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    理解與遷移:“數(shù)的運算”板塊教學(xué)思考與實踐

    2022-04-29 00:44:03鄭志霞
    教育視界(智慧教學(xué)) 2022年2期
    關(guān)鍵詞:數(shù)的運算

    摘 要:從教材和學(xué)情出發(fā),對“數(shù)的運算”板塊進行分析后發(fā)現(xiàn),某些單元或課時在教學(xué)中具有統(tǒng)攝作用。因此,在教學(xué)這部分關(guān)鍵課時、關(guān)鍵單元時,可嘗試以“理解與遷移”為導(dǎo)向,通過課堂實踐提煉基本課型,如算理理解課、算法形成課、運算技巧課、規(guī)律探索課、簡便計算課等,展開單元整體教學(xué),為計算教學(xué)提供可行性參考。

    關(guān)鍵詞:理解與遷移;數(shù)的運算;乘法運算;基本課型

    為了更有效地教學(xué),我們系統(tǒng)梳理了人教版教材“數(shù)的運算”板塊,分析了12冊教材中的29個運算單元后發(fā)現(xiàn),有些單元或例題的算理相同、算法相似;有些單元例題提供了豐富的學(xué)習(xí)材料,可以幫助學(xué)生形成算法;還有些單元例題是計算程序的教學(xué)等。顯然,教材在編排不同的計算內(nèi)容時并不是千篇一律的,而是各有側(cè)重,有些著力于算理的理解,有些注重算法的形成。那么,計算教學(xué)中是否存在一些關(guān)鍵單元或關(guān)鍵課時,對算理的理解具有核心作用,且有助于學(xué)生遷移應(yīng)用?我們該如何開展這些內(nèi)容的教學(xué),幫助學(xué)生更好地實現(xiàn)遷移呢?

    帶著這一思考,我們對人教版教材中的7個乘法單元、7個除法單元、12個加減法單元和3個混合運算單元做了進一步分析,試圖尋找每種運算教學(xué)中的關(guān)鍵單元或課時,并開展深入研究與課堂實踐。本文以乘法內(nèi)容為例,闡述我們在“理解與遷移”導(dǎo)向下的教學(xué)思考和實踐。

    一、基于“理解與遷移”,定位關(guān)鍵單元

    所謂理解與遷移,指的是學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上,將知識、方法或思維方式等遷移到新知的學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生了變化,更加注重學(xué)生的自主性和主體性。具體到計算單元教學(xué)中,就是將計算的本質(zhì)理解到位,然后在同類型運算中能夠靈活遷移應(yīng)用,解決新問題。在教材整理的基礎(chǔ)上,我們對乘法內(nèi)容所在的6冊教材從單元主題、例題編排、材料背景等多個維度進行了深入分析,梳理了各單元的主要知識點(如表1),從學(xué)科邏輯和學(xué)生視角兩個維度定位關(guān)鍵單元,認(rèn)為整數(shù)乘法部分的關(guān)鍵單元是《多位數(shù)乘一位數(shù)》:從教材編排來看,《多位數(shù)乘一位數(shù)》單元實現(xiàn)了從表內(nèi)乘法到乘法豎式教學(xué)的飛躍,對后續(xù)乘法運算教學(xué)具有重要意義;而從學(xué)情來看,多位數(shù)乘一位數(shù)是實現(xiàn)“理解與遷移”的源頭。小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法的關(guān)鍵單元是《分?jǐn)?shù)乘法》:從數(shù)的意義來說,分?jǐn)?shù)乘法的算理能夠遷移至小數(shù)乘法;從運算的意義來說,分?jǐn)?shù)乘法意義的理解是對小數(shù)乘法的有益補充。

    (一)將《多位數(shù)乘一位數(shù)》設(shè)為關(guān)鍵單元的原因分析

    1.其算理能夠遷移至后續(xù)筆算乘法

    《多位數(shù)乘一位數(shù)》單元是筆算乘法的起始單元,對筆算乘法算理理解具有“開啟”的意義和遷移作用,教學(xué)的核心目標(biāo)是在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法。小學(xué)數(shù)學(xué)中,數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的核心概念是計數(shù)單位的累積,乘法教學(xué)也應(yīng)以此為關(guān)鍵。《表內(nèi)乘法》是乘法教學(xué)的基礎(chǔ),詮釋乘法的意義;《兩位數(shù)乘一位數(shù)》則是乘法運算教學(xué)的核心,幫助學(xué)生從乘法口訣過渡到一般乘法。“把兩位數(shù)拆分為整十?dāng)?shù)和一位數(shù),通過計數(shù)單位的累加求出得數(shù)。”當(dāng)學(xué)生深刻理解了這一算理,就可以繼續(xù)依托數(shù)的意義和運算的意義,遷移學(xué)習(xí)三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)等乘法內(nèi)容。

