精選典型例題 構(gòu)建知識(shí)體系 深化思想方法

劉燁燁

摘要：高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是提升學(xué)生能力、培養(yǎng)核心素養(yǎng)的重要階段.本文中通過“立體幾何中點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系綜合”的具體案例，提出高三復(fù)習(xí)課要精選例題;通過典型例題與典型方法串聯(lián)知識(shí)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，深化數(shù)學(xué)思想方法.

關(guān)鍵詞：高三數(shù)學(xué);立體幾何; 典型例題; 知識(shí)體系; 核心素養(yǎng)

1 引言

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課不僅要幫助學(xué)生全面回顧知識(shí)，而且能夠?qū)⒘闵⒌闹R(shí)整合起來，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使知識(shí)系統(tǒng)化、條理化;加強(qiáng)學(xué)生多元、多層面地運(yùn)用知識(shí)并能適當(dāng)?shù)剡w移，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).高三復(fù)習(xí)課對(duì)教師的選題、講題及總結(jié)等能力都提出了較高的要求.

本節(jié)課以“立體幾何點(diǎn)、直線、平面面位置關(guān)系綜合”為例，談?wù)勅绾卧诰x例題的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，提升解決問題的能力.

2 精選例題，突出核心

一輪復(fù)習(xí)是學(xué)生查漏補(bǔ)缺的時(shí)機(jī)，更是教師了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況的重要環(huán)節(jié).數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課定位要準(zhǔn)確，教師要掌握學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，精選例題，加強(qiáng)知識(shí)板塊的綜合應(yīng)用，提高一輪復(fù)習(xí)效果.以下列立體幾何綜合題為例進(jìn)行分析.

例1 如圖1，四棱臺(tái)ABCD-EFGH的底面為正方形，DH⊥平面ABCD，EH=DH=12AD=1.

（1）求證：AE∥平面BDG;

（2）若平面BDG∩平面ADH=m，求直線m與平面BCG所成角的正弦值.

學(xué)生比較熟悉以柱、錐為載體的立體幾何問題，對(duì)以棱臺(tái)為知識(shí)背景的題型會(huì)比較生疏.本題以棱臺(tái)為載體，研究棱臺(tái)中的線面關(guān)系，圖形新穎.第（1）小題考查線面關(guān)系，需要學(xué)生掌握棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征以及平面平行的性質(zhì)定理及直線與平面平行的判定定理，蘊(yùn)含著豐富的信息.第（2）小題考查線面角，以兩面交線為解決問題的突破口，方法靈活，思維要求較高，為不同層次的學(xué)生提供了想象空間和思考平臺(tái).

解析：（1）如圖2，連接AC與BD交于點(diǎn)O.因?yàn)锳BCD-EFGH是四棱臺(tái)，所以平面ABCD∥平面EFGH，且AE，CG交于一點(diǎn)，即A，E，G，C四點(diǎn)共面.因?yàn)槠矫鍭BCD∩平面AEGC=AC，平面EFGH∩平面AEGC=EG，所以AC∥EG.又因?yàn)镋G=AO=2，所以四邊形AEGO是平行四邊形.所以AE∥OG.又AE平面BDG，OG平面BDG，所以AE∥平面BDG.

（2）法1：由DH⊥平面ABCD， AD⊥DC，建立DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DH所在直線為z軸的空間直角坐標(biāo)系Dxyz（如圖3），則D（0，0，0），B（2，2，0），G（0，1，1），C（0，2，0）.設(shè)平面BDG、平面ADH、平面BCG的法向量分別為n1，n2，n3.由n1·DB=0，n1·DG=0，可取n1=（1，-1，1）.同理n2=（0，1，0），n3=（0，1，1）.又因?yàn)槠矫鍮DG∩平面ADH=直線m，設(shè)n=（x，y，z） ，所以n1·n=0，n2·n=0，取n=（1，0，-1）.設(shè)直線m與平面BCG所成的角為α，則

sin α=|cos〈n3，n〉|=|n3·n|n3||n||=12.

法2：把直線m轉(zhuǎn)化為直線GO或直線AE.因?yàn)锳E∥平面BDG，AE平面ADH，平面ADH∩平面BDG=m，所以AE∥ m.又OG∥AE，所以O(shè)G∥m.題意即可轉(zhuǎn)化為求直線OG與平面BCG所成角的正弦值.

設(shè)點(diǎn)O到平面GBC的距離是h，

由VG-OBC=VO-GBC，可得

13SOBC=13·h·S△BCG.又因S△OBC=1，S△BCG=2，所以

h=22.設(shè)直線OG與平面BCG所成角的正弦值為sin θ，則sin θ=hGO=222=12.

所以，直線m與平面BCG的成角的正弦值為12.

