“歸一問題”教學(xué)策略嘗試

沈敏

［摘 要］乘除法離不開“每份數(shù)”這個重要概念，可以說，“每份數(shù)”就是連接乘除法互逆關(guān)系的一條紐帶，乘法中相同加數(shù)就是“一份數(shù)”，除法中的“每份數(shù)”更是必不可少。許多復(fù)雜的乘除法兩步計算應(yīng)用題將“一份量”設(shè)為隱性條件，需要學(xué)生去反思和計算，數(shù)學(xué)上將這種問題統(tǒng)稱為“歸一問題”。

［關(guān)鍵詞］歸一問題；乘除法；解決問題的策略

［中圖分類號］ G623.5［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2022）32-0058-03

教學(xué)“解決問題的策略”前，筆者對三年級學(xué)生進(jìn)行了調(diào)研，用題目“叔叔買了3只同樣的茶杯花了18元，如果購買8只同樣的茶杯，一共要花多少錢？”對學(xué)生進(jìn)行測試。全班40名學(xué)生，測試結(jié)果如表1所示：

前測反饋的信息顯示：16名學(xué)生不會列式，大多數(shù)學(xué)生企圖一步到位，其中有8名學(xué)生列出的算式是“18×8”，列式為“3×8”的也不少，還有2名學(xué)生面對這一問題無所適從。從列式情況可知，學(xué)生很難找到隱藏的“一份數(shù)”這個過渡條件。在得出答案為48的24名學(xué)生中，有的憑直覺列出“8×6”的正確算式，可對數(shù)字“6”從何而來說不出個所以然。由此可見，這些學(xué)生對歸一問題中“一份數(shù)”還是有所感覺，但是不夠具體鮮明，而歸一問題中的“一份數(shù)”是解題的樞紐所在。

因此，教師要讓學(xué)生掌握歸一問題的解題策略，必須設(shè)法讓學(xué)生意識到“一份數(shù)”這個過渡條件的必要性和重要性。那么如何讓學(xué)生深切意識到這一點呢？對此，筆者進(jìn)行了大膽的創(chuàng)新和嘗試。

一、在新授中感知“一份數(shù)”

要想讓學(xué)生意識到“一份數(shù)”這個量的存在，在解題過程中，教師可以借助圖示、解說解題思路等突出“一份量”的重要性。

1.借助圖示語言

筆者首先出示例題：媽媽買2雙同樣的鞋墊，用了12元，如果買5雙同樣的鞋墊，需要多少錢？在充分審題后，已有學(xué)生知道如何解決，但部分學(xué)生還是毫無頭緒。于是，筆者讓解題受阻的學(xué)生畫出題中的信息和問題，讓順利解題的學(xué)生用簡圖表述自己的思路。學(xué)生一旦動手畫圖，“一份數(shù)”的概念就會浮出水面。

筆者展示了實物圖、圓圈圖和線段圖三種自主探究的圖式（如圖1），讓相關(guān)學(xué)生闡述自己的創(chuàng)作心得和構(gòu)思立意。

學(xué)生通過解讀示意圖，感受到“要求出買5雙同樣的鞋墊需要的總價，就必須預(yù)先知道1雙鞋墊的價錢”這個基本前提。為了讓學(xué)生更加敏銳地捕捉到“1雙鞋墊的價錢”這個“一份數(shù)”，筆者提出問題：“買2雙同樣的鞋墊用了12元，據(jù)此畫出兩條等長的線段。買5雙這樣的鞋墊需要多少錢該怎么畫？”學(xué)生異口同聲地回答：“畫5段?！惫P者繼續(xù)追問：“每次畫出的一條線段應(yīng)該有多長？”學(xué)生回答：“應(yīng)該和剛才的兩條線段保持一致?！睆膶W(xué)生的反饋來看，“一份數(shù)”的概念意識已被喚醒。