    同一種運算,一般都是從簡單程序(參與運算的兩個量的位數(shù)比較少)入手,逐漸轉(zhuǎn)向復(fù)雜程序的教學(xué)。從簡單程序到復(fù)雜程序,通常算理是相同的,因而學(xué)生在學(xué)習(xí)這一系列內(nèi)容時,若能將關(guān)鍵課時的算理理解透徹,隨后在其他復(fù)雜程序?qū)W習(xí)過程中則可以進行遷移應(yīng)用。多位數(shù)乘一位數(shù)既是筆算乘法的關(guān)鍵單元,也屬于簡單程序。乘法運算的教學(xué)先將兩位數(shù)乘一位數(shù)的豎式結(jié)構(gòu)由兩層簡化為一層,再將算理遷移應(yīng)用于三位數(shù)乘一位數(shù)筆算。以123×13為例,乘法運算的學(xué)習(xí)過程如圖1所示。隨著乘數(shù)位數(shù)的增加,運算程序略顯復(fù)雜,因此,還需重點解決“連續(xù)進位”這一難點。兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算則是通過拆分計數(shù)單位,使學(xué)生經(jīng)歷兩次兩位數(shù)乘一位數(shù)的過程,再相加,這其實是運算程序疊加的過程。如“12×13”,先算“3×12”,再算“10×12”,然后將乘得的結(jié)果相加。

    2.其內(nèi)容是理解乘法算法的基石

    為了解學(xué)生的學(xué)情基礎(chǔ)和能力儲備,我們在學(xué)習(xí)整數(shù)乘法的三個階段,對從6個班級隨機抽取的50位學(xué)生進行了前測,前測內(nèi)容如表2。

    我們分別從計算的正確率和算理理解兩個維度統(tǒng)計了數(shù)據(jù),根據(jù)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn):學(xué)生對于多位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算,正確率均高于80%,但對算理的理解并不理想,尤其在《多位數(shù)乘一位數(shù)》單元的前測中,學(xué)生對于“15×3”這樣需要進位的乘法算理的理解是模糊的,存在一定的認(rèn)知障礙。這不僅是本單元,也是整個乘法運算教學(xué)需要解決的難點。

    不同的運算內(nèi)容,學(xué)生對算理的理解程度也存在差異。如《多位數(shù)乘一位數(shù)》單元的前測中,半數(shù)以上的學(xué)生只會計算但不明晰算理,而在《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》和《三位數(shù)乘兩位數(shù)》單元的前測中,會計算的學(xué)生人數(shù)和理解算理的人數(shù)接近。

    分析后我們發(fā)現(xiàn),這可能與學(xué)生在學(xué)習(xí)《多位數(shù)乘一位數(shù)》單元時,能否理解筆算乘法的算理,并主動將其遷移應(yīng)用于后續(xù)學(xué)習(xí)中有關(guān)。

    學(xué)生已有的知識技能和思想是學(xué)習(xí)新知識、掌握新技能、形成新方法的肥沃土壤。在這一成長點之上,學(xué)生可順利地在新舊知識之間建立聯(lián)系、體會新知的本質(zhì)內(nèi)涵,甚至進一步實現(xiàn)更高階的思維積累。例如,前測中,學(xué)生能將三位數(shù)乘兩位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘一位數(shù)的算理聯(lián)系起來,主動應(yīng)用“計數(shù)單位的乘加”這一核心知識,推動活動經(jīng)驗的遷移。當(dāng)學(xué)生不能用現(xiàn)成的知識來解決新問題時,往往會自發(fā)地進行畫一畫、圈一圈等操作活動來嘗試解決問題,而這樣的活動經(jīng)驗學(xué)生在初次理解同類計算原理的時候(即學(xué)習(xí)“多位數(shù)乘一位數(shù)”時)有過充分體驗,因此在后續(xù)學(xué)習(xí)中能夠幫助學(xué)生更好地遷移運用、理解算理。例如,第二次前測中,就有6位學(xué)生通過點子圖來計算14×12,說明學(xué)生可以借助以往的活動經(jīng)驗來學(xué)習(xí)新知。

    可見,整數(shù)乘法運算中,學(xué)生的認(rèn)知難點在于對多位數(shù)乘一位數(shù)的算理理解,教學(xué)中一旦突破了這一難點,他們就能夠在理解的基礎(chǔ)上將算理遷移應(yīng)用于同類型的內(nèi)容學(xué)習(xí)中,且越往后,遷移能力的作用越明顯,這也從側(cè)面說明了,學(xué)生在新知學(xué)習(xí)時是具備選擇合適的方法靈活遷移應(yīng)用的能力的。

