理解實際意義，培養(yǎng)應用能力

摘要：“王師傅賣鞋問題”的解答情況反映出，當前“有理數的加減法”的教學更多地關注了有理數加減法的法則等純粹數學知識的學習，而忽略了對有理數和加減法實際意義的理解，沒有培養(yǎng)學生應用數學知識解決實際問題的能力。對此，給出三條教學建議：“正數和負數”的教學，要幫助學生體會數學抽象，理解運算對象;“有理數加減運算法則”的教學，要在“同化”與“順應”中促進學生系統(tǒng)理解算理;“有理數加減法的應用”的教學，要在主客體的變換中幫助學生學會數學建模。

關鍵詞：有理數的加減法;數學抽象;算理;數學建模

本文系江蘇省中小學教學研究第十三期立項課題“發(fā)展農村初中學生數學建模素養(yǎng)的實踐研究”（編號：2019JK13L181）與“農村初中生數學抽象素養(yǎng)培塑的實踐研究”（編號：2019JK13L170）的階段性研究成果?！坝欣頂档募訙p法”是初中數學最先學習的、最為基本的“數的運算”知識，也是幾乎所有學生都能“學好”的知識——各地中考試卷中的相關試題幾乎都是“送分題”。但是，學生真的學好“有理數的加減法”了嗎？本文通過對“王師傅賣鞋問題”（具體如下）解法與解答情況的分析，試著回答這個問題，并由此談一談“有理數的加減法”的教學。

王師傅是賣鞋的，一雙鞋進價30元，甩賣20元。一位顧客來買鞋，給了一張50元，王師傅沒有零錢，于是找鄰居換了50元。事后，鄰居發(fā)現那一張50元是假幣，王師傅又賠了鄰居50元。請問：王師傅一共虧了多少錢？

一、解法的分析

結合有理數（正負數）和加減法的實際意義，可以對這道題的條件做全面的分析。假設收入為正，支出為負，我們可以具體分析條件闡述的每個行為給各個主體帶來的收支影響，然后分別將各個主體（只有意義相同的量才可以相加減）的各項收支加起來（因為加的數可以是負數，所以最終的運算包括減法），得到各個主體最終的收支。分析的過程和結果如表1所示（其中，假幣的價值是0）。

由此，在題目只要求王師傅一共虧了多少錢的情況下，完整的列式解法（解法1）是0-0+50-30-30+0-50=-60（元）。在此，若不考慮收支假幣以及抵消對鄰居的收支，則節(jié)約（縮略）的列式解法（解法2）是-30-30=-60（元）。當然，若假設支出為正，則是30+30=60（元）;若轉換考慮顧客的收入就是王師傅的支出（因為鄰居收支相抵），則也是30+30=60（元）。以上式子中的一個“30”也都可以寫成“50-20”。

此外，還有一種統(tǒng)整考慮的解法（解法3）：收到假幣虧50元（買賣需要用同等價值物品和找錢交換），賣出一雙鞋子虧30-20=10（元）（低于進價甩賣本身要虧本），因此解法是50+10=60（元）。這里的“10”也可以寫成“30-20”。

可見，解決這道題需要運用的，主要不是有理數加減法的法則，而是有理數和加減法的實際意義。進一步來看，這道題考查的并不是純粹的數學知識（用到的數學知識非常簡單），而是應用數學知識解決實際問題的能力。

首先，解決本題時，要將實際問題抽象為“互為相反意義的量”的數學問題。如果能正確地用“正負數”來表示，那么，列式將更簡單，只需要考慮加法（求代數和）。當然，如果沒有學過“正負數”，只要理解實際意義，也可很方便地用加減混合運算（求絕對值的和或差）解決本題。

其次，解決本題時，準確理解運算的對象，即參與運算的所有數據的實際意義，尤其重要。其實，從下文解答情況的分析中，我們可以發(fā)現，解決本題時沒有因為“數值運算”出錯的，都是因為“意義運算”出錯的，即對意義不同（如行為主體不同、收支方向不同）或對意義有重復、遺漏情況的數據進行加（減）法運算。