2.借助思維表述

在兩步計算應(yīng)用題的教學(xué)中，教師應(yīng)該注重學(xué)生表述時的思路，尤其是對中間量這種過渡條件的揭露。

在出示算式“12÷2=6（元），5×6=30（元）”后，通過問題“這兩步算式分別求的是什么？第一步計算為的是什么？”，讓學(xué)生明確說出第一步求出了什么，使其明白第一步計算的結(jié)果是第二步計算必不可少的一個基礎(chǔ)條件，第一步的計算結(jié)果就是“一份數(shù)”。在學(xué)生闡述想法時，教師應(yīng)一步步記錄解題步驟和原理，例如：1雙鞋墊多少錢？12÷2=6（元）。5雙鞋墊多少錢？5×6=30（元）。這樣，通過板書展示解題思路，就是用文字對“一份數(shù)”這個概念做了最好的注解。

3.借助對比活動

如何利用好變式，讓學(xué)生在分辨各變式中領(lǐng)悟“一份數(shù)”的真諦？不妨在學(xué)生解決了問題“買5雙同樣的鞋墊需要多少錢？”后，讓學(xué)生根據(jù)“媽媽買2雙同樣的鞋墊用了12元”這個基本條件，自己提出問題后解答，并陳述思路。

無論哪種方法，最終目的都是向?qū)W生滲透“一份數(shù)”這個關(guān)鍵量，不僅因為這個“一份數(shù)”是解題所需的中間條件，它也是教學(xué)的難點，因為學(xué)生有時是稀里糊涂地去求這個量的，無法分辨前后條件之間的關(guān)系，也不知道前面的基礎(chǔ)條件其實就是為了暗示“一份數(shù)”的存在，后面要求的結(jié)果就是建立在對這個“一份數(shù)”的處理上的。通過畫圖，學(xué)生就可以直觀感知到“一份數(shù)”的客觀存在，因為無論是求總數(shù)的順向應(yīng)用還是求份數(shù)的逆向應(yīng)用，都可以在一一對應(yīng)中發(fā)現(xiàn)線索?！耙环輸?shù)”是連接前后條件的樞紐， 求出“一份數(shù)”后，所有的問題都可以迎刃而解，所有的數(shù)量關(guān)系都可以聯(lián)通起來。

二、在鞏固中完善“一份數(shù)”

在現(xiàn)實生活中，“一份數(shù)”俯拾皆是，它不單是“1雙鞋墊的價錢”，還可以表示許許多多的含義，像“動車平均每分鐘行駛3千米”“每名醫(yī)生照顧6名患者”“每張桌子配有5把椅子”都是“一份數(shù)”。

教材中“做一做”出現(xiàn)的“一份數(shù)”與例題也大有不同：

小林堅持體育鍛煉，3天跑了2400米。

（1）照這種速度，7天可以跑多少米？

（2）照這種速度，第一個周期的跑步目標(biāo)里程數(shù)為6400米，需要堅持跑幾天才能圓滿完成目標(biāo)？

此時，“平均每天跑步800米”變成“一份數(shù)”，筆者認(rèn)為編排這道題的出發(fā)點不單是為了深化歸一問題的解題策略，更重要的是拓展“一份數(shù)”的范疇。

在精研了教材的練習(xí)之后，筆者在鞏固環(huán)節(jié)編設(shè)一道連線題，擴(kuò)充和豐富“一份數(shù)”的概念外延。

連一連：

①18÷3×8；②30÷（18÷3）。

（1）程序員小紅3天能編完18個手機(jī)單機(jī)游戲程序，照此速度，8天能編完多少個手機(jī)單機(jī)游戲程序？

（2）18位程序員分成3組編程，照這樣分組，30位程序員應(yīng)該分成幾組？

（3）程序員小明計劃8天編完30個手機(jī)游戲程序，實際上3天就編完了18個，照此速度，完成計劃的任務(wù)需要幾天？

1.在反饋中豐富“一份數(shù)”

