反證法“三必須”“三形式”運(yùn)用技巧

謝福信

摘要：反證法是一種運(yùn)用逆向思維解題的方法，當(dāng)有些命題從正面直接證明（直接論證或反駁）比較困難時(shí)，我們可以嘗試采用迂回、間接的思路，運(yùn)用反證法來(lái)證明會(huì)更簡(jiǎn)捷.

關(guān)鍵詞：反證法;否定;唯一;至多;至少

1 引言

反證法最初在拉丁語(yǔ)中的意思，是指“轉(zhuǎn)化為不可能”，其邏輯原理是逆否命題和原命題的真假性相同.當(dāng)命題從正面不容易或不能直接證明時(shí)，我們就可以嘗試運(yùn)用反證法來(lái)間接證明，這就是我們平常所說(shuō)的“正難則反”.反證法在數(shù)學(xué)證明題中應(yīng)用十分廣泛，具有極大的優(yōu)越性[1].著名的物理學(xué)家牛頓就曾經(jīng)稱贊說(shuō)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”

2 反證法的使用場(chǎng)景及原則

一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)命題的結(jié)論出現(xiàn)“都是”“都不是”“至少”“至多”或者“≠”等字眼時(shí)，比較適合采用反證法.反證法是從命題結(jié)論的否定出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理，最后推導(dǎo)出矛盾，證明命題結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的一種證明方法.

運(yùn)用反證法證明命題要牢記“三必須”原則：

一必須先否定結(jié)論，然后肯定結(jié)論的反面.當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)出多樣性時(shí)，我們必須要考慮（或羅列出）各種可能的結(jié)論（結(jié)果），遺漏任何一種可能性，反證都是不嚴(yán)密的.

二必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理.即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證;否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不算是反證法.

三必須推導(dǎo)出矛盾.有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)相違背.總之，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.

運(yùn)用反證法的基本步驟：首先作出與所證命題結(jié)論相反的假設(shè)，然后從條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，一步步推出矛盾的結(jié)論，最后否定假設(shè)，從而達(dá)到證明原命題結(jié)論成立的目的[2].

3 反證法的常見(jiàn)三種題型

3.1 命題的結(jié)論為否定的形式

當(dāng)待證命題的結(jié)論以“不、無(wú)、沒(méi)有、不可能、絕不會(huì)”或者“不等號(hào)”等否定詞語(yǔ)或符號(hào)來(lái)表述時(shí)，運(yùn)用反證法比較便利.

例1如果2a2<5b，試證方程x5+ax4+bx3+cx2+dx+e=0的根不可能都是實(shí)數(shù).

證明：假設(shè)方程的根都是實(shí)數(shù)，那么方程的左邊就可表示成（x+p）（x2+qx+r）（x2+sx+t） ，

其中p，q，r，s，t均為實(shí)數(shù)，且q2-4r≥0，s2-4t≥0，可得4（r+t）≤q2+s2.方程左邊比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，有

a=p+q+s，b=pq+ps+qs+r+t，

代入2a2<5b，得

2（p+q+s）2<5（pq+ps+qs+r+t）.

即2（p+q+s）2-5（pq+ps+qs）<5（r+t）≤

54（q2+s2），即

（2p-q）2+（2p-s）2+2（q-s）2<0 ①

因?yàn)閜，q，s均為實(shí)數(shù)，

所以

（2p-q）2+（2p-s）2+2（q-s）2≥0②

①式與②式相互矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤.

所以原命題結(jié)論成立.

點(diǎn)評(píng)：本題的結(jié)論中出現(xiàn)了否定詞“不可能”，所以宜用反證法來(lái)證明.本題的證明過(guò)程中雖然所設(shè)參數(shù)較多，但其核心是圍繞諸根都是實(shí)數(shù)進(jìn)行突破.

例2設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）中的a，b，c均為整數(shù)，且f（0），f（1）均為奇數(shù)，求證：方程f（x）=0無(wú)整數(shù)根.

