共（）個(gè)數(shù)；數(shù)列15，20，25，…，75，80，85，共（）項(xiàng)。

引導(dǎo)學(xué)生按照植樹問題的模式去解決問題：在學(xué)生求出項(xiàng)數(shù)后，筆者追問：“求出項(xiàng)數(shù)可以用來干什么？”學(xué)生自然聯(lián)想到影院算座位的情境。

【設(shè)計(jì)意圖】植樹問題是一個(gè)框架，里面可以“裝下”許多內(nèi)容，只是這一模型一旦“披上”別的“外衣”，學(xué)生就很難辨認(rèn)其真面目。因此，必要的變式訓(xùn)練不但可以拓寬學(xué)生的思維，而且有助于加深學(xué)生對(duì)植樹問題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

植樹問題的本質(zhì)就是一些間隔數(shù)與“點(diǎn)數(shù)”之間的特殊對(duì)應(yīng)關(guān)系，繩結(jié)問題、敲鐘問題、插旗問題、排隊(duì)問題、上樓問題等，都可以歸結(jié)為植樹問題。學(xué)生熟悉了植樹問題的經(jīng)典模型后，思維難免會(huì)僵化，只有遇到植樹情境才會(huì)熟練應(yīng)用植樹問題的規(guī)律和公式，一遇到變式問題，就會(huì)思維受阻。這說明學(xué)生只是認(rèn)識(shí)了植樹問題的形式，沒有領(lǐng)悟植樹問題的本質(zhì)和靈魂。因此，教師要讓學(xué)生在類比遷移中歸納出植樹問題的精髓和本質(zhì)。

3.備選練習(xí)

筆者出示習(xí)題：某部隊(duì)士兵依次出列報(bào)數(shù)，班長讓第一個(gè)士兵報(bào)數(shù)為16，往后每個(gè)人報(bào)的數(shù)比前一個(gè)人報(bào)的數(shù)大2，最后一個(gè)人報(bào)的數(shù)是36，一共有幾個(gè)人報(bào)數(shù)？這些數(shù)的總和是多少？出示這道題，是為了讓學(xué)生進(jìn)一步感受到植樹問題輻射面很廣，遷移力很強(qiáng)。

植樹問題是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)經(jīng)典問題，在多版教材中均有編排，足可見其重要性和經(jīng)典性。經(jīng)典之所以成為經(jīng)典，是因?yàn)槠湟?guī)律具有可塑性，形式具有變通性，模型具有發(fā)散性。兩端都栽、兩端都不栽、一端栽一端不栽，三種情境下，棵數(shù)和間隔數(shù)都具有特定的微妙關(guān)系，這就體現(xiàn)了規(guī)律的可塑性；圓周植樹問題、封閉路線植樹問題中，棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系相同，這就體現(xiàn)了形式的變通性；敲鐘問題、繩結(jié)問題、上樓問題，都可以歸為植樹問題，這就是植樹問題的發(fā)散性。可見，變式訓(xùn)練，是教學(xué)植樹問題的制勝法寶。

綜上，學(xué)生充分經(jīng)歷了模型創(chuàng)建和模型應(yīng)用后，真正把握了植樹問題的內(nèi)涵。這個(gè)模型思想一旦厚植于學(xué)生頭腦中，學(xué)生的潛力就會(huì)得到無限激發(fā)。

（責(zé)編 吳美玲）