三小題中，第（1）（2）題極為容易，連線后學(xué)生可以陳述自己的想法，尤其是必須交代清楚第一步先解決什么，在學(xué)生各抒己見中豐富“一份數(shù)”的外延。第（3）題難度陡增，多余條件“8天”赫然出現(xiàn)，遭受了這種突如其來的變化，有的學(xué)生認(rèn)為答案是第①個算式。在反饋中，學(xué)生領(lǐng)悟了這一問的終極目標(biāo)是“照此速度，編完30個程序需要幾天”的問題，如果按照第一種算法，解決的是“照此速度，8天一共編程幾個”，兩種做法求出的得數(shù)完全不是一個性質(zhì)。但是通過比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們有一個共同點，那就是必須先求出“平均每天編程幾個”這個前提條件。在此處，“平均每天編程6個”就是“一份數(shù)”，這樣，利用錯誤資源，再次揭示“一份數(shù)”的概念本質(zhì)。

2.在歸納中豐富“一份數(shù)”

待第（3）題的難點攻破后，筆者又設(shè)計了如下環(huán)節(jié)：找出三道題的相同點。學(xué)生通過對比很快發(fā)現(xiàn)，“18÷3=6”這個算式每次都會出現(xiàn)，由此算出的“一份數(shù)”是解決類似問題的樞紐和關(guān)鍵，而“18÷3=6”這個算式可以表示多種多樣的“一份數(shù)”，需要視具體情境而定。

學(xué)生了解了什么是“一份數(shù)”，也知道“一份數(shù)”的作用后，卻不一定能清楚地分辨什么是“一份數(shù)”，因為有的“一份數(shù)”很隱晦，不像表面上看到的那么簡單，課本上對“一份數(shù)”也沒有一個確切的定義，它可以是“每份數(shù)”，也可以是“組合數(shù)”，可能會以多種不同的面貌出現(xiàn)，教師可以通過形式多樣的習(xí)題來教會學(xué)生分辨和識別。比如，3個人吃6個蘋果，按照這種分配原則，9個人一共要吃多少個蘋果？此時，如果將3個人編為一組，9個人就可以編為3組，每組吃6個蘋果，此處的6個蘋果也是“一份數(shù)”，9個人編為三組，每組吃6個蘋果，3組一共吃6×3=18（個）蘋果?？梢姡颂幉灰欢ㄒ獙ⅰ?÷3=2（個）蘋果”作為“一份數(shù)”，而是將“每組吃6個蘋果”作為“組合一份數(shù)”。從另一個角度看，將3個人編為一組，也是將零散的3個人從形式上改造為特殊的“一份數(shù)”，9個人的總數(shù)中含有三個這樣的“一份數(shù)”，即9÷3=3。

三、在拓展學(xué)習(xí)中深化“一份數(shù)”

在教材的習(xí)題中，有這樣一道題：

某職業(yè)技術(shù)學(xué)院大四學(xué)生到定點工廠實習(xí)，每3名學(xué)生共同裝配12個機(jī)械部件。

（1）按照這種分配制度，6名實習(xí)生應(yīng)該裝配多少個機(jī)械部件？

（2）如果一共有36個未裝配的機(jī)械部件，一共要安排多少名實習(xí)生操作？

對于第（1）題，歸一法和倍比法都可行，但是無論哪種方法，必須率先解決“一份數(shù)”的問題。在歸一法中，是把“平均每名實習(xí)生裝配4個部件”看作“一份數(shù)”，而在倍比法中，卻是把“3名實習(xí)生裝配12個部件”視為“一份數(shù)”，這是對通常意義上的“一份數(shù)”的一種延伸和引申，筆者在拓展環(huán)節(jié)設(shè)計了這種練習(xí)，旨在拓寬“一份數(shù)”的類型。設(shè)計練習(xí)如下：