法3：如圖4，延長(zhǎng)EH到點(diǎn)M，使EH=HM，連結(jié)HF，所以HM與FG平行且相等，則MG∥HF，又HF∥DO，所以直線MG∥直線DO，從而直線DM即為直線m.以DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DH所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則M（-1，0，1），DM=（-1，0，1），CB=（2，0，0），CG=（0，-1，1），平面BCG的法向量n=（0，1，1）.設(shè)直線m與平面BCG所成角的正弦值為sin θ，則sin θ=|cos〈n，DM〉|=12.

3 挖掘價(jià)值，構(gòu)建體系

高三復(fù)習(xí)課要避免以題講題的形式，教師要以例題作為載體，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，貫通學(xué)生的知識(shí)主線，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力. 立體幾何著重考查點(diǎn)、直線、平面位置的判斷與證明.例1第（1）小題運(yùn)用了兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理證明線線平行.第（2）小題交線m在圖形中找不到，法1使用向量法把立體幾何的證明與計(jì)算都轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算問題，計(jì)算交線m方向向量的坐標(biāo)，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化;法2運(yùn)用直線與平面平行的性質(zhì)定理找到與交線m平行的直線;法3運(yùn)用平面的性質(zhì)找到交線m.雖然綜合法對(duì)理性思維要求較高，但它能很好地鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力與空間想象能力.本題第（2）問層層深入，由易到難，從不同角度解決平面交線問題.教師帶領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建解決問題的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從方法上啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生思考問題，有效提升學(xué)生直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).幫助學(xué)生回顧反思立體幾何的知識(shí)結(jié)構(gòu)（如圖5），歸納總結(jié)常見的思想方法.

4 注重轉(zhuǎn)化，形成品質(zhì)

立體幾何在線面位置關(guān)系的證明中，始終體現(xiàn)在線線、線面、面面的平行或垂直之間的轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生直觀想象與邏輯推理素養(yǎng)的考查.轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿立體幾何的始終，樹立空間向平面轉(zhuǎn)化，平面中點(diǎn)與點(diǎn)、線與線的轉(zhuǎn)化思想，簡(jiǎn)化問題，幫助學(xué)生形成解決問題的良好品質(zhì).

例2 如圖6，一個(gè)正四面體和一個(gè)正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，將正四面體的一個(gè)面和正四棱錐的一個(gè)側(cè)面緊貼重合在一起，得到一個(gè)新的幾何體，對(duì)于該新幾何體，則正確的結(jié)論有（? ?）.

A.AF∥CD

B.AF⊥DE

C.新幾何體有7個(gè)面

D.新幾何體的六個(gè)頂點(diǎn)不能在同一個(gè)球面上

解：如圖7，作BC的中點(diǎn)G，DE的中點(diǎn)H，連接FG，AG，GH，AH.由所有的棱長(zhǎng)都相等，可知BC⊥FG，BC⊥AG，BC⊥GH.則BC⊥平面AFG，BC⊥平面AGH，且平面AFG，AGH有公共點(diǎn)G，而經(jīng)過一點(diǎn)與已知直線垂直的平面有且僅有一個(gè)，所以四點(diǎn)A，F(xiàn)，G，H共面.又由AF=HG，F(xiàn)G=AH，則四邊形AFGH是平行四邊形.所以AF∥GH.又GH∥CD，所以AF∥CD，即A，F(xiàn)，C，D共面.所以新幾何體是一個(gè)斜三棱柱，沒有外接球.故選答案：ABD.

點(diǎn)評(píng)：突破新幾何體中線面關(guān)系的核心是證明A，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共面.將A，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為A，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)的關(guān)系，這對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力提出了比較高的要求.

例3 （2019年北京卷理）如圖8，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD ⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且PFPC=13.

（1）求證：CD⊥平面PAD;

（2）求二面角F-AE-P的余弦值;

（3）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且PGPB=23，判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由.

解析：（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

所以PA⊥CD.

又因?yàn)锳D⊥CD，且PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD.

（2）如圖9，過A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M.

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且AM，AD平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A（0，0，0），B（2，-1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）.因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以E（0，1，1）.

則AE=（0，1，1），PC=（2，2，-2），AP=（0，0，2）.

PF=13PC=23，23，-23.

AF=AP+PF=23，23，43.

設(shè)平面AEF的法向量為n=（x，y，z），則

n·AE=0，n·AF=0，

即y+z=0，23x+23y+43z=0.

令z=1，則y=-1， x=-1.于是n=（-1，-1，1）.

又因?yàn)槠矫鍼AD的法向量為p=（1，0，0），所以cos〈n，p〉=n·p|n‖p|=-33.

由題意知，二面角F-AE-P為銳角，所以其余弦值為33.

（3）法1：如圖10，取PG的中點(diǎn)M，PA的中點(diǎn)H，連接MH.因?yàn)橐鬃CGA∥MH，MH∥FE，所以GA∥FE，且點(diǎn)A在平面AEF內(nèi)，所以AG在平面AEF內(nèi).

