過程醞釀函數(shù)味道
——“銳角三角函數(shù)”的教學設計及反思

蔡友山

(寧波市第七中學，浙江 寧波 315000)

近期，在圍繞“數(shù)學概念教學”這個主題進行研討時，筆者有幸執(zhí)教了浙教版《數(shù)學》九年級下冊第1.1節(jié)“銳角三角函數(shù)”，由于課前和組內同行對本課進行了充分的研究和思考，課后受到與會教師的一致好評.現(xiàn)將本課的教學研究、教學過程及課后反思整理如下，與各位同行交流.

1 課前研討

筆者從理解數(shù)學、理解學生、理解教學這3個維度著重思考了以下3個問題：

1)相對其他函數(shù)，銳角三角函數(shù)有何特殊性？本節(jié)課教學的重點應放在何處？

2)學生現(xiàn)有基礎如何？他們對銳角三角函數(shù)概念的理解難在哪里？

3)教師對銳角三角函數(shù)概念的教學存在哪些誤區(qū)？應如何實施銳角三角函數(shù)的概念教學？如何突破教學難點？

銳角三角函數(shù)雖然是基本初等函數(shù)，但其相對于一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)又有其自身的特殊性，這種特殊性主要體現(xiàn)在以下3個方面：1)對應關系的特殊性.銳角三角函數(shù)是以銳角為自變量，該角所在直角三角形的兩邊之比為因變量的函數(shù).2)書寫形式的特殊性.與學生此前認識的函數(shù)存在巨大反差.3)在學習弧度制之前，用角度制表示的銳角與它所在的直角三角形的兩邊之比并不是嚴格意義上的“實數(shù)”與“實數(shù)”的對應關系.單從初中階段對函數(shù)的定義來理解銳角三角函數(shù)概念確有一定困難.這種形式與內涵的雙重特殊性使其“函數(shù)”特征十分隱蔽，增加了學生理解的難度.而在實際教學中，有些教師不太重視銳角三角函數(shù)概念的形成過程，從而導致許多學生課后根本不清楚為何把它也稱為“函數(shù)”.如何組織教學？本節(jié)課是一節(jié)概念課，其核心是讓學生經(jīng)歷概念的形成過程和運用過程，在過程中讓學生感悟銳角三角函數(shù)，深化對概念的理解和能力的培養(yǎng).基于此，我們要突破以下4點：一是讓學生發(fā)現(xiàn)這種邊角對應關系具有“函數(shù)”的基本特征，幫助學生理解這種邊角對應關系為什么是函數(shù)關系；二是引導學生對這種函數(shù)關系進行表達；三是利用題組鞏固概念；四是引導學生利用定義嘗試探索其性質.

2 教學設計

2.1 “銳角三角函數(shù)”概念的形成過程

環(huán)節(jié)1創(chuàng)設情境，引入概念.

播放滑雪影片，從中抽象出一個角，針對此情境連續(xù)設問：

圖1 圖2

圖3 圖4

教學說明通過以上4個問題可引導學生發(fā)現(xiàn)：

環(huán)節(jié)2提煉本質，歸納概念.

1)縱向觀察表1中的信息，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

2)橫向觀察表1中的信息，你又能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

表1 直角三角形中銳角α及的值

4)如果是函數(shù)關系，那么誰是自變量？誰是誰的函數(shù)？如何表達這種函數(shù)關系？

環(huán)節(jié)3橫向比較，精致概念.

1)暢所欲言：銳角三角函數(shù)相對我們前面學習的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)有其自身的特殊性，這種特殊性主要體現(xiàn)在哪里？

2)教師介紹：到了高中階段，當銳角擴展到任意角、弧度制取代角度制時，三角函數(shù)是在平面直角坐標系中進行定義的.

教學說明通過“暢所欲言”引導學生橫向比較不同類型的4種函數(shù)，讓學生感悟銳角三角函數(shù)所表示的是直角三角形的邊角關系，正是這種邊角關系讓我們今后解決直角三角形問題更方便、靈活.

通過“教師介紹”讓學生了解三角函數(shù)知識的延續(xù)性和發(fā)展性，激勵學生為今后高中階段學習三角函數(shù)打下堅實的基礎.

2.2 “銳角三角函數(shù)”概念的鞏固過程

利用3個例題鞏固“銳角三角函數(shù)”概念：

例1如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=10，BC=6.求∠A和∠B的正弦、余弦和正切的值.

圖5 圖6

例2如圖6，在5×4的網(wǎng)格中，線段AB，CD相交于點P(點A,B,C,D,E均為小正方形的頂點)，則tan∠DPB的值等于

( )

A.2 B.3 C.4 D.5

例3如圖7，請在6×6的網(wǎng)格中畫出正切值等于3的銳角α(要求：用3種不同的方法，且頂點都在格點上，標出銳角α).

圖7

教學說明通過以上3個例題引導學生分別從定量計算、網(wǎng)格求值和網(wǎng)格作圖3個不同的角度鞏固銳角三角函數(shù)的概念，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力.

2.3 “銳角三角函數(shù)”性質的探究過程

出示以下2個例題，讓學生展開探討：

例4如圖8，在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c.利用銳角三角函數(shù)定義探究以下問題：

圖8 圖9

1)∠A和∠B的三角函數(shù)值之間有什么特殊關系？

2)對于任意一個銳角α，請求出sinα與cosα的取值范圍；

3)對于任意一個銳角α，你能發(fā)現(xiàn)sinα,cosα與tanα之間的關系嗎？

4)對于任意一個銳角α，請計算sin2α+cos2α的值.

