從知識(shí)點(diǎn)教學(xué)到數(shù)學(xué)大概念教學(xué)的轉(zhuǎn)型
——以“數(shù)列的遞推公式”為例

呂增鋒

(象山縣第二中學(xué),浙江 象山 315731)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多教師首先關(guān)注的是教學(xué)內(nèi)容中有哪些知識(shí)點(diǎn)，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)又包含哪些知識(shí)要素，然后在此基礎(chǔ)上圍繞這些知識(shí)點(diǎn)及其要素開展教學(xué).這種以知識(shí)點(diǎn)為單位，按照其內(nèi)在邏輯關(guān)系逐個(gè)實(shí)施的教學(xué)方式被稱為知識(shí)點(diǎn)教學(xué).從短期看，知識(shí)點(diǎn)教學(xué)對(duì)于知識(shí)點(diǎn)的掌握、數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟具有積極的作用，但從長(zhǎng)遠(yuǎn)看，知識(shí)點(diǎn)教學(xué)根本無(wú)法承擔(dān)發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重任.最近，筆者所在縣舉行了教壇新秀課堂教學(xué)評(píng)比，上課的主題是“數(shù)列的遞推公式”.下面，筆者就結(jié)合本次比賽的課例談?wù)勛约旱囊恍┙虒W(xué)心得.

1 知識(shí)點(diǎn)教學(xué)的弊病

對(duì)于“數(shù)列的遞推公式”這節(jié)課，所有的參賽教師都采用知識(shí)點(diǎn)教學(xué)，而且基本上都是以“求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式”這一知識(shí)點(diǎn)為主線，先對(duì)問題進(jìn)行梳理歸類，再根據(jù)不同類型的問題提出相應(yīng)的解題方法，最后，把所有的題型歸結(jié)為以下幾類情況：

1)累加法：an+1-an=c(n).

3)待定系數(shù)法1：an+1=Aan+B?an+1+λ=A(an+λ).

4)待定系數(shù)法2：an+1=Aan+Bn+C?an+1+λ(n+1)+μ=A(an+λn+μ).

5)特征根與不動(dòng)點(diǎn)法：an+2=pan+1+qan，其特征方程為x2=px+q.若方程有兩個(gè)異根α,β，則

an=c1αn+c2βn；

若方程有二重根，即α=β，則

an=(c1+nc2)αn，

其中c1,c2是待定常數(shù).

由于參賽的課例都是以“求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式”為中心進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的，因此總體上看大同小異，唯一的區(qū)別體現(xiàn)在問題類型的選擇上，有的課涉及的問題類型比較多，有的課著重探究1～2種方法，不僅如此，知識(shí)點(diǎn)教學(xué)固有的弊病也在這些課例中暴露無(wú)遺.

1.1 知識(shí)碎片化

知識(shí)點(diǎn)教學(xué)的基本原理是先把教學(xué)內(nèi)容分割成一個(gè)個(gè)相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)，然后圍繞著如何讓學(xué)生熟練掌握知識(shí)點(diǎn)“做文章”.這種化整為零的做法雖然有助于分散教學(xué)的難度，但無(wú)形中也割裂了知識(shí)之間的聯(lián)系，導(dǎo)致學(xué)生的認(rèn)知碎片化.比如，在“數(shù)列的遞推公式”的教學(xué)中，知識(shí)點(diǎn)教學(xué)讓師生的注意力都集中在如何求通項(xiàng)公式上，而忽視了對(duì)于“遞推公式與數(shù)列的通項(xiàng)公式之間到底存在什么關(guān)系”這個(gè)核心問題的思考.知識(shí)點(diǎn)教學(xué)造成的直接后果就是學(xué)生只會(huì)“求通項(xiàng)”，而不知道“為什么要這樣求”，也就是我們常說(shuō)的“知其然而不知所以然”.

1.2 思維定式化

不能說(shuō)知識(shí)點(diǎn)教學(xué)完全無(wú)視知識(shí)的結(jié)構(gòu)化，但這種結(jié)構(gòu)化只是知識(shí)點(diǎn)之間和知識(shí)點(diǎn)內(nèi)部要素之間的結(jié)構(gòu)化，通過(guò)知識(shí)片段的拼湊與堆積來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)整體的窺探，并非核心觀點(diǎn)的結(jié)構(gòu)化.但在實(shí)際操作中，學(xué)生不僅很難利用這些雜亂無(wú)序的知識(shí)點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的完整建構(gòu)，而且還容易造成思維定式.在上述課例中，看似把所有問題的可能性都羅列出來(lái)了，學(xué)生只要“套用”現(xiàn)成的結(jié)論就行了，但學(xué)生在反復(fù)調(diào)用現(xiàn)成結(jié)論的過(guò)程中很容易產(chǎn)生思維定式，一旦問題的結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，就很難做到從容應(yīng)對(duì).

