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    正、反比例教學(xué)的情境設(shè)置應(yīng)向數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)移

    2022-05-30 20:16:50蔡益磊
    關(guān)鍵詞:情境設(shè)置幾何正比例

    蔡益磊

    [摘 要]正比例和反比例是小學(xué)數(shù)學(xué)中比較重要的概念,同時也是較為復(fù)雜的概念,需要學(xué)生具備很強(qiáng)的理解能力和抽象能力。正比例和反比例涉及定量和變量的動態(tài)關(guān)系,教學(xué)時,盡管教師憑借直觀演示或者聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗教學(xué),但學(xué)生依然很難理解。因此,要想學(xué)生真正深入領(lǐng)會正比例和反比例的內(nèi)涵,還需用大量的數(shù)學(xué)實例去驗證和揭示。

    [關(guān)鍵詞]正比例;反比例;情境設(shè)置;幾何

    [中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068(2022)32-0043-03

    關(guān)于比和比例的論述,最早可以追溯到古希臘的科學(xué)著作《原本》的第五卷,這也是人類歷史上有據(jù)可查的最早的關(guān)于比和比例的詳細(xì)記載?!对尽分袑Ρ群捅壤慕榻B,多數(shù)與代數(shù)和幾何圖形有關(guān),這對整個數(shù)學(xué)發(fā)展史都起著推動作用,具有里程碑式的意義,甚至可以說加速了整個數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程。正是由于這樣的特殊地位,比和比例在數(shù)學(xué)教育中風(fēng)靡了兩千年,代代相傳,經(jīng)久不衰。下面,筆者就正、反比例的教學(xué),談?wù)勅绾卧O(shè)置情境。

    一、不能拘泥于生活情境

    小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有關(guān)正比例和反比例的課程,蘇教版與人教版都編排在了第十二冊。以蘇教版教材為例,有關(guān)正比例的知識介紹,教材采用汽車在公路上行駛的情境作載體(如圖1)。通過借助生活情境,讓學(xué)生切實體驗到當(dāng)汽車行駛的速度一定時,汽車行駛的時間與行駛的路程是兩個相關(guān)聯(lián)的量:其中一個量變化,另一個量也隨之變化,而且變化方向相同,即對應(yīng)的兩個量的商相同。于是可以說這兩個量成正比例關(guān)系。

    教學(xué)反比例時,蘇教版教材采用了購物的生活情境(如圖2),讓學(xué)生切實體驗到在筆記本的總價不變的前提下,筆記本的單價和購買的本數(shù)是兩個相關(guān)聯(lián)的量:其中一個量變化,另一個量也隨之變化,但是變化方向相反,即對應(yīng)的兩個量的積相同。于是可以說這兩個量成反比例關(guān)系。

    這樣的情境設(shè)計充分考慮了學(xué)生的生活經(jīng)驗,最大限度地在學(xué)生熟悉的事物和現(xiàn)象中找到契合比例規(guī)律的情境,有利于學(xué)生從感性上理解比例。兩本教材在小學(xué)階段的最后一個學(xué)期編排比例,具有承前啟后的意義,一方面是對整個小學(xué)所學(xué)相關(guān)內(nèi)容的梳理、融通與總結(jié),另一方面可以有效地與初中知識銜接并做好鋪墊。因此,教學(xué)時,教師如果將比和比例的知識拘泥于生活情境,那對學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)比例知識的理論是極為不利的,會阻礙學(xué)生的學(xué)科發(fā)展和認(rèn)知升華。情境設(shè)計應(yīng)考慮數(shù)學(xué)知識本身,如圓的周長與直徑(或半徑),就是典型的正比例關(guān)系。另外,正比例和反比例不是彼此孤立的概念,而是一種數(shù)量的相對關(guān)系。在同一個代數(shù)式中,由于研究對象的不同和角色轉(zhuǎn)換,正、反比例可以互換身份。比如,在行程問題中,如果將速度設(shè)為定值,那么路程和時間就構(gòu)成正比例關(guān)系;如果將時間設(shè)為定值,那么路程和速度就構(gòu)成正比例關(guān)系;如果將路程設(shè)為定值,那么速度和時間就構(gòu)成反比例關(guān)系。事實上,所有的正比例和反比例關(guān)系的落腳點都可以抽象成一個簡單的代數(shù)模型“a×b=c”,如果一個因數(shù)(a或b)為定值,那么另外兩個數(shù)就是變量,且構(gòu)成正比例關(guān)系;如果積c為定值,那么兩個因數(shù)就是變量,且構(gòu)成反比例關(guān)系。因此,凡是具有乘法或者除法算式形式特征的式子都可以視為正、反比例的混合體。

