基于數(shù)學抽象的高中數(shù)學章節(jié)起始課教學設計
——以“空間向量與立體幾何”為例

汪留嶼

(南通中學，江蘇 南通 226001)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《課標》)中指出：高中數(shù)學課程的基本理念是以學生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).其中，數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn).在6個數(shù)學學科核心素養(yǎng)中，數(shù)學抽象是數(shù)學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數(shù)學的本質特征，貫穿在數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展、應用的過程中.可以說，數(shù)學抽象的水平在一定程度上能反映學生數(shù)學核心素養(yǎng)的水平.

目前，對數(shù)學抽象的研究很多，既有挖掘內涵的本質性研究，也有結合課堂的教學實踐.在這些教學實踐中，有人認為數(shù)學抽象的培養(yǎng)主要集中在函數(shù)章節(jié)[1]，也有人認為可以通過解題教學來提升數(shù)學抽象素養(yǎng)[2]，還有人認為數(shù)學實驗對培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)非常有效[3]……可以說，對數(shù)學抽象的教學研究比較分散，具體在某一課型上的系統(tǒng)研究幾乎沒有.這樣的教學縱然能夠展現(xiàn)不同課型下培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的手段與措施，但正由于課型不同，方法不一，教學實踐的相關經(jīng)驗幾乎無法推廣，難以形成有效、系統(tǒng)、統(tǒng)一的教學范例.

數(shù)學知識是體現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體，數(shù)學課堂是落實數(shù)學核心素養(yǎng)的主要陣地[4].隨著新課程改革的不斷推進，各種各樣的課型都應運而生，章節(jié)起始課就是其中之一.章節(jié)起始課，顧名思義，應當是每一章節(jié)的起始課，一般多為概念課.從教學時間上來說，它就是指一個章節(jié)中第一課時的教學；從教學內容上來說，它應當涵蓋章節(jié)起始內容、第一小節(jié)相關知識和本章的知識概況及核心研究方法；從教學結果來看，它必須幫助學生把握知識主線，聯(lián)系已學的舊知，完善知識結構[5].從章節(jié)起始課的內涵中不難發(fā)現(xiàn)，章節(jié)起始課不僅涉及章節(jié)知識的相關背景和主要概念，還體現(xiàn)章節(jié)的核心思想和研究方法.而從情境中抽象出概念、規(guī)則、命題和模型，從過程中抽象出方法、思想、結構和體系，無一不鮮明地表明章節(jié)起始課對培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的獨特價值.因此，章節(jié)起始課可以作為培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的主要陣地.基于此，筆者選擇章節(jié)起始課作為研究對象，以蘇教版高中《數(shù)學(選修2)》“空間向量與立體幾何”章節(jié)為例，試圖通過章節(jié)起始課的教學培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象素養(yǎng)，以期形成一種教學范例.

1 章節(jié)分析

1.1 章節(jié)起始內容分析

無論是哪個版本的教材，在每章都有一個類似的設計，即章節(jié)標題下方有一張圖片——背景圖，之后新的一頁上有一段話——章頭語，還有與內容配套的圖片——章頭圖，蘇教版教材還有與之相應的名人名言.這些內容統(tǒng)稱為章節(jié)起始內容，它們并非指向某一小節(jié)的知識或方法，而是以先行組織者的方式揭示了本章節(jié)的數(shù)學知識及背景來源，滲透了本章節(jié)的研究方法和數(shù)學思想.

“空間向量與立體幾何”章節(jié)的背景圖是蔚藍天空下戰(zhàn)機飛行的場景，從經(jīng)驗的角度，我們可以想象戰(zhàn)機在空中進行轉彎、俯沖、拉伸等動作，這也反映了本章節(jié)要學習的知識和空間有關.章頭圖給出的是吊機吊載物品的場景和空間直角坐標系中的一個向量，吊機在吊載物體時會經(jīng)歷水平和垂直兩個方向的運動，展現(xiàn)了空間運動的分解.空間直角坐標系和向量則鮮明地指出了本章的研究方向——空間向量.

名人名言選用的是華羅庚先生的一句經(jīng)典語錄：“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”這句話可以作為數(shù)形結合思想的文字體現(xiàn)，它向我們展現(xiàn)了數(shù)學學習中數(shù)與形各有特點、相輔相成、缺一不可的情境.這句話不僅表明數(shù)學學習中數(shù)形結合思想的重要性，而且揭示了本章的學習必然.