再次，解決本題時，要選擇合適的對象（王師傅、顧客、鄰居）進行分析，得出如“王師傅的支出-王師傅的收入=王師傅虧的”“顧客的收入-顧客的支出=顧客賺的”“三個人中，一些人賺的=另一些人虧的（系統(tǒng)收支平衡，沒有外部收支）”“鄰居不賺不虧，所以，王師傅虧的=顧客賺的”等模型，然后選擇適當的模型列式運算。

二、三個群體解答情況的分析

這道題曾經以多種版本在網絡上流傳，成為一些數學教師以及數學愛好者甚至全民用來檢測智力水平的熱題。筆者曾經參與某知名數學教師QQ群對本題的討論，并利用本題在筆者所任教的七年級學生中進行測試，還在筆者所指導的數學師范生中進行調查。下面簡述不同群體對本題的解答情況。

數十位教師參與了QQ群里的討論，分別來自5個省的8個地級市的10多位教師做了有效發(fā)言。筆者將他們對本題的解答情況做了整理、統(tǒng)計，得到表2（表中的“算式含義解釋”是教師給出的，不是筆者推測的）。可見，教師的結果正確率大概是30%，過程正確率大概是20%。

在七年級上學期第一節(jié)數學課上，筆者對尚未學習“有理數的加減法”的學生進行了測試。他們對本題的解答情況如下頁表3所示（表中的“算式含義解釋”是學生給出的，不是筆者推測的）?？梢?，學生的結果正確率大概是16%，過程正確率大概是12%。

在為兩所大學數學教育（師范）專業(yè)本科生做教學實踐指導方面的報告的過程中，筆者曾經利用本題做了調查。因為是現場調查，不便了解觀眾的思維過程，所以，只統(tǒng)計了結果正確率。結果，一所學校將近60名師范生的正確率竟然為0，另一所學校將近80名師范生的正確率也不足30%，而兩所學校統(tǒng)算的正確率只有17%。

綜上，解答本題時，教師（在職教師）、師范生（未來教師）和七年級新生的正確率都很低。而絕大部分錯誤都是因為所列算式（所做運算）沒有實際意義（其中有些量不能相加減）。這充分說明了，很多的“有理數的加減法”教學，更多地關注了有理數加減法的法則等純粹數學知識的學習，而忽略了有理數和加減法實際意義的理解，沒有培養(yǎng)學生應用數學知識解決實際問題的能力。

三、對“有理數的加減法”教學的啟示

通過對以上案例的分析，我們不難發(fā)現，“有理數的加減法”的教學，特別要注意幫助學生理解有理數和加減法的實際意義，培養(yǎng)學生應用數學知識解決實際問題的能力。為此，要做好以下幾點：

（一）“正數和負數”的教學：幫助學生體會數學抽象，理解運算對象

有理數的加減法與小學的正數加減法主要的區(qū)別在于引入了“負數”的概念。這就使得學生在理解運算對象，尤其是復雜情境中的運算對象時，容易產生混亂。所以，正負數的概念是有理數加減法的知識起點，要真正學好有理數的加減法必須先學好正負數的概念。

1.注重正負數概念的形成性，幫助學生體會數學抽象

在實際教學中，正負數的概念并未得到應有的重視。不少初中教師因為學生在小學已經學過正負數，所以在教學中一帶而過，使得不少學生只是通過少量特征明顯的實例就抽象出正負數的概念，缺乏從較為復雜的情境中抽象正負數概念的經歷，從而導致在面臨具體問題時，沒有使用正負數解決問題的意識，或不能正確地使用正負數表征問題。事實上，根據筆者事后的訪談，解決本題時，有意識地使用正負數知識的人不到20%，大部分人的解法停留在正數運算層面?？梢姡凇罢龜岛拓摂怠钡慕虒W中，教師不但要揭示概念的形成過程，而且要讓學生參與到概念的生成過程中;既要提供大量正負數的實例讓學生提煉、抽象，還要讓學生舉出（或制造）大量的實例以加深理解。