    (二)《分?jǐn)?shù)乘法》設(shè)為關(guān)鍵單元的原因分析

    算理和算法的教學(xué)都離不開對數(shù)的意義和運算意義的理解,換言之,數(shù)的意義和運算的意義是算理理解的重要基礎(chǔ)。通過分析、研討人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊《小數(shù)乘法》單元和六年級上冊《分?jǐn)?shù)乘法》單元,我們發(fā)現(xiàn):《小數(shù)乘法》單元側(cè)重算法的學(xué)習(xí),《分?jǐn)?shù)乘法》單元則側(cè)重算理的理解,而小數(shù)乘法與分?jǐn)?shù)乘法在本質(zhì)上是相通的,因此可以將《分?jǐn)?shù)乘法》設(shè)為這部分的關(guān)鍵單元。

    1.其算理能夠遷移至小數(shù)乘法

    小數(shù)是分?jǐn)?shù)的特殊形式,只要學(xué)生深入理解了分?jǐn)?shù)乘法的意義,就能夠很容易地將小數(shù)轉(zhuǎn)化成分母是10、100、1000……的分?jǐn)?shù),然后用分?jǐn)?shù)乘法的算理解釋小數(shù)乘法。因此,在分?jǐn)?shù)乘法的教學(xué)中,需要突破的就是“新計數(shù)單位的產(chǎn)生”這一難點。

    2.其內(nèi)容是理解小數(shù)乘法的有益補充

    人教版教材將小數(shù)乘法分為兩個部分教學(xué):小數(shù)乘法計算和解決問題。其中,計算部分的教學(xué)分為三個層次:小數(shù)乘整數(shù)、小數(shù)乘小數(shù)、認(rèn)識小數(shù)倍,側(cè)重用積的變化規(guī)律幫助學(xué)生將整數(shù)乘法的經(jīng)驗遷移到小數(shù)乘法中。這樣編排有一定的道理,卻弱化了小數(shù)乘法的意義及算理。例如,教材編排小數(shù)乘小數(shù)時采用面積情境,根據(jù)“面積=長×寬,所以用乘法計算”這一邏輯展開教學(xué),回避了小數(shù)乘小數(shù)本身的乘法意義,依托積的變化規(guī)律展開教學(xué),更側(cè)重于算法的掌握,并沒有深入剖析小數(shù)乘小數(shù)的算理?!斗?jǐn)?shù)乘法》的編排比《小數(shù)乘法》更側(cè)重于算理的理解,注重用分?jǐn)?shù)和乘法的意義來詮釋算理,有助于學(xué)生從本質(zhì)上去理解分?jǐn)?shù)乘法的算理。即使學(xué)生在《小數(shù)乘法》單元沒有深入探究算理,在《分?jǐn)?shù)乘法》單元也可以通過回顧或類推的方式幫助他們將算理遷移應(yīng)用于小數(shù)乘法。因此,將《分?jǐn)?shù)乘法》設(shè)為關(guān)鍵單元是合適的。

    二、立足“理解與遷移”,提煉并應(yīng)用計算教學(xué)課型

    基于以上分析,我們試圖以“理解與遷移”為導(dǎo)向,在計算教學(xué)中開展實踐研究,在落實單元整體教學(xué)的過程中,形成可行性對策,從不同角度進行了實踐嘗試,提煉了幾種典型課型,并形成范式。

    (一)不同課型的內(nèi)涵和價值追求

    我們將計算教學(xué)的課型分為5類,算理理解課、算法形成課、運算技巧課、規(guī)律探討課和簡便運算課。其中,算理理解課是各類課型的重要基礎(chǔ),主要解決為什么這樣算的問題;算法形成課依托算理理解,旨在提煉計算的一般程序,解決怎樣算的一般算法問題;運算技巧課側(cè)重于計算的精巧性;規(guī)律探討課主要引導(dǎo)學(xué)生感悟運算的意義;簡便運算課則根據(jù)運算規(guī)則和數(shù)據(jù)特征體會運算的簡便性。算理理解課主要解決“理”,指向思維層面,其他四者都是關(guān)于“法”,指向運算技能。通過對不同課型的研究實踐,在明理知法的基礎(chǔ)上,學(xué)生可更好地將其進行遷移運用。

    1.算理理解課:重視橫向?qū)Ρ?,揭示運算本質(zhì)

