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    一類導(dǎo)數(shù)壓軸題中雙變量問題的多角度探究

    2022-05-23 00:35:02陶勇勝
    關(guān)鍵詞:證法同理交點(diǎn)

    陶勇勝

    (杭州學(xué)軍中學(xué)海創(chuàng)園校區(qū),浙江 杭州 311121)

    導(dǎo)數(shù)中的不等式問題是近幾年高考?jí)狠S題中的高頻考點(diǎn),其中以導(dǎo)數(shù)不等式為背景的雙變量問題更是熱點(diǎn)和難點(diǎn)[1].由于這一類問題含兩個(gè)變量,其解法眾多且技巧性強(qiáng),常以壓軸題的形式出現(xiàn),對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)有較高的要求.學(xué)生在有限時(shí)間內(nèi)如果選擇方法不當(dāng),那么即使費(fèi)時(shí)、費(fèi)力也很難取得突破,因此此類問題是學(xué)生解題過程中的一個(gè)“痛點(diǎn)”.本文從一道2021年的數(shù)學(xué)高考試題說起,對(duì)導(dǎo)數(shù)不等式中的雙變量問題進(jìn)行多角度探究,以期優(yōu)化解決此類問題的思維策略.

    1 問題呈現(xiàn)

    例1已知函數(shù)f(x)=x(1-lnx).

    1)討論f(x)的單調(diào)性;

    (2021年全國(guó)數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第22題)

    2 解法探究

    1)由題意,得

    當(dāng)00,此時(shí)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,此時(shí)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減.

    由blna-alnb=a-b,得

    x1-x1lnx1=x2-x2lnx2,

    f(x1)=f(x2).

    又f(e)=0,不妨設(shè)0

    要證明不等式2

    2.1 不等式x1+x2>2的證明

    證法1(構(gòu)造對(duì)稱函數(shù))令F(x)=f(1+x)-f(1-x),其中0

    F′(x)=f′(1+x)+f′(1-x)=-ln(1-x2).

    當(dāng)00,從而F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,于是

    F(x)>F(0)=0,

    f(1+x)>f(1-x).

    令x=1-x1,0f(1-x),得

    f(2-x1)>f(x1),

    f(2-x1)>f(x2).

    又因?yàn)閒(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,且x2>1,2-x1>1,所以

    x2>2-x1,

    x1+x2>2.

    當(dāng)0

    F(x)>F(1)=0,

    即當(dāng)0

    兩式相減,可得

    從而

    x1+x2>2.

    2.2 不等式x1+x2

    證法1(不等式放縮)因?yàn)?0,得

    f(x1)=x1-x1lnx1>x1,

    于是x1+x2

    令G(x)=2x-xlnx,其中1

    G′(x)=1-lnx,

    當(dāng)10,從而G(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,于是

    G(x)

    x1+x2

    評(píng)注在證明不等式x1+x2x1放縮和已知條件f(x1)=f(x2),將雙變量問題轉(zhuǎn)化為含單變量x2的函數(shù)的最值問題.

    證法2(不等式放縮)先證明:當(dāng)x>0且x≠1時(shí),lnx

    設(shè)G(x)=lnx-x+1,則

    當(dāng)00,當(dāng)x>1時(shí),G′(x)<0,從而

    G(x)

    即當(dāng)x>0且x≠1時(shí),

    lnx

    因?yàn)?0,于是

    f(x1)=x1-x1lnx1>x1.

    所以

    f(x1)-f(x2)>x1-(e-x2),

    從而

    x1+x2-e<0,

    x1+x2

    從結(jié)論入手運(yùn)用分析法證明不等式,此思路簡(jiǎn)潔清晰,較為自然.在切線視角下進(jìn)行放縮求解,是證明不等式的重要方法.

    證法3(構(gòu)造函數(shù))令G(x)=f(x)-f(e-x),其中0

    G′(x)=f′(x)+f′(e-x)=-ln(-x2+ex).