證明：假設(shè)方程f（x）=0有一整數(shù)根k，那么

ak2+bk=-c??????? ③

因?yàn)閒（0）=c，f（1）=a+b+c均為奇數(shù)，那么a+b為偶數(shù).當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，顯然這與③矛盾;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k=2n+1（n∈Z），那么ak2+bk=（2n+1）（2na+a+b）為偶數(shù)，也與③矛盾.故假設(shè)錯(cuò)誤.

所以原命題結(jié)論成立.

點(diǎn)評(píng)：很顯然，本題如果運(yùn)用函數(shù)或方程的思路直接證明較困難，但我們?nèi)绻麚Q個(gè)思路從反面入手，采用反證法來(lái)證明則簡(jiǎn)捷多了.

3.2 命題的結(jié)論表現(xiàn)為“唯一”的形式

當(dāng)待證命題的結(jié)論用“是、有、只有、有唯一、為、必為”等表肯定的詞語(yǔ)表述時(shí)，可以運(yùn)用反證法進(jìn)行證明.

例3有一方程組a11x1+a12x2+a13x3=0，

a21x1+a22x2+a23x3=0，

a31x1+a32x2+a33x3=0，其系數(shù)滿足下列條件：

（i）a11，a22，a33為正數(shù)，其余系數(shù)都是負(fù)數(shù);

（ii）在每個(gè)方程中系數(shù)之和為正數(shù).

求證：方程組有唯一的一組解.

證明：顯然（0，0，0）即x1=x2=x3=0是方程組的一組解;假設(shè)（a，b，c）是方程組的另一組解，則可分為兩種情況：

（1）a，b，c中至少有一個(gè)正數(shù);

（2）a，b，c中至少有一個(gè)負(fù)數(shù).

對(duì)情況⑴，不妨設(shè)a>0，a≥b，a≥c.

因?yàn)閍12<0 ，a13<0，所以

a12b≥a12a，a13c≥a13a.

又a11+a12+a13>0，a11>0，

所以

a11a+a12b+a13c≥（a11+a12+a13）a>0.

這與（a，b，c）是方程組的解的定義相矛盾.

對(duì)情況⑵，不妨設(shè)a<0，a≤b，a≤c，

則-a>0，-a≥-b，-a≥-c.根據(jù)（1）可知

a11a+a12b+a13c=-[a11（-a）+a12（-b）+a13（-c）]<0.

同樣導(dǎo)致矛盾.

綜上所述，方程組僅有唯一一組解（0，0，0）.

點(diǎn)評(píng)：從本題的證明我們可以看到，當(dāng)結(jié)論的反面不止一種情形時(shí)，反設(shè)后，要分別對(duì)各種情況進(jìn)行歸謬，做到全面準(zhǔn)確，無(wú)一遺漏.

例4四面體P-ABC中從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)面為直角三角形，則第四個(gè)面必為銳角三角形.

證明：如圖1，設(shè)∠APB=∠BPC=∠CPA=π2，

PA=a，PB=b，PC=c.

假設(shè)第四個(gè)面△ABC不是銳角三角形，設(shè)其中∠BAC≥π2，則

AB2+AC2-BC2≤0.

即

（a2+b2）+（a2+c2）-（b2+c2）≤02a2≤0，這與a2≥0矛盾.

故∠BAC<π2.同理，∠ABC與∠ACB均為銳角.

故假設(shè)不成立，所以原命題成立.

點(diǎn)評(píng)：本題如果直接證明有困難，由于涉及到立體幾何，所以結(jié)合“數(shù)形結(jié)合”的思想，運(yùn)用反證法較為簡(jiǎn)捷.

3.3 命題的結(jié)論表現(xiàn)為“至多”“至少”的形式

對(duì)待證命題的結(jié)論出現(xiàn)“至多”“至少”及存在性之類的詞語(yǔ)，從反證法入手也較為有利.