例5如圖9，將一根木棒繞著點O從OA1位置順時針旋轉到OA2,OA3位置.請思考以下幾個問題：

1)隨著銳角α的增大，∠α的對邊和鄰邊在做怎樣的變化？

2)結合圖9，探索銳角三角函數(shù)的增減性(填“增大”或“減小”或“不變”)：

正弦值隨銳角α的增大而______；余弦值隨銳角α的增大而______；正切值隨銳角α的增大而______.

3)利用第2)小題中探索的結論比較大小(填“﹥”或“﹤”或“=”)：

sin 23°______sin 65°， cos 76°______cos 43°，

tan 53°______tan 78°.

教學說明通過以上問題引導學生利用銳角三角函數(shù)的定義從定性的角度探索銳角三角函數(shù)的如下性質：

1)若∠A+∠B=90°,則sinA=cosB，cosA=sinB;

2)0

4)正弦值隨銳角α的增大而增大，余弦值隨銳角α的增大而減小，正切值隨銳角α的增大而增大.

2.4 回顧盤點，畫龍點睛

引導學生從知識和思想方法角度回顧本節(jié)課的收獲，教師從函數(shù)的發(fā)展和演變方面對知識進行提升，激發(fā)學生繼續(xù)學習函數(shù)知識的欲望，課堂在學生的暢想和掌聲中結束.

3 教學反思

銳角三角函數(shù)反映的是一個直角三角形的銳角與兩邊之比的對應關系，正是這種特殊的邊角關系使得我們今后解決直角三角形問題更方便、更靈活.同時，也為高中階段學習任意角的三角函數(shù)知識打下了堅實基礎.本節(jié)課著眼于培養(yǎng)學生分析、抽象、概括等能力，注重概念的形成過程，突出銳角三角函數(shù)概念的本質，在過程中醞釀“函數(shù)”味道，這種函數(shù)味主要體現(xiàn)在以下兩個方面：

3.1 注重概念的形成過程，揭示函數(shù)的本質特征

概念教學的核心就是“概括”，即以若干典型事例為載體，引導學生分析各事例的屬性，抽象概括其共同本質屬性，從而歸納獲得數(shù)學概念[1].章建躍博士在數(shù)學核心素養(yǎng)的解讀中強調：從數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考，這是落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關鍵點.要把如何抽象數(shù)學對象、如何發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題作為教學的關鍵任務[2].

鑒于銳角三角函數(shù)概念在形式和內涵上的雙重特殊性和其“函數(shù)”特征的隱蔽性，教師分兩步實施其概念教學：一是通過對含30°、45°、50°這些特殊角的直角三角形的邊角關系進行研究，并引導學生觀察發(fā)現(xiàn)“在直角三角形中，一個銳角所對的直角邊與斜邊之比是隨銳角的大小變化而變化的，當銳角的大小一定時，這個比值也隨之唯一確定.”這突顯的“函數(shù)”特征十分自然地喚醒學生大腦中沉睡的記憶——函數(shù).至此，學生頓悟這種邊角關系就是他們熟悉的函數(shù)關系.二是引導學生對這種函數(shù)關系進行表達.具體分3步實施：嘗試表達、規(guī)范定義、類比推廣.在學生認識到直角三角形的邊角關系存在函數(shù)關系后，教師并沒有急于告訴學生該如何表達這種函數(shù)關系，而是讓學生自己嘗試著表達，在學生渴望表達而又力不從心時，教師適時給出規(guī)范的定義和表達.銳角三角函數(shù)包括正弦、余弦和正切等多種表達形式，在教學時，教師選擇正弦做重點突破，再類比給出其他函數(shù)形式.通過本環(huán)節(jié)教學，銳角三角函數(shù)概念已悄無聲息地植入學生頭腦.

3.2 注重性質的探索過程，再現(xiàn)函數(shù)研究路徑

利用定義和圖像探索性質是研習函數(shù)的必經(jīng)之路.所謂探索重在“探”的過程，即學生在問題的引導下，自主研究，歸納總結，發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，挖掘其內在本質.荷蘭數(shù)學教育家弗賴登塔爾指出：學習數(shù)學的方法是實行“再創(chuàng)造”，也就是由學生本人把要學的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務是引導和幫助學生去實現(xiàn)這種再創(chuàng)造，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生[3].基于此理念，本節(jié)課在整合教材時增加了探索性質這一環(huán)節(jié)，并在此環(huán)節(jié)安排了兩個例題：其中例4讓學生利用定義從定性的角度探索任意銳角的三角函數(shù)值之間的關系，其目的是讓學生自主發(fā)現(xiàn)互余的兩個銳角的三角函數(shù)值之間的關系，理解同一個銳角的三角函數(shù)值之間存在著內在必然的聯(lián)系；例5是從動態(tài)角度探索銳角三角函數(shù)的增減性，讓學生自主發(fā)現(xiàn)銳角三角函數(shù)值的大小隨角的大小變化并不是表面現(xiàn)象，有其內在的規(guī)律.由此可見，選擇這些問題作為探究素材，完全符合學生的現(xiàn)有基礎和認知規(guī)律，這一探索過程也使得本節(jié)課的“函數(shù)”味道更濃.