    因?yàn)楹瘮?shù)y=-x2+ex在(0,1)上單調(diào)遞增,所以G′(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.又因?yàn)?/p>

    G′(1)=-ln(e-1)<0,

    所以G′(x)在(0,1)上存在唯一零點(diǎn)x0,使得

    且當(dāng)00,當(dāng)x0

    G(x)max=G(x0)=f(x0)-f(e-x0)

    由0

    G(x)max>0,

    G(x)>0,

    f(x)>f(e-x).

    由第1)小題可知,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增且0

    f(x1)>f(e-x1),

    從而

    f(x2)>f(e-x1).

    又因?yàn)閒(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減且x2>1,e-x1>1,所以

    x2

    x1+x2

    評(píng)注在證明不等式x1+x2

    f(e-x1)

    f(e-x1)

    因?yàn)閒(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減且x2>1,e-x1>1,所以

    x2

    x1+x2

    證法5(構(gòu)造函數(shù))由f(x1)=f(x2),得

    x1-x1lnx1=x2-x2lnx2,

    要證明x1+x2

    即證

    令h(x)=x2-exlnx,則

    h(x)-f(x)=x(x-1+lnx-elnx),

    設(shè)m(x)=x-1+lnx-elnx,則

    當(dāng)0e-1時(shí),m′(x)>0,從而m(x)在(0,e-1)上單調(diào)遞減,在(e-1,+∞)上單調(diào)遞增.由于m(1)=0且m(e)=0,因此當(dāng)0f(x),當(dāng)1

    h(x2)

    評(píng)注此證法中構(gòu)造的函數(shù)h(x)=x2-exlnx在(0,+∞)上不是單調(diào)函數(shù),無法直接利用函數(shù)的單調(diào)性證明h(x2)f(x),當(dāng)1

    3 幾何背景探究

    對(duì)于雙變量不等式的證明,無論是構(gòu)造函數(shù)還是不等式放縮,其本質(zhì)都是從數(shù)形結(jié)合角度去直觀理解,用割線、切線代替曲線,用曲線代替曲線,簡(jiǎn)稱“以直代曲,以曲代曲”.以本題為例,對(duì)于不等式x1+x2>2,構(gòu)造與函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱的函數(shù)y=f(2-x),以曲線y=f(2-x)代替曲線y=f(x).下面給出證明過程:

    設(shè)f(x1)=f(x2)=t,函數(shù)y=t與y=f(x),y=f(2-x)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x2,x3,由y=f(x)與y=f(2-x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱,知

    x3+x2=2.

    令F(x)=f(x)-f(2-x),其中0

    F′(x)=f′(x)+f′(2-x)=-ln(-x2+2x).

    當(dāng)00,從而F(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,因此

    F(x)

    從而

    f(x)

    f(x1)

    由f(x1)=f(2-x3),得 2-x3>2-x1,因此x1>x3,故

    x1+x2>x3+x2=2.

    圖1

    y=-x+e.

    設(shè)f(x1)=f(x2)=t,直線y=x與直線y=t的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x3,直線y=-x+e與直線y=t的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x4,則

    x3=t,x4=e-t.

    由證法1可知,當(dāng)1

    f(x)+x

    f(x2)+x2

    由于f(x2)=t,從而

    x2

    x2

    同理可得

    x1

    x1+x2

    評(píng)注在求解x1+x2x.結(jié)合函數(shù)圖像來看,y=x恰好是經(jīng)過原點(diǎn)(0,0)和極值點(diǎn)(1,1)的直線,暗示可構(gòu)造割線y=x.另外,根據(jù)直線y=x與直線y=t的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x3=t,要證明不等式x1+x2

    4 進(jìn)一步探究

    如果求解方程f(x)=t的實(shí)根x1,x2十分困難,那么巧妙借助割線和切線,以直代曲,以曲代曲,將難以求解的曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo),這顯然有利于學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法的提升和對(duì)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的本質(zhì)理解.因此,構(gòu)造直線或曲線來以直代曲、以曲代曲可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、簡(jiǎn)化解題過程的效果,不失為解決不等式證明問題的有效方法.其中二次函數(shù)的圖像是我們熟知的拋物線,根據(jù)這一思路,是否可以構(gòu)造二次函數(shù)曲線去代替曲線?