章頭語包含了兩段文字和兩個問題：在《數(shù)學(必修2)》中，我們學習了平面向量，研究了平面向量的運算、平面向量基本定理及平面向量的坐標表示，運用平面向量知識解決了數(shù)學和物理中的一些問題.

然而，在現(xiàn)實生活中，許多涉及大小和方向的問題不僅出現(xiàn)在平面中，也經(jīng)常出現(xiàn)在空間中，例如吊車吊載物體、飛機降落、火箭發(fā)射……

空間向量是如何進行運算的？怎樣用向量解決空間圖形的相關問題？

第一段文字回憶了已學的平面向量以及相關內容，第二段文字展現(xiàn)了超越平面的問題情境，兩個問題涉及空間向量的運算和應用.總的來說，這些內容先是回憶舊知，建立新知生長點，接著引出新情境，提出問題，引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生的好奇心和興趣，為學生接下來的學習指明方向和重點.

1.2 章節(jié)知識結構分析

“空間向量與立體幾何”章節(jié)包括3個部分內容：空間向量及其運算、空間向量的坐標表示和空間向量的應用.第一部分“空間向量及其運算”包括線性運算、數(shù)量積和共面向量定理這3個小節(jié)，第二部分“空間向量的坐標表示”包括空間向量基本定理及坐標表示這2個小節(jié)，第三部分“空間向量的應用”包括直線的方向向量和平面的法向量、空間線面關系的判定、空間角的計算和空間距離的計算這4個小節(jié).

從空間向量的章節(jié)結構和知識層級中不難發(fā)現(xiàn)：空間向量與平面向量一樣，都涵蓋對自身內涵外延的研究、坐標形式以及相關應用.從整體上來看，空間向量的學習可以把幾何問題轉化為代數(shù)問題，從而溝通了幾何與代數(shù)的聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想.從局部來看，空間向量為處理立體幾何問題提供了全新的視角，能夠有效解決三維空間中圖形的位置關系與度量問題.

根據(jù)章節(jié)起始內容和章節(jié)知識結構，筆者認為在設計章節(jié)起始課教學時應考慮兩點：一是在引入環(huán)節(jié)幫助學生建立新知生長點——平面向量，引導學生用類比的方法得到空間向量及相關知識；二是要啟發(fā)學生思考平面向量與空間向量之間的共性與差異，即什么樣的內容可直接類比，什么樣的內容需要拓展和提升.

2 教學實錄(片段)

環(huán)節(jié)1情境引入，提出問題.

師：同學們，2019年不僅是中華人民共和國成立70周年，也是中國人民解放軍空軍成立70周年.10月份，為了慶祝中國人民解放軍空軍成立70周年，空軍航空大學在吉林長春舉辦了一個大型的航空展，展示了各式各樣的戰(zhàn)機.老師在現(xiàn)場拍了一些視頻，一起來看一下.

(教師PPT展示戰(zhàn)機空中飛行的視頻.)

師：我們看到戰(zhàn)機在天空中進行了各種表演，有直線運動，有水平運動，也有仰沖運動.為了研究方便，不妨從這3個實例中抽象出數(shù)學模型.

師：如果飛機從點O出發(fā)，沿直線飛到點A，如何表示飛機的位移？

圖1 圖2 圖3

師：如果飛機沿直線飛到點A后，拐彎再沿直線飛到點B，如何表示飛機的位移？

師：在平面內，還可以如何表示？

師：用了什么知識？

生4：向量加法三角形法則.

師：如果飛到點B后，最后向上仰沖到終點C.位移如何表示？

師：還可以如何表示？

師：用到了什么知識？

生7：向量加法三角形法則.

師：這里的3個向量在同一平面內嗎？

生8：不在.

問題1空間中如何進行向量加法的運算呢？

師：我們生活在三維空間內，常常會遇到類似的問題，這就需要我們將二維的平面向量推廣到三維，也就是我們今天要學習的“空間向量”.

環(huán)節(jié)2活動探究，建構新知.

師：空間向量是一個新的概念，首先要研究它的什么內容？

生9：定義.

