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    因倍數(shù)概念教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的妙用

    2022-05-30 20:16:50趙麗君
    關(guān)鍵詞:倍數(shù)因數(shù)數(shù)形結(jié)合

    趙麗君

    [摘 要]數(shù)形結(jié)合是一種基本的數(shù)學(xué)思想,能直觀地、理性地揭示數(shù)學(xué)規(guī)律。文章以數(shù)形結(jié)合為切入點和研究思路,對“倍數(shù)與因數(shù)”的教學(xué)進(jìn)行改進(jìn)。

    [關(guān)鍵詞]因數(shù);倍數(shù);數(shù)形結(jié)合

    [中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068(2022)32-0055-03

    何為數(shù)形結(jié)合?數(shù)學(xué)家華羅庚有過經(jīng)典總結(jié):“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微?!边@句話深刻揭示了數(shù)形結(jié)合的內(nèi)涵。實際教學(xué)中,廣大教師正是明白這一點,才不遺余力地用“形”的直觀去彌補“數(shù)”的抽象,用“數(shù)”的嚴(yán)謹(jǐn)去彌補“形”的粗放,讓數(shù)和形完美結(jié)合,交相輝映,將數(shù)形結(jié)合的教學(xué)功能發(fā)揮到極致。由此,數(shù)形結(jié)合既是一種研究數(shù)學(xué)問題的思想方法,同時又可以看成是揭示數(shù)學(xué)知識邏輯的有效手段。下面筆者將以數(shù)形結(jié)合為切入點和研究思路,對“倍數(shù)與因數(shù)”的教學(xué)進(jìn)行改進(jìn)。

    一、借“形”引出概念

    【教學(xué)片段1】

    師(出示圖1、圖2):某個運動會開幕式上,中日兩個國家的體育代表團(tuán)分別站成兩種隊形,計算一下,中日兩國各派出多少人參加這次運動會的開幕式?

    生1:根據(jù)圖1列隊的情況,可以算出中國代表團(tuán)的人數(shù)為9×4=36(人)。根據(jù)圖2列隊的情況,可以算出日本代表團(tuán)的人數(shù)為5×7=35(人)。

    師:在9×4=36這個乘法算式中,按照以往的稱謂,相乘的兩個數(shù)9和4稱之為乘數(shù),而相乘所得的結(jié)果36則稱之為積。在隊列中,9是每行站隊的人數(shù),4則表示一共站了4行,36則是這個隊列中運動員的總數(shù)。

    師:聯(lián)系今天學(xué)習(xí)的課題 “倍數(shù)與因數(shù)”,請大家猜測,在計算圖1中國代表團(tuán)的人數(shù)的乘法算式中,哪一部分是因數(shù),哪一部分是倍數(shù)。

    生2:在9×4=36這個算式中,4和9是36的因數(shù),36是4和9的倍數(shù)。

    師:現(xiàn)在請大家再次觀察圖2的隊形,重點關(guān)注行數(shù)、列數(shù)和總數(shù),并對照匹配的乘法算式5×7=35,說說哪一部分是因數(shù),哪一部分是倍數(shù)。

    生3:列數(shù)5與行數(shù)7都是總?cè)藬?shù)35的因數(shù),總?cè)藬?shù)35是行數(shù)5和列數(shù)7的倍數(shù)。

    (根據(jù)學(xué)生回答板書,如圖3)

    【評析】倍數(shù)與因數(shù)是定義兩個自然數(shù)的倍率關(guān)系的,這種關(guān)系可以用乘法算式直觀反映出來。在自然數(shù)的乘法算式中,乘數(shù)和積就是因倍數(shù)關(guān)系的直觀體現(xiàn)??梢?,這部分新知完全可以脫離乘法算式,只要乘法算式中的各數(shù)字為非0自然數(shù)即可。僅僅依靠這種形式上的關(guān)聯(lián)還不夠,運動會開幕式體育代表團(tuán)隊形的情境,不但可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機,而且能借助圖形的直觀性從另一個維度呈現(xiàn)因倍數(shù)的關(guān)系:行數(shù)和列數(shù)是因數(shù),隊列總?cè)藬?shù)為倍數(shù),而且它們是相互依存的。這樣一來,可以觀察出總?cè)藬?shù)就是行數(shù)和列數(shù)的整倍數(shù),因為行數(shù)和列數(shù)以及總?cè)藬?shù)必須全部是整數(shù)。之后再來對照計算總?cè)藬?shù)的乘法算式,三管齊下,因倍數(shù)的概念就會非常清晰通透。這種融入數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法,可謂匠心獨具,將陌生的新知在不知不覺中滲透到舊知中,毫無痕跡。

    二、用“形”抽象概念

    【教學(xué)片段2】

    師:倍數(shù)與因數(shù)是兩個舉足輕重的概念,是分?jǐn)?shù)運算中通分和約分的奠基內(nèi)容,所以請同學(xué)們務(wù)必學(xué)好。

    師:仿照前面習(xí)得的方法,請大家隨機寫出2~3個不重復(fù)的乘法算式,并在點陣圖(如圖4)中圈畫,然后與同桌互相說說“誰是誰的因數(shù),誰是誰的倍數(shù)”。

    師(出示圖5):這是“神算子”寫出的算式和配圖,正確嗎?如果沒有異議,請說說“誰是誰的因數(shù),誰是誰的倍數(shù)”。

    師:像這樣具備因倍數(shù)關(guān)系的數(shù)對多嗎?