    圖2 圖3

    當(dāng)x>1時(shí),則F″(x)<0,當(dāng)x<1時(shí),F(xiàn)″(x)>0,從而F′(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.又因?yàn)镕(1)=0,F(xiàn)′(1)=0,所以當(dāng)x>1時(shí),

    F′(x)

    即F(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,從而

    F(x)

    因此,當(dāng)x>1時(shí),

    h(x)

    可得

    x4

    同理

    x3

    又因?yàn)閤3+x4=2,所以

    x1+x2>x3+x4=2.

    易知當(dāng)x∈(0,e-1)時(shí),p(x)在(0,e-1)上單調(diào)遞增,當(dāng)x∈(e-1,e)時(shí),p(x)在(e-1,e)上單調(diào)遞減.注意到G(1)=0,G(e)=0,且p(1)=0,故當(dāng)x∈(0,1)時(shí),G(x)<0,從而g(x)0,從而g(x)>f(x).因此,當(dāng)0

    5 規(guī)律提煉與應(yīng)用

    設(shè)x0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),且方程f(x)=t有兩個(gè)實(shí)根x1,x2,由于上述函數(shù)f(x)圖像的極值點(diǎn)x0左右增減速度不一致,導(dǎo)致函數(shù)f(x)的圖像不具有對(duì)稱性,此時(shí)構(gòu)造具有對(duì)稱性的二次函數(shù)g(x),使得方程g(x)=t的兩個(gè)實(shí)根x3,x4滿足x1>x4(或x4>x1),x2>x3(或x3>x2),且x3+x4=m(或n),則x1+x2>x3+x4=m(或x1+x2

    ①求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)坐標(biāo)(x0,f(x0));

    ②構(gòu)造二次函數(shù)頂點(diǎn)式g(x)=a(x-x0)2+f(x0);

    ③令F(x)=g(x)-f(x),利用F″(x)=0,求出系數(shù)a;

    ④判斷函數(shù)F(x)=g(x)-f(x)在各區(qū)間的正負(fù),得到g(x1)>g(x2)或g(x1)

    ⑤根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性,得到x1+x2>m或x1+x2

    1)不含參數(shù)類型.

    (2010年天津市數(shù)學(xué)高考卷第21題)

    這是一道極值點(diǎn)偏移的經(jīng)典題,諸如對(duì)數(shù)平均不等式、構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)、齊次法等方法可用于求解[1-5].下面利用構(gòu)造二次函數(shù)以曲代曲的方法進(jìn)行研究:

    圖4

    從而

    于是

    當(dāng)x>1時(shí),F(xiàn)″(x)<0,當(dāng)x<1時(shí),F(xiàn)″(x)>0,從而F′(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.因?yàn)镕(1)=0,F(xiàn)′(1)=0,所以當(dāng)x>1時(shí),F(xiàn)′(x)1時(shí),h(x)x3+x4=2.

    2)含參數(shù)類型.

    例3已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

    1)求a的取值范圍;

    2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2<2.

    (2016年全國(guó)數(shù)學(xué)高考Ⅰ卷第21題)

    證明1)a>0,過程略.

    如圖5,仿例2可證,當(dāng)x>1時(shí),h(x)>g(x);當(dāng)x<1時(shí),h(x)

    圖5

    由于x1<1

    f(x1)

    同理可得

    f(x2)>g(x2)+a(x2-1)2.

    因?yàn)閒(x1)=f(x2),所以

    g(x1)+a(x1-1)2>g(x2)+a(x2-1)2,

    化簡(jiǎn),得

    因?yàn)閤2>x1,且a>0,所以x1+x2<2.

    6 結(jié)束語(yǔ)

    總之,雙變量不等式的證明是考查導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要抓手.處理此類問題應(yīng)重視直觀,數(shù)形結(jié)合,突出本質(zhì),關(guān)注過程,通過歸納通性通法可以讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟問題的本質(zhì),掌握解決問題的一般方法和規(guī)律,體會(huì)其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想.

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