師：那同學們能給空間向量下個定義嗎？

生10：在空間中，既有大小又有方向的量叫做空間向量.

問題2還可以從哪些角度研究空間向量呢？

生11：相關概念、表示方法、線性運算……

師：怎樣想到這些角度的呢？

生12：前面的平面向量是這樣學習的.

師：那我們先來梳理平面向量的相關知識.在平面向量中，我們學習了哪些內容呢？

生13：概念、表示、運算、坐標、應用.

(教師PPT展示平面向量的知識結構.)

師：這節(jié)課我們就重點來研究“概念及表示”與“線性運算”這兩部分內容.請大家回憶一下，我們學過哪些特殊向量?

生14：零向量、單位向量、平行向量(共線向量)、相等向量、相反向量.

師：能夠平移到同一直線上的向量稱為共線向量.

問題3把共線向量推廣到空間，可以得到什么呢？

生15：共面向量——空間中能夠平移到同一平面內的向量.

活動1用兩支筆表示空間中的任意兩個向量，判斷它們是否是共面向量.

(學生上臺，動手演示.)

師：那我們可以得到一個什么結論？

生16：空間中任意兩個向量是共面向量.

師：空間內只要是涉及一個向量或者兩個向量的問題都可以轉化為什么問題？

生17：平面向量問題.

師：也就是說，平面向量中的表示方法以及相關概念都可以直接推廣到空間向量.

(教師PPT展示空間向量的相關概念.)

師：接著來研究平面向量的線性運算，包括哪些內容？

生18：加法三角形法則、加法平行四邊形法則、減法三角形法則、加法交換律、加法結合律、數(shù)乘分配律、向量共線定理.

問題4這些知識能直接推廣到空間向量嗎？

生19：除了加法結合律涉及空間，其他都可以直接推廣.

活動2驗證空間向量加法結合律.

(學生探究，教師投影展示.)

師：這樣我們就把平面向量的概念、表示及線性運算都推廣到了空間向量.

環(huán)節(jié)3總結回顧，建構體系.

師：請同學們總結一下這節(jié)課有哪些收獲？

生20：空間向量的概念、線性運算.

師：我們可以從3個方面來看：從知識概念層面，我們學習了空間向量的有關概念和線性運算；從思想方法層面，這節(jié)課滲透了類比和轉化思想，即類比平面向量得到空間向量的相關概念和結論，將空間向量問題轉化為平面向量來解決；從結構體系層面，我們發(fā)現(xiàn)平面向量是特殊的空間向量，因此空間向量的知識結構可由平面向量推廣得到.

3 教學反思

3.1 關于教學中的3個環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)1包含兩個方面：一是從生活實際中抽象出數(shù)學情境，讓學生意識到數(shù)學源于生活；二是從問題情境中抽象得到空間向量的概念，讓學生體會到空間向量是為解決空間問題服務的.這一環(huán)節(jié)主要讓學生理解空間向量知識的產(chǎn)生背景——生活實際，明確本章的研究目標——空間向量，以及本節(jié)的研究方向——空間向量的運算.

環(huán)節(jié)2包含3個方面：一是學生類比平面向量初步形成空間向量的知識框架；二是類比共線向量得到共面向量，進而將空間中涉及一個向量或兩個向量的問題直接轉化為平面向量來解決；三是類比平面向量驗證空間中的加法結合律.這一環(huán)節(jié)主要是讓學生形成章節(jié)知識框架——空間向量的結構體系，體會數(shù)學思想方法——類比與轉化.

環(huán)節(jié)3主要是師生從知識概念、思想方法和結構體系這3個方面總結課堂內容，深化知識理解.

3.2 關于教學中的2個活動

活動1是讓學生通過動手操作的方式驗證命題——空間中任意兩個向量是共面向量，通過以筆代線的方式將抽象的空間問題轉化為較為具體的實物問題，降低思維難度.本活動通過驗證命題實現(xiàn)將部分簡單的空間問題直接轉化為平面問題來解決，是轉化思想的直接體現(xiàn).

活動2是讓學生類比平面向量探索空間向量加法結合律的驗證方法，通過問題探究、學生展示、教師點評的方式突破本課難點.本活動是推廣線性運算的關鍵步驟，是類比思想的進一步運用.