    算理理解課側(cè)重研究“數(shù)”的意義和“運算”的意義,這些是學(xué)生正確計算的前提,一般在單元起始課中教學(xué)。大部分學(xué)生在課前雖然能夠正確計算,但不明白算理,也有些學(xué)生對算理和算法都是模糊的,不論哪種學(xué)情,核心問題都是算理理解的問題。因此,算理理解課首先需以“任務(wù)驅(qū)動”的方式引導(dǎo)學(xué)生嘗試計算,并借助多種學(xué)習(xí)材料解釋為什么這樣算,在交流反饋中引導(dǎo)學(xué)生橫向?qū)Ρ?,探尋多種方法之間的關(guān)聯(lián),在求同、求異的過程中溝通運算本質(zhì)、深化對算理的理解,便于遷移運用。

    2.算法形成課:明確計算方法,熟練一般步驟

    算法形成課旨在幫助學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上總結(jié)算法,是算理理解課的延續(xù)和補充,側(cè)重形成一般的、較為簡潔的計算方法。學(xué)生在理解算理后形成的計算方法可能是多樣的,雖然能確保計算結(jié)果的正確性,但是否每種方法都是精簡的,甚至是精巧的,需要在一定題量的計算、對比、分析中逐漸感悟和優(yōu)化,并形成一般步驟。因此,算法形成課需精選單元典型題目讓學(xué)生獨立計算,并在交流算法的過程中通過對比、理解、感悟等,優(yōu)化形成最具一般性的算法,提煉一般計算步驟或程序,使其更具可遷移性和普遍應(yīng)用價值。

    3.運算技巧課:豐富運算技巧,提高計算能力

    運算技巧課立足熟練計算,側(cè)重計算過程的精巧性,旨在提高學(xué)生計算的速度和正確率,對發(fā)展學(xué)生數(shù)感、豐富計算技能、提高計算能力具有十分重要的作用。教學(xué)時需精心設(shè)計學(xué)習(xí)材料,有意識地挖掘練習(xí)或課本外的相關(guān)內(nèi)容,重組后形成題組或變式,放大學(xué)習(xí)背景,拓寬思維視野,使學(xué)習(xí)更具挑戰(zhàn)性。因此,運算技巧課可以從數(shù)的特征和運算的關(guān)系、規(guī)律等入手,以獨特的學(xué)習(xí)材料引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用運算的技巧和規(guī)律,進一步優(yōu)化算法、總結(jié)技巧并遷移運用,從而將某些帶有數(shù)據(jù)特點的計算問題變得簡單。

    4.規(guī)律探討課:放大探究過程,感悟運算意義

    規(guī)律探討課的教學(xué)重點應(yīng)從“知曉規(guī)律,應(yīng)用規(guī)律計算”轉(zhuǎn)變?yōu)椤疤骄恳?guī)律,感悟運算意義”,不僅要幫助學(xué)生達成知識與技能目標(biāo),更要著力于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力,提升其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此,規(guī)律探討課需以探尋規(guī)律為學(xué)習(xí)任務(wù),組織學(xué)生猜想規(guī)律并計算驗證,在觀察、思考、嘗試、驗證一系列活動中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,感悟運算的意義。探究能力提高了,運算意義理解更深刻了,才能更有效地實現(xiàn)遷移運用。

    5.簡便計算課:結(jié)合運算定律,培養(yǎng)簡算意識

    簡便計算課旨在幫助學(xué)生學(xué)會巧妙運用四則運算規(guī)則和運算定律等,簡化運算過程,提高運算的正確率和精巧性,形成一定計算范式。化簡運算的過程離不開對算式意義的理解和數(shù)的意義的理解,因此,簡便計算課需要讓學(xué)生通過靈活遷移運用運算定律、積(商)的變化規(guī)律、拆數(shù)等方法實現(xiàn)簡算目的,培養(yǎng)簡算意識,并逐漸形成用簡便方法計算的能力。

    (二)不同課型在乘法內(nèi)容的教學(xué)中的應(yīng)用

    人教版小學(xué)階段涉及乘法的單元共有7個,這些單元分布在二至六年級的不同階段,從教材編排看,這部分內(nèi)容呈離散狀態(tài),但從知識邏輯來看,這些內(nèi)容前沿后聯(lián)、關(guān)系緊密,具有連續(xù)性,其算理與算法具有較大共同性和遷移性。因此,我們在實踐過程中采取不同的課型教學(xué)這些單元的典型課例,具體安排如表3所示。