1.3 學(xué)習(xí)效果短期化

由于知識(shí)點(diǎn)教學(xué)對(duì)于知識(shí)點(diǎn)各要素的學(xué)習(xí)要求缺乏明確的區(qū)分，如果教學(xué)內(nèi)容中的知識(shí)點(diǎn)一多，知識(shí)點(diǎn)教學(xué)就容易陷入細(xì)枝末節(jié)之中，從而使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的認(rèn)知停留在淺層的模仿與記憶上，而無(wú)法觸及方法的本質(zhì)，最終導(dǎo)致教學(xué)效果無(wú)法達(dá)到預(yù)期.在這些課例中，盡管提供了針對(duì)不同類型問題的解題方法，但這些方法要么是學(xué)生已經(jīng)非常熟悉的累加法與累乘法，要么是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出學(xué)生認(rèn)知水平與教學(xué)要求的“特征根與不動(dòng)點(diǎn)法”，至于“待定系數(shù)法”一般也不做直接考查要求，學(xué)生記不記“公式”也不會(huì)影響問題的解決.總而言之，這些方法要么太膚淺了，要么太高深了，要么就是可有可無(wú)的存在，因此，這節(jié)課的真實(shí)意義并不大，而且隨著時(shí)間的推移或者訓(xùn)練量的減少，學(xué)生在知識(shí)點(diǎn)教學(xué)中所獲得的知識(shí)技能很快會(huì)被遺忘.

2 大概念教學(xué)的內(nèi)涵及優(yōu)勢(shì)

大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題，它具有生活價(jià)值[1]，是“居于學(xué)科基本結(jié)構(gòu)的核心概念或若干居于課程核心位置的抽象概念，通過(guò)整合相關(guān)知識(shí)、原理、技能、活動(dòng)等課程內(nèi)容要素，形成的有關(guān)聯(lián)的課程內(nèi)容組塊”[2]；大概念能夠解釋較大范圍內(nèi)的一系列相關(guān)現(xiàn)象、事實(shí)以及相互關(guān)系；能將較大范圍內(nèi)分散的知識(shí)和事實(shí)聯(lián)結(jié)為有結(jié)構(gòu)、有系統(tǒng)的整體；能作為一種解釋模型，賦予個(gè)別的、具體的事實(shí)以深層的意義.

如圖1，按照大概念所在的層級(jí)，由高到低可以被細(xì)分為課程大概念、單元大概念、章節(jié)大概念、課時(shí)大概念.課程大概念處于頂尖位置，其下面的3個(gè)“大概念”相對(duì)于它來(lái)說(shuō)就成了“小概念”或者“次級(jí)概念”；同樣地，課時(shí)大概念、章節(jié)大概念，相對(duì)于單元大概念來(lái)說(shuō)，也是“小概念”“次級(jí)概念”，這也說(shuō)明了大概念的“大”具有相對(duì)性，在每個(gè)層級(jí)中都有處于統(tǒng)攝地位的“大”概念.

圖1

大概念教學(xué)是以大概念為錨點(diǎn)組織教學(xué)的一種方式，具體地說(shuō)，就是先從學(xué)科知識(shí)體系和邏輯結(jié)構(gòu)出發(fā)，提取學(xué)科大概念；然后，圍繞大概念搭建核心觀點(diǎn)框架；最后，將學(xué)科大概念細(xì)化為一個(gè)次級(jí)概念，成為課時(shí)教學(xué)的立意或者主題來(lái)統(tǒng)攝整節(jié)課的教學(xué)，從而實(shí)現(xiàn)提升學(xué)生能力與素養(yǎng)的目的.