法2：如圖9，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，由題意可得AE=（0，1，1），PC=（2，2，-2），AP=（0，0，2），PF=13PC=23，23，-23.

又AF=AP+PF=23，23，43，PG=23PB=43，-23，-43，所以AG=AP+PG=43，-23，23.

設(shè)AG=xAF+yAE，則x=2，y=-2，即AG=2AF-2AE，且AF，AE有公共點(diǎn)A，所以AG在平面AEF內(nèi).

法3：如圖9， 設(shè)平面AEF的法向量為n=（x，y，z），由n·AE=0，n·AF=0，可取n=（-1，-1，1）.

因?yàn)锳G=AP+PG=43，-23，23， 所以AG·n=0.又點(diǎn)A在平面AEF內(nèi)，所以直線AG在平面AEF內(nèi).

點(diǎn)評(píng)：本題以四棱錐為背景考查線面關(guān)系，圖形并不復(fù)雜，線面關(guān)系比較容易證得.第（3）小題要利用空間向量解決探索性問題，判斷直線在平面內(nèi)的方法很多.法1使用常見的平行線確定平面并利用公共點(diǎn)的特征證明直線在平面內(nèi);法2用平面向量基本定理證明線在面內(nèi)，為學(xué)生提供了再次回顧基本概念的機(jī)會(huì);法3利用直線的方向向量與平面法向量的關(guān)系證明線面平行，又因?yàn)橹本€與平面有公共點(diǎn)A，所以證明了直線在平面內(nèi).

例4 （2021年新高考Ⅰ卷＼520）如圖11，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn).證明：（1）OA⊥CD;（2） 若OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積.

解析：（1）在△ABD中，因?yàn)锳B=AD，O為BD的中點(diǎn)，所以AO⊥BD.又因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO在平面ABD內(nèi)，所以AO⊥平面BCD，又CD平面BCD，所以AO⊥CD.

（2）如圖12，過點(diǎn)E作EG⊥BD于點(diǎn)G，GM⊥BC于點(diǎn)M，連接EM.因?yàn)锳O⊥平面BCD，EG∥AO，所以EG⊥平面BCD.

又△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則OD=OB=OC=1，所以∠BCD=90°，即DC⊥BC.所以GM∥CD.又BC⊥EM，BC⊥GM，所以∠EMG是二面角E-BC-D的平面角，即∠EMG=45°.

又因?yàn)镈E=2EA，所以MG=23CD=23，則EG=23，AO=1.

所以VA-BCD=13SΔBCD·AO=13×12×1×3×1=36.

點(diǎn)評(píng)：新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第20題，題型比較常規(guī)，綜合法比空間向量法更有優(yōu)勢(shì)，計(jì)算方便，重點(diǎn)考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，緊扣考試大綱，重視基本定義和定理的考查.教師在教學(xué)時(shí)要突出通性、通法，強(qiáng)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，挖掘知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，淡化套路式解題模式，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維.

5 復(fù)習(xí)建議

5.1 立足教材，回歸本質(zhì)

高中數(shù)學(xué)是有機(jī)而統(tǒng)一的整體課程，教師要充分理解數(shù)學(xué)課程的基本理念、目標(biāo)定位和內(nèi)容架構(gòu).在復(fù)習(xí)課中，教師要幫助學(xué)生梳理教材中的公理、定理與性質(zhì)，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，能熟練掌握立體幾何中線線、線面、面面相關(guān)知識(shí)的轉(zhuǎn)化.教師要引導(dǎo)學(xué)生注重概念的學(xué)習(xí)，對(duì)教材題型要適當(dāng)?shù)刈冃?、拓展，提高學(xué)生解決問題的靈活度.

5.2 精選精講，形成體系

專題復(fù)習(xí)對(duì)教師的備課要求較高，教師要充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，少重復(fù)學(xué)生已熟練掌握的知識(shí)點(diǎn)，多重視薄弱環(huán)節(jié)及知識(shí)交匯處，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn).通過對(duì)例題的精選、精講、精練，幫助學(xué)生歸納知識(shí)體系，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，幫助學(xué)生在解決具體問題的過程中積累與總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)思想，提升解決問題的能力.

5.3 優(yōu)選方法，提升素養(yǎng)

專題復(fù)習(xí)中針對(duì)題型要突出解題方法，由“一題一解”拓展到“一題多解”或“多題一解”.特別是一題多解的情況下要追求最優(yōu)法.解決問題后要有方法歸納、知識(shí)總結(jié)和思想滲透，通過對(duì)典例的分析和解決問題的過程，充分挖掘題型蘊(yùn)含的思維價(jià)值.立體幾何教學(xué)中除了公式、定理的應(yīng)用外，還要注重對(duì)學(xué)生的空間感、轉(zhuǎn)化思想、幾何直觀及運(yùn)算能力的培養(yǎng)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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