例5設(shè)zk（k=1，2，……，n）是滿足zk≤1與z1+z2+……+zn=0的n個(gè)（n≥2）復(fù)數(shù).求證：這n個(gè)復(fù)數(shù)中至少有兩個(gè)復(fù)數(shù)zs，zt滿足zs+zt≤1.

證明：假設(shè)這n個(gè)復(fù)數(shù)中任意兩個(gè)復(fù)數(shù)zi，zj（i≠j，i，j=1，2，……，n）均不滿足zi+zj≤1，即有zi+zj>1.

因?yàn)閦k≤1（k=1，2，……，n），所以與復(fù)數(shù)zk相應(yīng)的點(diǎn)Zk全部在復(fù)平面的單位圓（含圓周）域內(nèi).

令與zi，zj對(duì)應(yīng)的向量分別為zi，zj且它們

的夾角為θ，且設(shè)zi≤zj≤1，即zi＼5zj≥zi2.

又因?yàn)閦i+zj2>1≥zj2，所以

-zi2≥-zi＼5zj，zi+zj2-zj2>0.

所以

i+zj2-zi2-zj2>-zizj.

則cos θ=zi+zj2-zi2-zj22zi＼5zj>-12.

于是θ∈0，2π3.那么這n個(gè)復(fù)向量zk所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Zk全部落在以原點(diǎn)O為中心，中心角為2π3的開(kāi)扇形區(qū)域內(nèi).

不妨取此扇形邊界中的一條半徑所在的直線為實(shí)軸，則zk的輻角主值為argzk∈0，2π3.

則這n個(gè)復(fù)數(shù)zk（k=1，2，……，n）虛部之和為

1sin（argz1）+z2sin（argz2）+……+znsin（argzn）>0④

而已知z1+z2+……+zn=0，則這n個(gè)復(fù)數(shù)的虛部之和為0，與④式矛盾.

因此，這n個(gè)復(fù)數(shù)中至少存在兩個(gè)復(fù)數(shù)zs，zt，滿足zs+zt≤1.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于存在性問(wèn)題，適合運(yùn)用反證法.本題的證明思路是，假設(shè)這n個(gè)復(fù)數(shù)中任意兩個(gè)復(fù)數(shù)均不滿足zi+zj≤1，即zi+zj>1，又因?yàn)閦i≤1，zj≤1，根據(jù)向量加法的幾何意義可知，zi，zj的夾角小于2π3，于是這n個(gè)復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在中心角小于2π3的扇形區(qū)域內(nèi).本題的證明過(guò)程也充分展示了直接推理演繹、數(shù)形結(jié)合等多種方法綜合運(yùn)用的技巧.

例6設(shè)f（x）=x2+ax+b，求證f（1），f（2），f（3）中至少有一個(gè)不小于12.

證明：假設(shè)f（1）<12，f（2）<12，f（3）<12同時(shí)成立，于是有

-12<1+a+b<12????? ⑤

-12<4+2a+b<12????? ⑥

-12<9+3a+b<12????? ⑦

⑤+⑦，得-1<10+4a+2b<1.

則有-3<8+4a+2b<-1.

即-32<4+2a+b<-12.

又由⑥可知-12<4+2a+b<12，與上式矛盾.

所以假設(shè)不成立，即f（1），f（2），f（3）中至少有一個(gè)不小于12.

點(diǎn)評(píng)：本題的命題結(jié)論中含有“至少”之類詞語(yǔ)，也屬于存在性之類的問(wèn)題，宜用反證法證明.關(guān)鍵步驟是根據(jù)假設(shè)結(jié)合不等式性質(zhì)得出矛盾的結(jié)果.

4 反證法思想在探索性問(wèn)題中的應(yīng)用

當(dāng)待證命題的結(jié)論中出現(xiàn)“有沒(méi)有”“能不能”“是否存在”等帶有不確定、探索性詞語(yǔ)時(shí)，除了通過(guò)若干數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，運(yùn)用不完全歸納法和數(shù)學(xué)歸納法證明外，運(yùn)用反證法來(lái)證明顯得更加簡(jiǎn)捷明快.