“結(jié)構(gòu)”“聯(lián)系”“遷移”是大概念教學(xué)的基本特征，大概念教學(xué)的優(yōu)勢(shì)正是源于對(duì)這3個(gè)關(guān)鍵詞的理解和把握.首先，用大概念統(tǒng)攝與組織教學(xué)內(nèi)容，能夠使離散的事實(shí)、技能相互聯(lián)系、結(jié)構(gòu)化，并被賦予一定意義；其次，大概念教學(xué)強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生超越對(duì)知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)，走向那些超越時(shí)空和情境而存在的、可遷移的觀點(diǎn)和思想[3]，從而促使深度學(xué)習(xí)的發(fā)生；最后，大概念教學(xué)有明晰的學(xué)習(xí)目標(biāo)和有效的表現(xiàn)性任務(wù)，這有利于學(xué)生自主、合作、探究學(xué)習(xí)的開展.在大概念教學(xué)中，教師要成為學(xué)科教學(xué)的專家，不僅要知道教什么，而且還要知道為什么而教；不僅要理解學(xué)生，也要理解設(shè)計(jì)——單元設(shè)計(jì)、活動(dòng)設(shè)計(jì)、問題設(shè)計(jì)等，用自己豐富的專業(yè)知識(shí)引領(lǐng)學(xué)生像專家那樣思考，使學(xué)生也成為學(xué)習(xí)的專家.

3 數(shù)學(xué)大概念教學(xué)的實(shí)踐

3.1 提取大概念，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)

由于大概念具有內(nèi)隱性的特點(diǎn)，不容易被人發(fā)現(xiàn)和理解.因此，在明確教學(xué)主題后，需要站在單元的高度甚至學(xué)科系統(tǒng)的高度對(duì)教學(xué)主題包含的學(xué)科事實(shí)以及相互關(guān)系，進(jìn)行多視角分析，進(jìn)而提煉學(xué)科大概念.大概念一般可以從課程標(biāo)準(zhǔn)、核心素養(yǎng)、專家思維、概念派生、生活價(jià)值、知能目標(biāo)、學(xué)習(xí)難點(diǎn)、評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)這8條路徑進(jìn)行提取，并且大概念的獲得通常都是綜合多條路徑的結(jié)果.

為了獲取“數(shù)列的遞推公式”這個(gè)教學(xué)主題的大概念，就需要站在整個(gè)“數(shù)列”單元的高度對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行剖析.從生活價(jià)值的角度看，數(shù)列的研究源于生產(chǎn)、生活的需要；從課程標(biāo)準(zhǔn)的角度解讀，數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，要用函數(shù)的思想方法來(lái)研究數(shù)列；從學(xué)習(xí)目標(biāo)的角度定位，只要求能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前n項(xiàng)，掌握由一些由簡(jiǎn)單遞推公式求通項(xiàng)公式的方法.

綜合上述分析，一方面，不難發(fā)現(xiàn)比賽課例中以“求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式”為中心的做法確實(shí)偏離了正常的教學(xué)軌道；另一方面，統(tǒng)攝本節(jié)內(nèi)容的課時(shí)大概念也逐步得到明晰，那就是“遞推公式是數(shù)列的一種表示方法”，而本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)就是形成“數(shù)列能夠用遞推公式來(lái)表示”的意識(shí)，發(fā)展學(xué)生“借助遞推公式”來(lái)研究數(shù)列的能力.

3.2 聚焦大概念，形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)

提取大概念后，接下去就要以大概念為主線對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行梳理，調(diào)整前后順序，打破原有的知識(shí)邊界，結(jié)合教師對(duì)學(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)、思維發(fā)展和能力提升的系統(tǒng)考慮和期待，將建構(gòu)大概念所需的知識(shí)打造成一個(gè)聯(lián)系緊密的結(jié)構(gòu)化整體.

雖然“遞推思想”貫穿于整個(gè)數(shù)列單元，包括等差、等比數(shù)列也都是借助遞推公式進(jìn)行定義的，但在教材中，“遞推公式”的概念及簡(jiǎn)單應(yīng)用卻只在“數(shù)列的概念與表示”中有所涉及，內(nèi)容本身顯得非常單薄.因此，若沒有一個(gè)大概念作為支撐，則本節(jié)課的教學(xué)很難有效開展.有了“遞推公式是數(shù)列的一種表示方法”的認(rèn)識(shí)后，就可以從這個(gè)大概念出發(fā)對(duì)相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行整合，形成本節(jié)課的知識(shí)結(jié)構(gòu)，如圖2所示.