    二、幾何中的正、反比例

    1.以長方形為例

    所有長方形的面積都可以歸納為“長×寬=長方形的面積”這個公式。假設(shè)面積為常量,那么長和寬就是變量,因為乘積一定,所以可以判定長和寬構(gòu)成反比例關(guān)系;假設(shè)長為定值,那么寬和面積就是變量,因為它們的商一定,所以可以判定寬和面積構(gòu)成正比例關(guān)系。

    在圖3的長方形中,長為定值,用 A1,A2分別指代兩塊區(qū)域的面積,寬a1,a2和對應(yīng)面積的正比例關(guān)系可以這樣表示:A1∶A2=a1∶a2。換成分?jǐn)?shù)符號就是[A1A2]=[a1a2]。繼續(xù)推進(jìn),在圖4的長方形中,如果用 A1,A2,B1,B2分別指代四塊區(qū)域的面積,那么根據(jù)前述理由,就有[A1A2]=[a1a2]和[B1B2]=[a1a2],進(jìn)行等量代換后得出[A1A2]=[B1B2]。長方形的面積與長(或?qū)挘┑恼壤P(guān)系還可以通過等量代換的轉(zhuǎn)移和傳遞來推廣,如圖5,如果每個大寫字母各自代表所在區(qū)域的面積,那么面積之間就有如下比例關(guān)系:[A1B1]=[A2B2]=…=[AnBn]。

    長方形中的這種面積比例關(guān)系有很大的應(yīng)用價值,如在圖4中,四塊區(qū)域已知其中三塊的面積,那么就可以利用[A1A2]=[B1B2]快速求出未知區(qū)域的面積。

    2.以三角形為例

    任意三角形的面積與其底和高都存在這樣的關(guān)系:底×高=三角形面積的2倍。如果將三角形面積設(shè)為定值,那么面積的2倍毫無疑問也是定值,此時三角形的底和高就可以判定為反比例關(guān)系。反之,如果高(或底)一定,那么三角形面積的2倍和底(或高)就可以判定為正比例關(guān)系。

    在圖6的三角形中,A1,A2指代所在區(qū)域的面積,a1,a2則分別指代所標(biāo)記的底。由于兩個三角形等高,所以可以將高視為定值,則面積(或面積的2倍)和底成正比例關(guān)系,于是可以列出基礎(chǔ)的比例關(guān)系式:A1∶a1=A2∶a2(或[A1a1]=[A2a2])。這樣的關(guān)系還可以無限推廣(如圖7),類似的正比例關(guān)系為A1∶a1=A2∶a2=…=An∶an(或[A1a1]=[A2a2]=…=[Anan])。這樣的正比例關(guān)系只要略微變形就可以體現(xiàn)出面積之比與底之比的對等關(guān)系,如[A1A2]=[a1a2]。

    將面積之比轉(zhuǎn)化成長度之比,這一點在今后的應(yīng)用將非常廣泛,如確定三角形的重心就可以運(yùn)用這種比例關(guān)系。

    在圖8的△ABC中,D,E兩點分別是所在邊的中點,AD和BE都是△ABC的中線?!鰽BC的重心就在中線的交點O處。下面需要計算重心O的坐標(biāo)。首先,因為△ADC和△BCE的面積都只有△ABC的一半,所以它們面積相等。然后,同時挖去重合區(qū)域(四邊形OECD),就能推斷△AOE和△OBD面積相等。同理還可以推知△ABO和四邊形OECD面積相等。再來分析△OBD與其相鄰的四邊形OECD的面積關(guān)系,連接O,C兩點作輔助線,把四邊形一分為二,得到△ODC和△OEC(見圖9)。由于D點是BC邊的中點,因此△ODC與△OBD面積相等,△OEC與△AOE面積相等。聯(lián)系前后邏輯可以推知,△ABO的面積等于2個△AOE的面積,也等于2個△OBD的面積。再運(yùn)用前面所說的面積與底的正比例關(guān)系,就可以推知,線段BO之長等于線段OE之長的2倍,同理,線段AO之長等于線段OD之長的2倍?,F(xiàn)在O點的坐標(biāo)就可以確定,即位于任意一條中線靠近對應(yīng)底邊的三等分點處。