2.揭示正負數概念的相對性，幫助學生理解運算對象

數學運算素養(yǎng)主要表現為“理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果”。在實際教學中，教師往往對“掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果”關注較多，而對“理解運算對象”關注不夠。表現在上述案例中，就是計算的結果正確，但是所列算式卻不完全正確。在正負數概念的教學中，教師往往只強調正負數的“絕對性”，而忽略正負數的“相對性”。具體到本題中，所謂的“絕對性”是指將“盈利為正”“虧損為負”絕對化地作用于單一對象（如王師傅），缺乏變通理解。所謂的“相對性”是指同一個數據對不同的對象有不同的意義，也就是可以有不同的正負性（如表1中各行所示）。所以，在正負數概念的教學中，教師要通過實例讓學生理解正負數的“絕對性”和“相對性”之間的相互依存關系，幫助學生理解運算對象。

（二）“有理數加減運算法則”的教學：在“同化”與“順應”中促進學生系統(tǒng)理解算理

在“有理數的加減法”的教學中，多數教師都明白小學的正數加減法是有理數加減法的基礎，正數范圍內的運算法則與運算律在有理數范圍內仍然適用，知道用正數的加減法“同化”有理數的加減法，但是，缺少對正數的加減法也符合有理數的加減法所有規(guī)則的“順應”過程的分析。這種只強調“同化”、不強調“順應”的做法，會使學生原有的知識與新學的知識難以銜接，導致學生難以站在更高的角度理解舊知、接受新知，更有甚者會因為只強調“同化”而變得因循守舊、不思創(chuàng)新。所以，在教學過程中，既要用原有的知識“同化”新的問題，更要讓原有的方法“順應”新的情況，保證運算法則前后的一致性。只有這樣，才能使學生對所學運算法則知其然并知其所以然，獲得對運算法則較為系統(tǒng)的理解。最后再提及一點，不少學生在解決相關問題時一律回到小學的正數加減知識和方法上，就是因為“順應”工作沒有做好。

（三）“有理數加減法的應用”的教學：在主客體的變換中幫助學生學會數學建模

教學“有理數加減法的應用”時，教師通常設置單一主體的問題情境。比如，“出租車行駛位置問題”和“出租車油耗問題”，前者只需求代數和，后者只需求絕對值的和，兩者都只要關注一個變量。這種單一主體的問題訓練多了，學生很容易被“套路”，形成套題型的習慣。所以，我們應該設置適當難度的多個主體的問題情境，讓學生在多個主體的轉換中理解同一個數據的不同意義，從而真正理解運算對象，學會選擇合適的主體，建立恰當的數學模型（數量關系），較為便捷地解決問題。

一個典型的例子是：

小明向媽媽借500元錢，向爸爸借500元錢，一共得到1000元。自己買了一雙鞋，花了970元，手頭還有30元;先還媽媽10元，再還爸爸10元，手中還剩10元。這樣，還欠媽媽490元，還欠爸爸490元，欠媽媽和爸爸的錢加起來是980元，加上自己還剩的10元一共是990元。問：還有10元錢哪兒去了？

對于此題，只有厘清了各個數據對應的主體和客體，才能選擇合適的主體進行研究，準確理解每一個數據的意義，賦予每一個數據正確的符號，從而理解問題中的“490+490+10=990”這個算式是沒有實際意義的，其原因是式子的左邊不是同一性質的數據，不可以用絕對值相加。進而知道，本題應該用“個人資產=債務（負數）+債權（正數）+現金（正數）+實物價值（正數）”這個模型來計算。這樣，媽媽的資產是490（債權）+10（現金）=500（元），爸爸的資產也是490（債權）+10（現金）=500（元），也就是說，爸爸和媽媽的資產還是每人500元，一共1000元，只不過是形式發(fā)生了變化，各自有490元從現金變?yōu)榱藗鶛?小明的資產是-490（對媽媽的債務）-490（對爸爸的債務）+10（現金）+970（鞋的價值）=0，也就是說，小明盡管有980元的債務，同時還有10元現金和價值970元的鞋，所以實際資產還是0元，并沒有變化。由此，從每個人的角度看，都不存在資產矛盾，所以，題目所問的“還有10元錢哪兒去了？”是一個不存在的問題。

參考文獻：

[1] 徐小建.例談數學建模素養(yǎng)的落實——以“胡不歸”問題的教學為例[J].中小學教材教學，2019（4）.

[2] 徐小建.基于“數學抽象”素養(yǎng)的函數概念生成教學[J].中小學教材教學，2020（11）.