    生(齊):多。

    師:誰能一口氣說完?

    生1:唯一的辦法就是用代數(shù)式表示,這樣可以代表所有存在因倍數(shù)關(guān)系的數(shù)對。

    師:好極了!如果分別用字母 a、b、c 表示3個不同的數(shù),如何表示它們之間的因倍數(shù)關(guān)系?

    生2:a×b=c(a、b、c 均為大于0的自然數(shù)),則c 為a 、b 的倍數(shù),a 、b 為c 的因數(shù)。

    【評析】自主探究環(huán)節(jié)中的“圈畫、列式、陳述”,其目的在于構(gòu)建因倍數(shù)的幾何模型,即在點格圖中根據(jù)行數(shù)和列數(shù)來反映因數(shù),用總數(shù)來反映倍數(shù)。借助這個幾何模型,它們之間的數(shù)量關(guān)系也呼之欲出——行數(shù)乘以列數(shù)等于總數(shù),這就意味著因數(shù)乘以因數(shù)等于倍數(shù)。 “神算子”的作品中,有只有一行的,也有列數(shù)大于行數(shù)的。這既提供了常規(guī)例子,又展示了特例——行數(shù)為1。在此基礎(chǔ)上,學(xué)生抽象出字母表達(dá)式,就順理成章了。顯然,教學(xué)片段1的情境以及教學(xué)片段2的“圈畫、列式與陳述”,只是從情境、圖形、語言和操作幾個方面讓學(xué)生理解概念,最后抽象出的字母表達(dá)式才是終極形式,字母表達(dá)式才是概念內(nèi)涵的核心。那么,大費周章地運用這么多表征來讓學(xué)生理解概念有無必要?曾有美國權(quán)威學(xué)者采用圖6揭示概念的發(fā)展過程:“實物操作只是展示數(shù)學(xué)概念的初級形態(tài),圖像、語言、表達(dá)式才能起到抽象作用,并且深刻揭示概念內(nèi)涵。”這一觀點就是概念教學(xué)的燈塔:在教學(xué)中,任何一種表征都不應(yīng)被忽略,各種表征應(yīng)該串聯(lián)起來形成合力,幫助學(xué)生學(xué)會根據(jù)客觀需要選用合適的表征來理解。

    三、“形” 助理解規(guī)定

    【教學(xué)片段3】

    師:以前學(xué)習(xí)的倍數(shù),其實還可以用除法算式 c÷a=b(abc≠0)表示,這里 a、b、c 的取值范圍不作限定,整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)均可,只要不為0。今天學(xué)習(xí)的倍數(shù)則用乘法算式來理解,形如a×b=c的算式就可以表示因倍數(shù)關(guān)系,此處 a、b、c的取值范圍是否還是那么隨意?

    生1:我認(rèn)為不作限定,整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)均可,只要不為0。

    生2:不對!這次學(xué)習(xí)的倍數(shù)與以前學(xué)習(xí)的倍數(shù)大有不同,此處的 a、b、c 必須為非0自然數(shù)。

    師:請說說你的理由。

    生3:我們是在點陣圖中提煉因倍數(shù)概念的,行數(shù)、列數(shù)、總數(shù)都必須是非0自然數(shù),這是常識。

    師:“倍數(shù)”與“倍”只有一字之差,它們到底有何異同?

    生4:從數(shù)量比較上看,它們反映的都是兩個數(shù)的倍率關(guān)系。不同點是,“倍”是一個廣義寬泛的概念,其中的“數(shù)”可以是所有數(shù)型,只要排除0;“倍數(shù)”是一個狹義的概念,其中的“數(shù)”嚴(yán)格限定為非0自然數(shù),規(guī)定極為嚴(yán)苛。