買2張從付家坡到新華路的地鐵票需要10元錢。買8張這樣的地鐵票，45元錢夠嗎？

解決這道題，正歸一、反歸一和倍比三種方法均可。在反饋時，先讓學(xué)生通過正反歸一的辨析，鞏固新知，然后重點研究倍比法，對兩者進(jìn)行對比辨析，尋找相同點，擴(kuò)充“一份數(shù)”的類型和用法，從而幫助學(xué)生正確解題。

1.在溝通中深化“一份數(shù)”

正歸一和反歸一的共同點顯而易見，但正歸一和倍比法的共同點則很隱蔽。于是，在理解倍比法“8÷2=4 ，4×10=40（元）”時，筆者讓學(xué)生采用圖解法，直觀揭示算式的深層含義和數(shù)量轉(zhuǎn)換原理。通過圖示法（如圖2），學(xué)生領(lǐng)悟了其算理就是將“2張票多少錢”看作“一份數(shù)”，8張票含有4個2張，即需要4個“一份數(shù)”，也就是需要支付4個10元。通過這道題，學(xué)生溝通了歸一法和倍比法的聯(lián)系，“一份數(shù)”又多了一個類型。

2.在拓展中深化“一份數(shù)”

在學(xué)生理解了“2張票多少錢”可以看作“一份數(shù)”的基礎(chǔ)上，教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，實際生活中，也可以把“3輛摩托車一共多少錢”“4名軍人站成一排”看作“一份數(shù)”，通過教師舉例、學(xué)生交流，擴(kuò)充“一份數(shù)”的輻射面，學(xué)生合作探究，設(shè)計一些用歸一法和倍比法都可以解決的問題，在具體情境中鞏固“一份數(shù)”的新概念。

“一份數(shù)”的內(nèi)涵十分豐富，根據(jù)現(xiàn)實情境的需要，有的“一份數(shù)”是不可分離的，必須作為一個整體出現(xiàn)。比如有個網(wǎng)劇，12集為1個單元，3名演員合作出演1個單元，那么這3名演員就是一個不可分離的“一份數(shù)”，不能再用12÷3=4，得每名演員出演4集網(wǎng)劇，因為3名演員必須共同合作才能完成12集網(wǎng)劇。如果問題是36集3個單元網(wǎng)劇需要招募多少名演員，那么只能用36÷12=3，需要3組人馬，3×3=9，一共需要9名演員，9名演員是不可混合的，必須獨立成組。如果問題是想問幾名演員共同出演多少個單元，那么這個演員數(shù)只能是3的倍數(shù)，不能是任意數(shù)字，因為3名演員是不可分割的。

在課堂教學(xué)后，筆者對同一批學(xué)生進(jìn)行了后測，測試題分別是：

（1）小林堅持晨跑，3天跑了3000米，照這樣的速度，7天可以跑多少米？

（2）冬天，清潔工們清掃積雪。3名清潔工清掃了12條街，如果全鎮(zhèn)有36條街道，一共需要幾名清潔工才能清掃干凈？

（3）把3塊木板碼放起來，高度是18厘米。如果把同樣的9塊木板碼放起來，高度能夠達(dá)到多少厘米？

全班40名學(xué)生的測試情況如表2所示：

從后測結(jié)果來看，讓學(xué)生在新授環(huán)節(jié)學(xué)習(xí)“一份數(shù)”，在鞏固環(huán)節(jié)豐富“一份數(shù)”，在拓展環(huán)節(jié)擴(kuò)充“一份數(shù)”，大部分學(xué)生都能全面掌握“一份數(shù)”。

當(dāng)然，后測也反映出一些問題：做對的學(xué)生可能是僥幸，碰巧套用了這個模型，有可能并未真正做到融會貫通；一旦題目變成歸總問題，學(xué)生會不會解決就不好說了；教學(xué)策略怎么改進(jìn)，練習(xí)如何完善，這些都是教學(xué)下一步努力的方向。

（責(zé)編 金 鈴）