圖2

3.3 細(xì)化大概念，設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)流程

在設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)流程時(shí)，一方面要依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)置教學(xué)內(nèi)容的先后順序、認(rèn)識(shí)角度和理解路徑.另一方面由于大概念不是一個(gè)看得見、摸得著的事實(shí)，因此，不可能直接“教”給學(xué)生，需要把大概念細(xì)化為與基本事實(shí)、具體問題、學(xué)生經(jīng)驗(yàn)直接相關(guān)的“小概念”，進(jìn)而設(shè)計(jì)與之相呼應(yīng)、有一定挑戰(zhàn)性的且能夠充分體現(xiàn)綜合性、層次性、關(guān)聯(lián)性、實(shí)踐性的“學(xué)習(xí)任務(wù)”和“驅(qū)動(dòng)性問題”，助力學(xué)生進(jìn)行多視角的學(xué)習(xí)理解、應(yīng)用實(shí)踐和遷移創(chuàng)新.

如圖3，借助“數(shù)列是一類特殊的函數(shù)”這個(gè)單元大概念確定“類比函數(shù)的表示方法”作為本節(jié)課的教學(xué)思路；通過(guò)細(xì)化“遞推公式是數(shù)列的一種表示方法”課時(shí)大概念，可以得到“數(shù)列的遞推公式不唯一”“并非所有的遞推公式都可以求通項(xiàng)公式”“遞推公式具有應(yīng)用價(jià)值”等一系列“小概念”，并以此為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)了本節(jié)課的四大學(xué)習(xí)任務(wù)以及對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

圖3

對(duì)于每個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)中的問題設(shè)計(jì)要求做到層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣、步步深入、由此及彼，不斷地驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思考與學(xué)習(xí)的進(jìn)程.

比如，在任務(wù)2中，為了揭示“數(shù)列的遞推公式不唯一”這一事實(shí)，可以設(shè)計(jì)如下問題：

問題1你能用遞推公式表示等差數(shù)列嗎？

遞推公式為an+1-an=d,2an+1=an+an+2.

問題2若等差數(shù)列an=2n+1，你能寫出它所對(duì)應(yīng)的遞推公式嗎(至少寫出3個(gè))？

問題3對(duì)于一個(gè)數(shù)列來(lái)說(shuō)，它所對(duì)應(yīng)的遞推公式唯一嗎？

不唯一.

問題4數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，能否從函數(shù)的視角分析遞推公式到底是什么？

遞推公式類似于函數(shù)中的抽象函數(shù)關(guān)系.

又比如，在任務(wù)4中，讓學(xué)生在豐富的經(jīng)典數(shù)學(xué)問題情境中體會(huì)遞推思想在揭示問題本質(zhì)及優(yōu)化算法中的作用.

問題5如圖4所示的一系列正方形圖案稱為謝爾賓斯基地毯，在3個(gè)大正方形中，著色的小正方形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an}的前3項(xiàng)，求數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式.

圖4 圖5

提示:先寫出遞推公式a1=1,an+1=8an+1或a1=1,an+1-an=8n.

問題6如圖5，有3根桿子A,B,C，其中桿C上有若干碟子，把所有碟子從桿C上移到桿B上，每次只能移動(dòng)一個(gè)碟子，大的碟子不能疊在小的碟子上面，求最少要移動(dòng)多少次？

提示:當(dāng)桿C上有n-1個(gè)碟子時(shí)，設(shè)總移動(dòng)次數(shù)為an-1次，當(dāng)桿C上有n個(gè)碟子時(shí)，設(shè)總移動(dòng)次數(shù)為an次，那么它們之間滿足遞推關(guān)系a1=1,an=2an-1+1.

問題7假設(shè)一對(duì)剛出生的小兔一個(gè)月后就能長(zhǎng)成大兔，再過(guò)一個(gè)月就能生下一對(duì)小兔，并且此后每個(gè)月都生一對(duì)小兔，一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡，問:一對(duì)剛出生的兔子，一年內(nèi)能繁殖成多少對(duì)兔子?

提示:設(shè)an表示第n個(gè)月的兔子數(shù)，則滿足遞推公式a1=1,an+2=an+an+1.

在“數(shù)列的遞推公式”這節(jié)課中，大概念教學(xué)引領(lǐng)學(xué)生對(duì)遞推公式是什么、為什么、有什么用、怎么學(xué)等一系列問題進(jìn)行了全面的剖析，充分體現(xiàn)了單元教學(xué)的整體性和系統(tǒng)性，能夠?yàn)閷W(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法的掌握形成網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)認(rèn)知，并提供一個(gè)統(tǒng)籌兼顧、整體規(guī)劃的場(chǎng)域[4]，從而實(shí)現(xiàn)課堂的轉(zhuǎn)型與育人模式的轉(zhuǎn)變，這也是大概念教學(xué)的最大優(yōu)勢(shì)之所在.