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    例談函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中ω取值范圍的確定

    2022-03-27 21:59:30江中偉
    關(guān)鍵詞:解題方法核心素養(yǎng)

    摘 要:本文介紹了三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中已知函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、函數(shù)圖象的對(duì)稱軸(或?qū)ΨQ中心)、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的圖象求實(shí)數(shù)ω取值范圍的五種類型和求解方法,幫助學(xué)生總結(jié)題型、歸納解題方法,對(duì)提高學(xué)生的解題能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有指導(dǎo)作用.

    關(guān)鍵詞:取值范圍;解題方法;核心素養(yǎng)

    中圖分類號(hào):G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A?? 文章編號(hào):1008-0333(2022)04-0061-03

    在三角函數(shù)問題中,經(jīng)常會(huì)碰到關(guān)于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中實(shí)數(shù)ω取值范圍的確定問題,此問題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),又是高考中的熱點(diǎn),對(duì)此本文談?wù)剬?shí)數(shù)ω取值范圍確定的方法.1 已知函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)數(shù)ω取值范圍

    例1 若函數(shù)f(x)=2sinωx(ω>0)在區(qū)間

    [-π2,2π3]上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)ω取值范圍.

    解法1 因?yàn)閤∈[-π2,2π3](ω>0),

    所以ωx∈[-ωπ2,2πω3].

    因?yàn)閒(x)=2sinωx在區(qū)間[-π2,2π3]上單調(diào)遞增,

    所以-ωπ2≥-π2且2πω3≤π2,ω>0,

    解得0<ω≤34.

    故實(shí)數(shù)ω取值范圍為(0,34].

    解法2 畫出函數(shù)f(x)=2sinωx(ω>0)的圖象如圖1所示,要使f(x)在[-π2,2π3]上單調(diào)遞增,只需[-π2,2π3][-π2ω,π2ω],且ω>0.

    解得0<ω≤34.

    實(shí)數(shù)ω取值范圍為(0,34].

    解法3 由2kπ-π2≤ωx≤2kπ+π2(k∈Z),得2kπω-π2ω≤x≤2kπω+π2ω.

    故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπω-π2ω,2kπω+π2ω](k∈Z).

    由題意知[-π2,2π3][2kπω-π2ω,2kπω+π2ω](k∈Z,ω>0).

    從而有-π2ω≤-π2且π2ω≥2π3(ω>0).

    解得0<ω≤34.

    故實(shí)數(shù)ω取值范圍為(0,34].

    點(diǎn)評(píng) 已知函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)數(shù)ω取值范圍的三種方法.(1)子集法:求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間,由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集,列不等式(組)求解;(2)反子集法:由所給區(qū)間求出整體角的范圍,由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間的子集,列不等式(組)求解;(3)周期性法:由所給區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)到其相應(yīng)對(duì)稱中心的距離不超過14個(gè)周期,列不等式(組)求解.

    2 已知函數(shù)的最值求實(shí)數(shù)ω取值范圍

    例2 函數(shù)f(x)=2sin(ωx+π4)(ω>0),當(dāng)x∈[0,1]上f(x)恰好有3個(gè)最高點(diǎn),求實(shí)數(shù)ω取值范圍.

    解析 因?yàn)閤∈[0,1],ω>0,

    所以(ωx+π4)∈[π4,ω+π4].

    又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象在區(qū)間[0,1]上f(x)恰好有3個(gè)最高點(diǎn),所以4π+π2≤ω+π4<6π+π2,(ω>0),解得17π4≤ω<25π4.

    故實(shí)數(shù)ω取值范圍是[17π4,25π4).

    點(diǎn)評(píng) 類比基本函數(shù)y=sinx在R上取得最大值時(shí)的情況,易知只需右端點(diǎn)滿足4π+π2≤ω+π4<6π+π2即可.因此對(duì)基本函數(shù)y=sinx,y=cosx和y=tanx的圖象和性質(zhì)要相當(dāng)熟練才能夠快速解題.

    3 已知函數(shù)圖象的對(duì)稱軸(或?qū)ΨQ中心)求實(shí)數(shù)ω取值范圍

    例3 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0)的圖象在(0,π)上有且僅有兩條對(duì)稱軸,求實(shí)數(shù)ω取值范圍.