例7拋物線y2=4x的對(duì)稱軸作平行移動(dòng).使焦點(diǎn)在直線y=x-1上滑動(dòng)，試問(wèn)拋物線能否移動(dòng)到截直線y=12x+4所得的弦長(zhǎng)與截y軸所得弦長(zhǎng)相等的位置？若能，求出此拋物線的方程;若不能，說(shuō)明理由.

解析：假設(shè)這樣的拋物線存在，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a-1），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（a-1，a-1），拋物線方程為

（y+1-a）2=4（x+1-a） ?????⑧

令x=0，有y2+2（1-a）y+（1-a）2-4（1-a）=0.

則拋物線在y軸上截得的線段AB=y1-y2

=（y1+y2）2-4y1y2=16（1-a）.

將y=12x+4代入⑧式，整理得

x2+4（1-a）x+4（a2-6a+21）=0.

則直線y=12x+4被截得的弦長(zhǎng)

CD=x1-x21+14=20（4a-20）.

由題設(shè)中兩弦長(zhǎng)相等，可得16（1-a）=20（4a-20），解得a=133.而此時(shí)1-a無(wú)意義，故這樣的拋物線不存在.

點(diǎn)評(píng)：本題是關(guān)于探索性問(wèn)題的求解，如果按照常規(guī)的思路，過(guò)程比較繁瑣;如果緊扣題設(shè)中“截直線所得的弦長(zhǎng)與截y軸所得弦長(zhǎng)相等”這一條件，運(yùn)用反證法思想就顯得簡(jiǎn)捷多了.

例8是否存在雙曲線C，同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：

（1）以點(diǎn)F（-1，0）為焦點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為直線x=-4;

（2）與拋物線x=y2+2有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

若存在，求出雙曲線C的方程;若不存在，說(shuō)明理由.

解析：假設(shè)存在這樣的雙曲線C，其離心率為e，

則雙曲線C的方程（x+1）2+y2=ex+4與x=y2+2聯(lián)立，得（y2+3）2+y2=ey2+6，應(yīng)僅有一解.

整理得（1-e2）y4+（7-12e2）y2+9-36e2=0.

因?yàn)?e>0，Δ=13+12e2>0，則

y2=-（7-12e2）±13+12e22（1-e2）.

由于方程只有一解，則y2=0.

即 （7-12e2）2=13+12e2，解得e=12，與e>1矛盾.

所以，這樣的雙曲線不存在.

點(diǎn)評(píng)：本題是關(guān)于探索性問(wèn)題的求解，運(yùn)用反證法思想可以避免分類、分情況討論等繁瑣的猜測(cè)嘗試過(guò)程，具有化繁為簡(jiǎn)的優(yōu)點(diǎn).

實(shí)驗(yàn)歸納形式的題型，是一種開(kāi)放式探索性題型，由于這類題型具有“有效考查考生的基礎(chǔ)知識(shí)、能夠全面檢測(cè)考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力”等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)已成為高考的高頻題型，所以，熟悉并掌握這類題型的特點(diǎn)與答題技巧很有必要.

5 結(jié)論

從上述典型例題的分析中我們可以看出，反證法“三必須”“三形式”的運(yùn)用技巧在證明題中展示了較強(qiáng)的實(shí)用性與靈活性;尤其是面對(duì)一些較復(fù)雜的、難以直接證明的問(wèn)題，運(yùn)用反證法往往能夠使原本閉塞的思路豁然貫通，“柳暗花明又一村”的開(kāi)闊之感油然而生！

參考文獻(xiàn)：

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[2]彭長(zhǎng)軍.反證法及其應(yīng)用[J].高中數(shù)理化，2022（3）：38-42.