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    一道平衡問(wèn)題的多角度分析

    2022-03-27 21:59:30謝汝成
    關(guān)鍵詞:相似三角形三角函數(shù)

    謝汝成

    摘 要:本文通過(guò)由淺入深的五種解法處理一道常見(jiàn)的平衡問(wèn)題,幫助學(xué)生總結(jié)歸納平衡問(wèn)題的一般解法的同時(shí)向?qū)W生滲透能量和力矩的方式解決特殊力學(xué)平衡問(wèn)題的思維.

    關(guān)鍵詞:三角函數(shù);相似三角形;轉(zhuǎn)動(dòng)平衡;勢(shì)能函數(shù);元功法

    中圖分類號(hào):G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A?? 文章編號(hào):1008-0333(2022)04-0127-03

    題目 如圖1所示,一個(gè)半球形的碗放在桌面上,碗口水平,O是球心,碗的內(nèi)表面光滑.一根輕質(zhì)桿的兩端固定有兩個(gè)小球,質(zhì)量分別是m1、m2.當(dāng)它們靜止時(shí),m1、m2與球心的連線跟水平面分別成60°、30°角,則兩小球質(zhì)量m1與m2的比值是(? ).

    A.3∶2 B.3∶1

    C.2∶1 D.2∶3

    解法一:正弦定理解法

    當(dāng)物體受到三個(gè)共點(diǎn)力平衡時(shí),三個(gè)力可成一個(gè)閉合三角形,通過(guò)題干所給條件去尋找到各力夾角之間的關(guān)系,最后利用正弦定理列出各個(gè)力大小關(guān)系方程求解.

    解析 對(duì)物體受力分析,并分別做出兩物體受力平衡三角形,如圖2所示.由正弦定理可列方程對(duì)m1∶m1gsin45°=Fsin30°,對(duì)m2∶m2gsin45°=Fsin60°,由以上兩式可得m1m2=3

    注:該方法作為處理平衡問(wèn)題的基本辦法之一,思維方法學(xué)生易于理解,計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單,是解決三力平衡問(wèn)題的常用解法.

    解法二:相似三角形解法

    相似三角形解法就是構(gòu)建一個(gè)物體受力閉合三角形和另外一個(gè)相似的幾何三角形,在兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊比例一定的情況下,通過(guò)分析幾何三角形的邊長(zhǎng)即可求解或判斷出對(duì)應(yīng)力的大小和大小的變化.

    解析 對(duì)物體受力分析,并分別做出兩物體受力平衡三角形,如圖3所示,取兩小球所在位置為A點(diǎn)和B點(diǎn),過(guò)圓心O向AB做豎直線,交AB于C點(diǎn).此時(shí)不難發(fā)現(xiàn):

    m1受力三角形與幾何三角形OAC相似,有m1gOC=FAC

    m2受力三角形與幾何三角形OBC相似,有m2gOC=FBC

    又因?yàn)闂U對(duì)兩個(gè)物體彈力等大,由以上兩式可得m1m2=BCAC

    為計(jì)算兩端線段長(zhǎng)度的比例關(guān)系,如圖4所示,過(guò)B點(diǎn)向OC做垂線并交于D點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)向OC做垂線并交于OC延長(zhǎng)線上的E點(diǎn)

    在△OBD中BD=Rsin60°

    在△OBC中BC=BDcos15°,BC=Rsin60°cos15°

    在△OAE中AC=AEcos15°,

    在△OAC中AE=Rsin30°,AC=Rsin30°cos15°

    以上各式聯(lián)立可得

    m1m2=BCAC=sin60°sin30°=3

    注:大部分學(xué)生對(duì)相似三角形解法的認(rèn)識(shí)通常停留在分析動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題中各力大小變化情況階段,教師可以通過(guò)此題向?qū)W生強(qiáng)調(diào)相似三角形解法的更深入的應(yīng)用,在某些復(fù)雜的力學(xué)平衡問(wèn)題中可以將復(fù)雜的物理情景轉(zhuǎn)化為一般數(shù)學(xué)運(yùn)算,降低思維難度.

    解法三:轉(zhuǎn)動(dòng)平衡解法

    當(dāng)物體在非共點(diǎn)力作用下保持靜止或繞軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)狀時(shí),物體處于轉(zhuǎn)動(dòng)平衡狀態(tài),即力矩平衡.一般規(guī)定逆時(shí)針力矩為正力矩,順時(shí)針力矩為負(fù)力矩.當(dāng)物體處于轉(zhuǎn)動(dòng)平衡時(shí)各力矩的代數(shù)和為零,即M1+M2+M3+…+Mn=0

    解析 由m1與m2兩小球組成的系統(tǒng)在非共點(diǎn)力作用下靜止,處于轉(zhuǎn)動(dòng)平衡.如圖5所示,以O(shè)點(diǎn)為轉(zhuǎn)動(dòng)中心,過(guò)O點(diǎn)做AB的垂線OF,OF即是力F到轉(zhuǎn)動(dòng)中心O的距離,分別過(guò)AB兩點(diǎn)做水平直徑的垂線AG和BH,OG和OH分別是m1g和m2g到轉(zhuǎn)動(dòng)中心O的距離.