    【分析】“倍數(shù)”是什么?要向?qū)W生說清這一概念,不能僅靠范例,因為范例只是一面之詞,容易讓學(xué)生“一葉障目不見泰山”。如果此時與相近易混的概念“倍”做一番比較,那么學(xué)生的眼界和思路將會更加寬闊,看問題的角度也會更全,分析問題時會更全面。通過比較辨析,學(xué)生弄清二者之間的異同點。相同點是都表示兩數(shù)的倍率關(guān)系,都可以用乘除法算式表示。不同點僅僅在于稱呼和取值范圍的不同——“倍”只要不為0,所有數(shù)型都可,因為這是由除法的性質(zhì)決定的,除法算式的結(jié)果可以是整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)等各種形式,“倍”就是除法算式中衍生的一個概念,除法算式才是“倍”這個概念的母體;而“倍數(shù)”的概念則是由特殊的乘法算式?jīng)Q定的,特殊之處就在于是計算圈畫出的點子圖的總數(shù)時,行數(shù)、列數(shù)必須都是整數(shù),所以這里的數(shù)只能是非0自然數(shù)。通過對比辨析,學(xué)生調(diào)用在點子圖中積累的直觀經(jīng)驗論述了因倍數(shù)概念的內(nèi)涵本質(zhì)。在此,借助直觀的點子圖還有另一好處,那就是讓“0除外的自然數(shù)”這一規(guī)定顯得合乎情理。

    四、依“形”建構(gòu)模型

    【教學(xué)片段4】

    師:點子圖幫了我們的大忙,有了它,因倍數(shù)概念就非常淺顯易懂,以后找倍數(shù)就可以回想點陣圖。請大家思考一下,借助點陣圖尋找某數(shù)的倍數(shù),其實是對應(yīng)地先確定什么,再找什么?

    生1:先確定一行的點數(shù),再逐步遞增行數(shù)計算總數(shù)。

    師:下面請大家依據(jù)他的描述,自己動手圈畫一下,試著找一下7的倍數(shù)。

    (學(xué)生邊匯報教師邊播放課件,最后得出圖7)

    師:通過剛才的操作,請歸納找一個非0自然數(shù) a 的倍數(shù)的方法。

    生2:a ×1,a ×2,a ×3……

    生3:依次找 a 的1倍、2倍、3倍……

    師:根據(jù)自然數(shù)的定義,倍數(shù)的數(shù)量是無限多的,有最小的倍數(shù),一個數(shù)的最小倍數(shù)就是它本身,沒有最大的倍數(shù)。

    【評析】 “圈畫點陣圖,并嘗試找出7的倍數(shù)”的活動,一方面,讓學(xué)生體驗找倍數(shù)的直觀方法,進(jìn)一步領(lǐng)悟倍數(shù)的概念;另一方面,在這種直觀操作中,找倍數(shù)的方法也不言自明:一個數(shù)就是每一行的點數(shù),倍數(shù)就是在不同行數(shù)下的總點數(shù)。通過圈畫,學(xué)生會發(fā)現(xiàn),求一個數(shù)的倍數(shù),就是將這個數(shù)量不斷復(fù)制,復(fù)制一次就有一個倍數(shù)出現(xiàn),倍數(shù)可以無限大,這映射到乘法算式里就是將目標(biāo)數(shù)從小到大不斷連續(xù)乘以自然數(shù)——從這個數(shù)的1倍開始找起,接著找它的2倍、3倍……同時,倍數(shù)的特征也一覽無余:一個數(shù)的最小倍數(shù)就是它自己,倍數(shù)可以無窮大,相鄰兩個倍數(shù)的相差值是它的本身。

    因倍數(shù)本是一個代數(shù)概念,這個概念的內(nèi)涵本身并不復(fù)雜,可以直接借助乘除法算式來定義,只不過,一旦與乘除法發(fā)生勾連,那么概念的范圍勢必會受到學(xué)生前認(rèn)知的干擾,而倍數(shù)是專門針對非0自然數(shù)設(shè)計的,也就是只有正整數(shù)乘法算式中,才可言倍數(shù)概念。這樣一來,學(xué)生的理解難度就會驟然加大。在教學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合之后,倍數(shù)概念必須定義在非0自然數(shù)范圍內(nèi)就顯得天經(jīng)地義,因為任何隊列的列數(shù)和行數(shù)以及總數(shù)都必須是正整數(shù),這是與客觀現(xiàn)實相適配的。因此,用數(shù)形結(jié)合的方法來理解倍數(shù)概念可以精準(zhǔn)揭示概念內(nèi)涵。

    [ 參 考 文 獻(xiàn) ]

    [1] 李玨.數(shù)學(xué)例題教學(xué)應(yīng)教些什么:以“倍數(shù)與因數(shù)”的例題教學(xué)為例[J].小學(xué)教學(xué)參考,2018(32):35.

    [2] 陸耀成.打破常規(guī)教“因數(shù)與倍數(shù)”[J].小學(xué)教學(xué)參考,2018(29):33.

    [3] 顧美華. 寓教于樂 寓思于玩:“因數(shù)與倍數(shù)”教學(xué)片段及賞析[J].小學(xué)教學(xué)(數(shù)學(xué)版),2021(4):58.

    (責(zé)編 金 鈴)

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