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    注重函數(shù)性質(zhì)交匯 明晰函數(shù)圖象判別

    2022-03-27 21:59:30黃雅蘭

    黃雅蘭

    摘 要:本文主要緊扣函數(shù)的性質(zhì),研究了函數(shù)的圖象變換、函數(shù)的應(yīng)用和函數(shù)的識別問題.

    關(guān)鍵詞:函數(shù)性質(zhì);函數(shù)圖象;圖象變換

    中圖分類號:G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A?? 文章編號:1008-0333(2022)04-0024-03

    基本初等函數(shù)的性質(zhì)是高考試題中最為??嫉囊环N題型之一,通過函數(shù)圖象去研究函數(shù)性質(zhì)是數(shù)學(xué)方法中常見的一種研究手段,本文立足函數(shù)性質(zhì),分析了函數(shù)圖象的相關(guān)問題.

    1 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

    例1 已知f (x)是定義在

    R上的奇函數(shù),且f(x+1)為偶函數(shù),若f(-1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)=(? ).

    A.4? B.2? C.0? D.-2

    解法1 f(x)是定義在R上的奇函數(shù),

    所以-f(x)=f(-x).①

    因?yàn)閒(x+1)為偶函數(shù),

    所以f(-x+1)=f(x+1).②

    在②式中,用x+1替代x,

    則f(-x)=f(x+2).

    所以f(x)=-f(x+2).③

    在①式中,令x+2替代x,

    則-f(x+2)=f(-x-2).④

    因?yàn)閒(-x-2)=f[-(x+3)+1],

    再根據(jù)②式關(guān)系,得

    f(-x-2)=f[-(x+3)+1]=f[(x+3)+1]=f(x+4).

    綜上所述,得f(x)=f(x+4).

    所以f(x)的周期為4.

    由已知得,f(x)是定義在R上的奇函數(shù),

    f(0)=0,f(1)=-f(-1)=-2,

    f(2)=f(1+1)=f(-1+1)=f(0)=0,

    f(3)=f(-1+4)=f(-1)=2,

    f(4)=f(0+4)=f(0)=0,

    所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

    所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2019)

    =504×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+[f(1)+f(2)+f(3)]=-2+0+2=0.

    解法2 由f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+1)為偶函數(shù),可知函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).

    又f(-1)=2,取f(x)=-2x,x∈[-1,1],

    則f(1)=-2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=2,f(4)=f(0)=0.

    所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2019)=504×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+[f(1)+f(2)+f(3)]=-2+0+2=0.

    點(diǎn)評 已知f(x)是周期函數(shù)且為偶函數(shù),求函數(shù)值常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi),把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求解.

    2 函數(shù)圖象的識別

    例2 (2021年安徽池州模擬)如圖1,函數(shù)f(x)=

    xln2-sinx2+sinx的部分圖象可能是(? ).

    解析 因?yàn)閒(x)=xln2-sinx2+sinx,

    故f-x=-xln2+sinx2-sinx=-xln2-sinx2+sinx-1=xln2-sinx2+sinx=fx,

    所以f(x)是偶函數(shù).

    所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,故排除C,D.

    當(dāng)x∈0,π2時,sinx∈0,1,

    所以0<2-sinx2+sinx<1.

    所以ln2-sinx2+sinx<0.

    即f(x)<0,故排除B,選A.

    例3 (2021年廣東湛江模擬)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖2所示,則f(x)可以為(? ).

    A. f(x)=x3-3x?? B. f(x)=ex-e-xx

    C. f(x)=2x-xD. f(x)=exx

    解析 首先對4個選項(xiàng)進(jìn)行奇偶性判斷,可知f(x)=ex-e-xx為偶函數(shù),不符合題意,排除B;其次,在剩下的3個選項(xiàng),對其在0,+SymboleB@上的零點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行判斷, f(x)=exx在0,+SymboleB@上無零點(diǎn), 不符合題意,排除D;然后,對剩下的2個選項(xiàng),進(jìn)行單調(diào)性判斷, f(x)=2x-x在0,+SymboleB@上單調(diào)遞減, 不符合題意,排除C,故選A.

    點(diǎn)評 函數(shù)圖象與解析式之間的4種對應(yīng)關(guān)系:

    (1)從函數(shù)的定義域判斷圖象的左右位置,從函數(shù)的值域(或有界性),判斷圖象的上下位置;

    (2)從函數(shù)的單調(diào)性判斷圖象的升降變化趨勢;

    (3)從函數(shù)的奇偶性判斷圖象的對稱性:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,在對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,在對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反;

    (4)從函數(shù)的周期性判斷圖象是否具有循環(huán)往復(fù)特點(diǎn).

    3 函數(shù)圖象的變換

    例4 已知定義在區(qū)間[0,4]上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖3所示,則y=-f(2-x)的圖象為(? ).

    解法1 先作出函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸的對稱圖象,得到y(tǒng)=f(-x)的圖象;然后將y=f(-x)的圖象向右平移2個單位,得到y(tǒng)=f(2-x)的圖象;

    再作y=f(2-x)的圖象關(guān)于x軸的對稱圖象,得到y(tǒng)=-f(2-x)的圖象.故選D.

    解法2 先作出函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)的對稱圖象,得到y(tǒng)=-f(-x)的圖象;然后將y=-f(-x)的圖象向右平移2個單位,得到y(tǒng)=-f(2-x)的圖象.

    故選D.

    點(diǎn)評 通過圖象變換識別函數(shù)圖象要掌握的兩點(diǎn):

    (1)熟悉基本初等函數(shù)的圖象(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的圖象);

    (2)了解一些常見的變換形式,如平移變換、翻折變換.

    4 函數(shù)圖象的應(yīng)用

    例5 已知f(x)=lgx,x>0,2x,x≤0,則方程2f 2(x)-3f(x)+1=0的解的個數(shù)為.

    解析 方程2f 2(x)-3f(x)+1=0的解為f(x)=12或f(x)=1.

    如圖5,作出y=f(x) 的圖象,由圖象知直線y=12與函數(shù)y=f(x)的圖象有2個公共點(diǎn);

    直線y=1與函數(shù)y=f(x)的圖象有3個公共點(diǎn).

    故方程2f 2(x)-3f(x)+1=0有5個解.

    點(diǎn)評 利用函數(shù)圖象可以解決很多與函數(shù)有關(guān)的問題,如利用函數(shù)的圖象解決函數(shù)性質(zhì)問題,函數(shù)的零點(diǎn)、方程根的問題,有關(guān)不等式的問題等,當(dāng)方程與基本函數(shù)有關(guān)時,可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函數(shù)f(x)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),方程f(x)=g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

    參考文獻(xiàn):

    [1] 藍(lán)云波,陳國林.導(dǎo)數(shù)問題中運(yùn)用零點(diǎn)存在定理的賦值策略探究[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2016(10):54-57.

    [2] 廖永福.高考考查函數(shù)圖象的三個視角[J].數(shù)理化解題研究,2020(13):20-23.

    [責(zé)任編輯:李 璟]

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