    下面以整數(shù)乘法關(guān)鍵單元《多位數(shù)乘一位數(shù)》為例,結(jié)合一些課例具體介紹該單元的基本課型。

    1.算理理解課:《兩位數(shù)乘一位數(shù)》

    無論從前測還是課堂反饋上來看,學(xué)生對于不進位乘法的算理和算法沒有困難,且從進位乘法切入教學(xué),更具一般性,更利于學(xué)生體驗豎式的價值,因此,《兩位數(shù)乘一位數(shù)》一課的第一個教學(xué)環(huán)節(jié)直接讓學(xué)生計算進位乘法。學(xué)生在自主探究計算方法的基礎(chǔ)上進行交流與反饋。然后,教師追問:“這些方法之間有聯(lián)系嗎?”引導(dǎo)學(xué)生從整體上研究所有方法,發(fā)現(xiàn)多種方法之間的關(guān)聯(lián),最終內(nèi)化算理,促進算理的遷移運用。再通過對比、思辨和討論,體會一層豎式的簡潔和普適性,而兩層豎式則更加清晰地還原了計算的過程,從而進一步內(nèi)化算理。具體教學(xué)環(huán)節(jié)詳見表4。

    2.算法形成課:《乘數(shù)中有0的乘法》

    本課以乘數(shù)中有0的乘法為載體,結(jié)合乘法的意義和多位數(shù)乘一位數(shù)的算理,讓學(xué)生經(jīng)歷探索乘積中的0產(chǎn)生的三種途徑,掌握0在乘數(shù)中間和末尾時的筆算方法,在思考與實踐中感受當(dāng)乘數(shù)末尾是0時,積的末尾也一定是0,而當(dāng)0在中間時,乘積里不一定有0。具體教學(xué)環(huán)節(jié)詳見表5。

    3.運算技巧課:《乘法算式謎》

    《乘法算式迷》一課為本單元的運算技巧課,具體教學(xué)環(huán)節(jié)、目標(biāo)與學(xué)習(xí)材料如表6。本課沒有完全按照教材編排的內(nèi)容教學(xué),而是設(shè)置了“嘗試獨立解決數(shù)字謎”“改變數(shù)字謎”和“自創(chuàng)數(shù)字謎”三個任務(wù),逐步推進教學(xué)過程,通過開放的學(xué)習(xí)材料,有挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)任務(wù),開拓學(xué)生的思維空間。反饋時緊緊抓住課堂生成,引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)位或整體觀察的角度去尋找突破口,感受豎式各部分的內(nèi)在聯(lián)系,經(jīng)歷用所學(xué)的運算法則進行邏輯推理的過程,初步掌握乘法豎式數(shù)字謎的一般方法,為后續(xù)改編和自創(chuàng)數(shù)字謎提供思維支撐。在改編、思考、辨析和自創(chuàng)的過程中深化學(xué)生對數(shù)字謎的理解,進一步感受豎式中各部分的內(nèi)在聯(lián)系,在遷移運用中鞏固學(xué)生的計算技能,豐富運算技巧,培養(yǎng)邏輯推理能力。

    《多位數(shù)乘一位數(shù)》單元中沒有提到的規(guī)律探尋課和簡便運算課在其他單元中也有應(yīng)用,就不再一一列舉。從領(lǐng)域視角看,五種課型前后銜接、互聯(lián)互補;從單元視角看,五種類型未必在某個單元中都存在,需根據(jù)內(nèi)容靈活取舍,但不管是以怎樣的形式開展,最重要的導(dǎo)向始終是讓學(xué)生在意義理解的基礎(chǔ)上實現(xiàn)自主遷移。我們通過提煉這幾類課型開展單元整體教學(xué),既是為了重組單元內(nèi)容,充分發(fā)揮理解與遷移在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的作用,更是為了促使學(xué)生經(jīng)歷計算教學(xué)中方法多樣化、一般化和最優(yōu)化的思維過程。

    參考文獻:

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    (鄭志霞,浙江省湖州市愛山小學(xué)教育集團,郵編:313000)

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    中文信息(2018年2期)2018-05-30 11:45:10
    小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)的運算”教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的實踐分析
    新一代(2018年2期)2018-05-10 00:36:52
    小學(xué)“數(shù)的運算”的教學(xué)策略
    讀天下(2017年18期)2018-04-26 10:34:54
    小學(xué)“數(shù)的運算”的教學(xué)策略
    讀天下(2017年17期)2018-04-25 09:39:44
    小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)的運算”教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法滲透的有效性探究
    讀天下(2017年11期)2017-12-12 10:58:44
    在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)的運算”教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想
    在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的實踐
    從兩節(jié)課談“數(shù)的運算”內(nèi)容的教學(xué)路徑
    新課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于“數(shù)的運算”的教學(xué)設(shè)計
    在“數(shù)的運算”教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的實踐分析
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