    列轉(zhuǎn)動(dòng)平衡方程

    F·OF+m1gOG-F·OF-m2gOH=0

    其中OG=Rcos60°,OH=Rcos30°

    由以上兩式可得,m1m2=3

    注:轉(zhuǎn)動(dòng)平衡雖然在高考中不做考察,但學(xué)生在初中階段已經(jīng)經(jīng)歷了較為系統(tǒng)的學(xué)習(xí),對(duì)此類知識(shí)較為熟悉.可以利用此種解法向?qū)W生展示初高中物理知識(shí)的銜接,同時(shí)作為拓展知識(shí)能使學(xué)生加深對(duì)共點(diǎn)力平衡問(wèn)題的理解.

    解法四:勢(shì)能函數(shù)解法

    對(duì)于保守力學(xué)系統(tǒng),如果處于平衡狀態(tài),則系統(tǒng)總勢(shì)能處于極值狀態(tài)(穩(wěn)定平衡時(shí)系統(tǒng)勢(shì)能為極小值,似穩(wěn)平衡時(shí)系統(tǒng)勢(shì)能為極大值),即系統(tǒng)勢(shì)能的一階導(dǎo)數(shù)等于零.

    解析 選經(jīng)過(guò)O點(diǎn)的水平直徑為重力勢(shì)能零點(diǎn),如圖6所示.

    Ep=-m1gy1-m2gy2

    y1=Rsinθ,y2=Rcosθ

    對(duì)Ep關(guān)于θ求導(dǎo)

    dEpdθ=-m1gcosθdθ+m2gsinθdθ,

    當(dāng)θ=60°時(shí)系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài),dEpdθ=0,即-m1gcos60°+m2gsin60=0,m1m2=3.

    圖6注:正確利用此種解法處理問(wèn)題的前提條件有兩個(gè),一是要求尋找到適合的獨(dú)立變量(本題中dEpdθ=dEpdy·dydθ,dEpdθ=0,即可推出dEpdy=0),

    二是正確的寫出系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)以及計(jì)算出勢(shì)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).

    解法五:元功法

    對(duì)于一個(gè)處于靜態(tài)平衡狀態(tài)的系統(tǒng),可使它發(fā)生一段微小位移(元位移),則系統(tǒng)所受的所有力在這個(gè)位移上所做微小總功(元功)之和零.

    解析 如圖7所示,假設(shè)OA向上轉(zhuǎn)動(dòng)一小角度θ(θ→0),則OB也向下轉(zhuǎn)動(dòng)相同的角度θ,有AA′=BB′.又因θ→0,弦長(zhǎng)近似等于弧長(zhǎng),AA′=AA′=BB′=BB′,即AA′=BB′.過(guò)O點(diǎn)做豎直線交AB與C點(diǎn)(C不一定在A′B′上),∠AOC=30°,∠BOC=60°.由于θ很小,∠OBB′=∠OAA′=90°-θ≈90°,所以O(shè)B∥AA′,BB′∥OA.如圖8所示,過(guò)A′和A做豎直和水平線,交于A″點(diǎn).在直角△AA′A″中,∠AA′A″=∠BOC=60°,A′A″=AA′cos60°.

    再過(guò)B′和B做水平和豎直線,交于B″點(diǎn).在直角△BB′B″

    中,∠B′BB″=∠AOC=30°,BB″=BB′cos30°.

    根據(jù)功能關(guān)系有:

    m2gBB″-m1gA′A″=0

    m1m2=BB″A′A″=BB′cos30°AA′cos60°=cos30°cos60°=3

    注:元功法是以功能原理為依據(jù)的一類解決物理問(wèn)題的方法,該種解法關(guān)鍵在于元位移的表達(dá),是分析力學(xué)中的“虛功原理”的簡(jiǎn)單應(yīng)用.用元功法在處理某些平衡問(wèn)題時(shí)頗為簡(jiǎn)單.在使用元功法時(shí),一般遵循一下四個(gè)步驟:

    1.元過(guò)程的選取:取一與原平衡狀態(tài)接近的另一狀態(tài),構(gòu)造一個(gè)元過(guò)程

    2.元位移的計(jì)算:利用微元法或極限法計(jì)算出系統(tǒng)內(nèi)各物體的元位移

    3.列方程:該元過(guò)程中所有力的元功之和為零

    4.代入數(shù)據(jù)求解

    該解法在計(jì)算元位移時(shí)也可以采用微分的方式

    兩小球到圓心的豎直距離分別為y1和y2(如圖9所示),假設(shè)OA向上轉(zhuǎn)動(dòng)一小角度θ,在θ→0的條件小球的豎直位移等于豎直坐標(biāo)的微分.

    y1=Rsin60°,δy1=Rcos60°dθ

    y2=-Rcos30°,δy2=Rcos30°dθ,再利用W=m2gδy1+m2gδy2=0即可求解

    綜上所述,在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中,教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生從更高的維度上多角度的分析問(wèn)題,使不同能力的學(xué)生都能在一道題的講解過(guò)程中提升自身的分析和解決問(wèn)題的能力,這樣才能幫助學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)更快更好的建立起物理學(xué)的知識(shí)體系,從容的面對(duì)各種各樣的物理問(wèn)題.

    參考文獻(xiàn):

    [1] 人民教育出版社,課程教材研究所,物理課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·物理

    [M].北京:人民教育出版社,2010.

    [責(zé)任編輯:李 璟]

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