3.3 章節(jié)起始課中培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)的思考

《課標》指出：抽象是形成科學概念的基本途徑，是從眾多的事物中抽取共同的、本質性的特征，而舍棄其非本質特征的過程.數(shù)學抽象主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學概念和規(guī)則，提出數(shù)學命題和模型，形成數(shù)學方法和思想，認識數(shù)學結構和體系.而章節(jié)起始課作為每一章節(jié)的第一課，既包含了第一課時的概念和命題，又體現(xiàn)了本章節(jié)的核心思想，還可以初步展現(xiàn)章節(jié)的知識結構，可以說能有效展現(xiàn)數(shù)學抽象的各個方面.因此，數(shù)學教師在設計章節(jié)起始課時，可以根據(jù)數(shù)學抽象的具體表現(xiàn)，通過設計教學情境、教學流程和教學活動開展教學，實現(xiàn)數(shù)學抽象的培養(yǎng).

1)設計情境,抽象問題和概念.

數(shù)學概念的形成通常要經(jīng)歷兩種不同層次的抽象過程：第一層次是以數(shù)學外部的事物為對象，經(jīng)過數(shù)學化抽象得到數(shù)學概念；第二層次是以已有的數(shù)學概念為對象，經(jīng)過進一步抽象得到更為抽象的概念.數(shù)學教師在設計章節(jié)起始課時，可以結合章節(jié)起始內容，挖掘章節(jié)知識的生成背景和來龍去脈，據(jù)此設計適合學生的問題情境，引發(fā)認知沖突，在分析問題、解決問題的過程中，抽象出章節(jié)的核心概念，深化對數(shù)學概念的理解.

2)設計流程,抽象結構與命題.

數(shù)學抽象的更高水平是對數(shù)學基本結構和理論體系的抽象.通過這種抽象可以讓人們看清楚數(shù)學知識的發(fā)生和發(fā)展過程、數(shù)學理論體系的完善過程以及不同數(shù)學研究領域的相互聯(lián)系和統(tǒng)一性[6].在章節(jié)起始課的設計中，數(shù)學教師要規(guī)劃好教學流程，先以宏觀視角幫助學生初步建立章節(jié)的知識結構，再從微觀視角逐步驗證結構中的命題、規(guī)則和結論，完善并深化章節(jié)知識體系的建構.

3)設計活動,抽象思想和方法.

數(shù)學思想方法的形成通常蘊涵在數(shù)學概念的抽象過程及數(shù)學問題的解決過程中，它是人們對數(shù)學知識和方法形成的規(guī)律性的理性認識和基本看法[6].可以說，數(shù)學思想方法是更高級別抽象的產(chǎn)物，不同于一般的數(shù)學概念，它的抽象程度更高，需要的教學時間更長，學習難度更大.因此，在章節(jié)起始課的設計與教學中，數(shù)學教師需要根據(jù)章節(jié)知識內容，設計符合學生認識的探究活動，通過問題探究、學生活動的方式，讓學生在活動中感受研究方法的奇妙，體會數(shù)學思想的魅力.

數(shù)學核心素養(yǎng)作為新課程改革深化的重大突破成果，是具有數(shù)學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度和價值觀的綜合體現(xiàn).數(shù)學抽象素養(yǎng)作為六大素養(yǎng)之一，具有獨特、鮮明的特征.如何在課堂上落實核心素養(yǎng)，是當下許多一線教師研究的重點.筆者取其一隅，選擇數(shù)學抽象素養(yǎng)和章節(jié)起始課作為對象，研究如何在章節(jié)起始課落實數(shù)學抽象素養(yǎng).筆者認為要做好以下3點：一是根據(jù)章節(jié)起始內容設計符合學生認知的生活情境和數(shù)學情境，啟發(fā)學生從情境中抽象出關鍵問題和核心概念；二是根據(jù)章節(jié)知識目錄設計教學流程，將章節(jié)知識體系適當融入課堂中，讓學生有效抽象出關鍵命題和知識結構；三是設計適合學生的問題探究和實踐活動，通過探究的方式引發(fā)學生思考，通過活動的方式促進學生產(chǎn)生知識遷移，讓學生在活動中感悟、在探究中發(fā)現(xiàn)，從而逐步完善思想方法的教學.