一道三角形面積最值真題引發(fā)的探究

魏東升

摘 要：本文通過(guò)對(duì)2019年高考北京卷文科第8題及其變式進(jìn)行探究，試圖呈現(xiàn)解決一類解三角形面積最值問(wèn)題的常用思想方法.

關(guān)鍵詞：高考;解三角形;最值;方法

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）04-0069-03

解三角形和三角函數(shù)、三角恒等變形等知識(shí)一樣，是高中數(shù)學(xué)中的一塊非常重要的內(nèi)容，在歷年的高考中一直是考查的熱點(diǎn)之一.筆者在一節(jié)“正余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用”習(xí)題課中給出了一道2019年高考北京卷文科的真題，同學(xué)們出色的表現(xiàn)讓筆者感慨！為方便討論，筆者把探究過(guò)程整理如下.

1 試題再現(xiàn)

題目 如圖1，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB是銳角，大小為β，則圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為（? ）.

A.4β+4cosβ? B. 4β+4sinβ

C.2β+2cosβD. 2β+2sinβ

2 試題解析

這是一道關(guān)于解三角形最值的問(wèn)題，是選擇題中的壓軸題.主要考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，是一道不可多得的好題.

分析 如圖2，設(shè)圓心為O，連接OA，OB，OP，AB，則∠AOB=2∠APB=2β.

所以S扇形OAB=12×2β×22=4β，

S△AOB=12×2×2sin2β=4sinβ·cosβ.

記S弓形=S扇形OAB-S△AOB=4β-4sinβ·cosβ，

所以S陰影=S弓形+S△ABP，其中S弓形為定值.

所以當(dāng)S△ABP最大時(shí)，S陰影最大.

對(duì)于S△ABP最值的求法，由于題設(shè)直接給出了外接圓半徑及相應(yīng)的圖象，因而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想計(jì)算S△ABP是最自然的選擇，但如果不給圖象，且把題目作如下改編：

△ABP中，AB=4sinβ，∠APB=β，則△ABP面積的最大值為.

又該如何作答呢？筆者班上的學(xué)生見此變式甚為興奮，學(xué)生A快速地給出了如下作答：

解法1 由圖3可知，當(dāng)AP=BP時(shí)，S陰影最大.

因?yàn)锳B=4sinβ，此時(shí)

S△ABP=12×4sinβ（2+2cosβ）

=4sinβ（1+cosβ）.

通過(guò)外接圓解題無(wú)疑是最佳途徑.此法完全是“站”在剛才真題這個(gè)“巨人的肩膀”上作出的完美解答，但這在考場(chǎng)上并不容易想到，特別是在沒有“巨人”的幫助下.

這時(shí)，學(xué)生B和學(xué)生C分別給出了以下兩種思路：

解法2 假設(shè)邊PA，PB的長(zhǎng)分別為b，a，在△ABP中，AB=4sinβ，由余弦定理，得

AB2=16sin2β

=16（1-cos2β）

=a2+b2-2abcosβ

≥2ab-2abcosβ

=2ab（1-cosβ）.

即ab≤8（1+cosβ）.

從而S△ABP=12absinβ≤4（1+cosβ）sinβ.

所以△ABP面積的最大值為4（1+cosβ）sinβ.

解法3 假設(shè)邊PA，PB的長(zhǎng)分別為b，a，

結(jié)合正弦定理，知

S△ABP=12absinβ

=8sinA·sinB·sinβ

=8sinβ·sinA·sin（β+A）

=8sinβ·sinA（sinβ·cosA+cosβ·sinA）

=4sinβ·[sin2A·sinβ+cosβ·（1-cos2A）]

=4sinβ·[cosβ-cos（2A+β）]

≤4sinβ·（cosβ+1）.

所以△ABP面積的最大值為4（1+cosβ）sinβ.

解法2是在解三角形的余弦定理中巧妙地引入了均值不等式，利用了不等式的有界性，這是求二元最值的一種常見手法;解法3是把所求問(wèn)題中關(guān)于邊的變量通過(guò)正弦定理轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的變量，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.

以上兩種解法實(shí)際是我們處理解三角形最值問(wèn)題的常見方法，說(shuō)明這兩位同學(xué)的基本功很扎實(shí).就在我給學(xué)生B和學(xué)生C給予肯定話語(yǔ)時(shí)，學(xué)生D給我?guī)?lái)了驚喜：

解法4 假設(shè)邊PA，PB的長(zhǎng)分別為b，a，記S△ABP為S，在△ABP中，由S=12absinβ和

AB2=16sin2β=a2+b2-2abcosβ，

消去b整理得到關(guān)于a2的二次方程

sin2β·a4-（16sin4β+4S·sinβ·cosβ）a2+4S2

=0.

要使該方程有意義，則判別式

△=（16sin4β+4S·sinβ·cosβ）2-16sin2β·S2

≥0，

從而得到 S≤4（1+cosβ）sinβ.

所以△ABP面積的最大值為4（1+cosβ）sinβ.

解法4其實(shí)是把所求問(wèn)題看作是方程的一個(gè)變量，利用二次方程有解，用判別式非負(fù)得到所求量的最值，體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想.我情不自禁地給學(xué)生D投去了贊許的目光.

“老師，我還想到了一種方法”，數(shù)學(xué)課代表E站了起來(lái)：

解法5 以圓心為原點(diǎn)建立如圖4所示的直角坐標(biāo)系，其中A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱.

在△ABP中，AB=4sinβ，經(jīng)計(jì)算可得

A（-2sinβ，-2cosβ），

B（2sinβ，-2cosβ）.

假設(shè)P（2cosα，2sinα），則

AP=（2cosα+2sinβ，2sinα+2cosβ），

BP=（2cosα-2sinβ，2sinα+2cosβ），

S△ABP=12|（2cosα+2sinβ）（2sinα+2cosβ）

-（2cosα-2sinβ）（2sinα+2cosβ）|

=124sinβ（2sinα+2cosβ）≤4sinβ（1+cosβ）.

所以△ABP面積的最大值為

4（1+cosβ）sinβ.

不愧是數(shù)學(xué)課代表，本法實(shí)際上是三角函數(shù)、解三角形和向量的綜合運(yùn)用，其通過(guò)坐標(biāo)很好地把三角形面積這個(gè)幾何問(wèn)題進(jìn)行代數(shù)化.更難能可貴的是，她還記住了剛學(xué)不久的三角形面積公式的坐標(biāo)表示！同學(xué)們不禁為她出色的表現(xiàn)鼓起了掌…

解題往往是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一條重要途徑，通過(guò)解題能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想方法的深入理解，進(jìn)而學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思維去解決不局限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的生活中的許多問(wèn)題.重視解題過(guò)程中的素養(yǎng)滲透，能夠?qū)崿F(xiàn)學(xué)生從追求解題到追求解決問(wèn)題的思維轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)教師從培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力到提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的導(dǎo)向轉(zhuǎn)變.從這個(gè)角度上來(lái)講，解題教學(xué)中的方法、手段和目的都顯得非常重要.

參考文獻(xiàn)：

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呂二動(dòng)，劉占權(quán).高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課“一類函數(shù)的最值”案例評(píng)析[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)，2017（05）：36-38.

[2] 姚宗亮.一道三角形的面積最值問(wèn)題的解法探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2018（33）：35-36.

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