    三、教學(xué)情境改進(jìn)

    綜上所述,關(guān)于正比例和反比例的教學(xué)理應(yīng)形成三大觀點:第一,正比例和反比例其實就是對舊知的一種新提法,本質(zhì)上具有“兩個量之積等于第三個量”這種數(shù)量關(guān)系的式子(含變量),都可以稱之為正(反)比例;第二,正比例和反比例可以兼容到一個表達(dá)式里,在教學(xué)時,教師可以一體呈現(xiàn),便于對比辨析,讓學(xué)生同時掌握;第三,正比例和反比例具有承前啟后的功用。因此,選用的情境不應(yīng)拘泥于生活情境,還應(yīng)回歸數(shù)學(xué)學(xué)科。

    “變教為學(xué)”教學(xué)模式中,呈現(xiàn)知識應(yīng)當(dāng)“突出本質(zhì)、滲透文化、實現(xiàn)關(guān)聯(lián)”。我國的成語典故中也會涉及正、反比例的意識形態(tài)。如成語“半斤八兩”,古代的1斤=16兩,“斤”與“兩”就是典型的正比例關(guān)系。事實上,所有度量單位的進(jìn)率換算也都是在應(yīng)用正比例知識。又如成語“事半功倍”,大意是付出少,收獲大。若將“事”定義為工作時間,“功”定義為工作效率,那么整個成語就可以理解為工作總量恒定,工作時間與工作效率是反比例關(guān)系,換言之,就是用時越短效率越高?;谶@些理論,學(xué)習(xí)目標(biāo)就不言自明:先總結(jié)具有乘法或者除法算式形式的數(shù)量關(guān)系,再識別其中正、反比例的關(guān)系。按照這個目標(biāo),教師不妨設(shè)計如下任務(wù)。

    【任務(wù)1】寫出你學(xué)過或見過的形如“□×□=□”的公式,如“長×寬=長方形的面積”。然后組內(nèi)交流,集體評議。

    完成這樣的任務(wù),學(xué)生的原始經(jīng)驗就會被激活,他們需要不斷搜羅、回憶自己學(xué)過的類似的公式,這樣的回顧可以對相關(guān)知識進(jìn)行梳理和提煉,以發(fā)現(xiàn)共性,為歸納正、反比例的概念做好知識儲備。

    【任務(wù)2】在形如“□×□=□”的三個量中,如果其中一個量為定值,那么另外兩個量存在何種關(guān)系?試著舉例說明。

    這個任務(wù)主要是為了突出常量和變量的區(qū)別,讓學(xué)生認(rèn)識常量和變量的概念,同時明確二者的依存與制約關(guān)系。

    【任務(wù)3】自己回想,何為“兩個量成正比例關(guān)系”,何為“兩個量成反比例關(guān)系”?組內(nèi)交流評價。

    通過完成這三個任務(wù),學(xué)生就可以在比較中進(jìn)行概括。在此基礎(chǔ)上,教師要再次引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材,確認(rèn)和揣摩正比例和反比例的概念。最后,運(yùn)用成語典故中涉及正、反比例的知識設(shè)計問題,以滲透和鞏固正、反比例的概念。

    正、反比例看似為一個簡單的數(shù)學(xué)概念,三言兩語就可以闡述清楚。教材上也有詳細(xì)而準(zhǔn)確的文字描述,對正、反比例做出了確切精準(zhǔn)的定義,還附錄了表達(dá)式。但是,學(xué)生要想真正掌握并內(nèi)化正、反比例的概念,且做到靈活運(yùn)用,僅僅靠對這些文字的揣摩和理解還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,還需要通過大量的實例和具象知識來堆積,建立穩(wěn)固的表象,將抽象的比例概念分解,轉(zhuǎn)化成一個個具體而細(xì)微的數(shù)學(xué)模型,最后共同組建完整的正、反比例知識框架。

    (責(zé)編 李琪琦)

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