    解析 令ωx+π6=kπ+π2(k∈Z),

    則x=kπ+π3ω(k∈Z).

    因?yàn)閒(x)的圖象在(0,π)上有且僅有兩條對(duì)稱軸,所以只需同時(shí)滿足下列條件(k-1)π+π3ω≤0,kπ+π3ω>0,(k+1)π+π3ω<π,(k+2)π+π3ω≥π,且ω>0和k∈Z,則k-23≤0,k+13>0,ω>k+43,ω≤k+73(ω>0,k∈Z).

    故ω∈(43,73].

    點(diǎn)評(píng) 求解三角函數(shù)y=sin(ωx+φ)或y=cos(ωx+φ)(ω>0)的周期性、奇偶性、對(duì)稱性問題,其實(shí)質(zhì)都是根據(jù)基本函數(shù)y=sinx或y=cosx的對(duì)稱性,利用整體代換的思想求解.

    4 已知函數(shù)的零點(diǎn)求實(shí)數(shù)ω取值范圍

    例4 已知向量a=(sinω2x,sinωx),b=(sinω2x,12),其中ω>0,若函數(shù)f(x)=a·b-12在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)ω取值范圍.

    解析 f(x)=sin2ω2x+12sinωx-12

    =1-cosωx2+12sinωx-12

    =12(sinωx-cosωx)

    =22sin(ωx-π4),

    函數(shù)f(x)在區(qū)間(π,2π)內(nèi)沒有零點(diǎn),則周期T≥2π,即2πω≥2π,解得0<ω≤1.

    當(dāng)x∈(π,2π)時(shí),ωx-π4∈(ωπ-π4,2ωπ-π4),

    所以ωπ-π4≥kπ且2ωπ-π4≤(k+1)π,(k∈Z),

    解得k+14≤ω≤k2+58(k∈Z).

    因?yàn)?<ω≤1,

    當(dāng)k=0時(shí),14≤ω≤58;

    當(dāng)k=-1時(shí),0<ω≤18.

    所以ω∈(0,18]∪[14,58].

    點(diǎn)評(píng) 利用向量數(shù)量積公式以及兩角和與差的三角函數(shù)公式化簡得到函數(shù)解析式,利用函數(shù)的零點(diǎn)以及函數(shù)的周期T≥2π(關(guān)鍵點(diǎn)),列出不等式求解即可.

    5 已知函數(shù)的圖象求實(shí)數(shù)ω取值范圍

    例5

    設(shè)函數(shù)f(x)=cos(ωx+π6)(ω>0)在[-π,π]上的圖象大致如圖2,求實(shí)數(shù)ω取值范圍.

    解析 由函數(shù)的圖象可知

    f(-4π9)=

    cos(-4ωπ9+π6)=0(題眼),

    結(jié)合余弦函數(shù)圖象可知-4ωπ9+π6=-π2(解題關(guān)鍵點(diǎn)),

    解得ω=32.

    點(diǎn)評(píng) 利用余弦函數(shù)圖象的“五點(diǎn)作圖法”確定函數(shù)所對(duì)應(yīng)的零點(diǎn),避免討論.

    從以上求實(shí)數(shù)ω的方法中體會(huì)到,函數(shù)y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)與y=sinx,y=cosx有著緊密的聯(lián)系,函數(shù)y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的性質(zhì)正是在y=sinx,y=cosx的基礎(chǔ)上用整體代換的思想延伸推廣而來.教學(xué)中和學(xué)生一起運(yùn)用不同方法,感受各種方法的異同,可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,開拓學(xué)生的視野,更能讓學(xué)生從不同角度掌握函數(shù)y=sinx,y=cosx的性質(zhì),增強(qiáng)學(xué)生知識(shí)的遷移與拓展的能力.

    參考文獻(xiàn):

    [1] 江中偉.重視基礎(chǔ)提煉方法 提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)[J].中小學(xué)數(shù)學(xué),2019(09):52-54.

    [2] 江中偉.巧用變式教學(xué) 提高教學(xué)效率[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2011(01):86-87.

    [責(zé)任編輯:李 璟]

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