一題多解 一題多變

楊憲偉

摘 要：含參函數(shù)壓軸問(wèn)題是高考的重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).本文以一道試題的多解和多變?yōu)槔?，淺析高考試題中含參函數(shù)壓軸問(wèn)題的處理策略.

關(guān)鍵詞：含參函數(shù);一題多解;一題多變;深度學(xué)習(xí)

中圖分類(lèi)號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2022）04-0037-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂）提出，高中數(shù)學(xué)課程要以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱(chēng)“四基”）;提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力（簡(jiǎn)稱(chēng)“四能”）.數(shù)學(xué)解題教學(xué)就是落實(shí)“四基”“四能”的重要過(guò)程，教師要積極開(kāi)展一題多解和一題多變活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、克服弱點(diǎn)、攻破難點(diǎn)、解決疑點(diǎn)，總結(jié)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的策略.

1典例分析

例1 已知直線(xiàn)y=x+1與曲線(xiàn)y=ln（x+a）相切，求a的值.

策略1 設(shè)切點(diǎn)，方程思想.

設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則

m+1=ln（m+a）.①

又因?yàn)閥′=1x+a，所以k=1m+a=1.

即m+a=1.代入①式，得m+1=0.

所以m=-1，a=2.

點(diǎn)評(píng) 本法涉及的知識(shí)是必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)，蘊(yùn)含的是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法和基本思想，是變式引申的基礎(chǔ)和鋪墊.

策略2 借圖象，幾何直觀.

曲線(xiàn)y=lnx在（1，0）處的切線(xiàn)為y=x-1，所以直線(xiàn)y=x+1與曲線(xiàn)y=ln（x+2）相切.故a=2.

點(diǎn)評(píng) 本法從熟悉的一個(gè)知識(shí)結(jié)合函數(shù)圖象平移快速解決問(wèn)題，是必需積累的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

2變式引申

變式1 已知函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（?? ）.

A.（-∞，0）?? B.（0，12）

C.（0，1）D.（0，+∞）

策略3 半分離，數(shù)形結(jié)合.

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以f ′（x）=lnx-2ax+1=0至少有兩個(gè)解.

即方程lnx=2ax-1至少有兩個(gè)解.

故函數(shù)y=lnx和y=2ax-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

圖1

直線(xiàn)y=x-1與曲線(xiàn)y=lnx相切，結(jié)合圖1可知：0<2a<1.

即0

點(diǎn)評(píng) 本法的主要策略就是分而治之，數(shù)形結(jié)合，這也是常見(jiàn)的處理含參問(wèn)題的一種方法，我們稱(chēng)之為“半分離，數(shù)形結(jié)合”.

策略4 不分離，分類(lèi)討論.

令g（x）=lnx-2ax+1，則g′（x）=-2ax+1x.

①當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）>0在（0，+∞）恒成立，f ′（x）=lnx-2ax+1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)，故不滿(mǎn)足條件;

②當(dāng)a>0，00;

當(dāng)x>12a時(shí)，g′（x）<0.

所以g（x）在（0，12a）上單調(diào)遞增，在（12a，+∞）上單調(diào)遞減.

所以g（12a）=ln12a>0.

即12a>1.

所以0

策略5 求值域，極限說(shuō)明.

作為選擇題，可以確定選B，但如果是解答題，必須保證圖象是圖2這樣才可以，即函數(shù)兩側(cè)的圖象必須在x軸的下方

.事實(shí)上，當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→-∞;當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→-∞，故0

圖2

策略6 要證明，嚴(yán)謹(jǐn)找點(diǎn).

如果作為解答題，要避開(kāi)極限，可以找點(diǎn)用零點(diǎn)的存在性定理嚴(yán)謹(jǐn)證明.

1e∈（0，12a），g（1e）=-12a<0，1a2∈（12a，+∞），g（1a2）=2ln1a-2a+1≤2（1a-1）-2a+1=-1<0（用到了常見(jiàn)的對(duì)數(shù)放縮lnx≤x-1，書(shū)寫(xiě)步驟時(shí)需要證明），故0

點(diǎn)評(píng) 本法也是常見(jiàn)的處理含參問(wèn)題的一種方法，我們稱(chēng)之為“不分離，分類(lèi)討論”.若作為解答題，可以用極限思想解決問(wèn)題，也可以通過(guò)找點(diǎn)用零點(diǎn)的存在性定理嚴(yán)格證明，但找點(diǎn)難度比較大，選取的時(shí)候要兼顧函數(shù)值計(jì)算簡(jiǎn)單和滿(mǎn)足要求這兩條，有時(shí)甚至需要借助指對(duì)放縮加以說(shuō)明.

策略7 全分離，研究函數(shù).

lnx-2ax+1=0，即a=lnx+12x.

令h（x）=lnx+12x，則h′（x）=-lnx2x2.

當(dāng)00;當(dāng)x>1時(shí)，h′（x）<0.所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減.

由h（1e）=0，當(dāng)x>1e時(shí)，h（x）>0，可以畫(huà)出h（x）的大致圖象（圖3），h（1）=12，所以得到0

圖3

策略8 遇困難，適當(dāng)放縮.

和剛剛面臨的情況一樣，0

易證lnx≤x-1，所以lnx≤x-1.

即lnx≤2x-2.

故當(dāng)x>1時(shí)，h（x）=lnx+12x≤2x-12x<12x.

故對(duì)于任意的0

點(diǎn)評(píng) 這種方法主體是“全分離，研究函數(shù)”，若作為解答題，必須要繼續(xù)嚴(yán)謹(jǐn)證明.但是端點(diǎn)的函數(shù)值不確定時(shí)可以用極限或洛必達(dá)法則說(shuō)明.事實(shí)上，函數(shù)y=lnx+1的增長(zhǎng)速度比函數(shù)y=2x的增長(zhǎng)速度慢，所以x→+∞時(shí)，h（x）→0.若要避開(kāi)極限和洛必達(dá)法則，可以通過(guò)放縮，轉(zhuǎn)化為熟悉函數(shù).

變式2 已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1

A.f（x1）>0，f（x2）>-12

B.f（x1）<0，f（x2）<-12

C.f（x1）>0，f（x2）<-12

D.f（x1）<0，f（x2）>-12

策略9 隱零點(diǎn)，整體代換.

易知：01.

所以f（x1）=x1（lnx1-ax1）<0.

而x2是方程lnx-2ax+1=0的解，

所以lnx2-2ax2+1=0.

即ax2=lnx2+12.

所以f（x2）=x2（lnx2-ax2）=

x2（lnx2-1）2.

令φ（x）=x（lnx-1）2（x>1），則

φ′（x）=lnx2>0.

所以φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

而x2>1，故f（x2）=φ（x2）>φ（1）=-12，故選D.

點(diǎn)評(píng) 本題中不能準(zhǔn)確求出x2，但卻滿(mǎn)足恒等式，也就是說(shuō)x2從理論上講是確定的，我們稱(chēng)之為“隱零點(diǎn)”，處理這種問(wèn)題的主要手段就是整體代入消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求解，我們把這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為“隱零點(diǎn)代換”.

策略10 用導(dǎo)數(shù)，整體代換.

由變式1可得：當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f ′（x）>0，所以f（x）在（x1，x2）上單調(diào)遞增.

而x1<1又因?yàn)?

故f（x1）<0，f（x2）>-12.

以上十種含參函數(shù)問(wèn)題的解題策略中蘊(yùn)含著的正是解決該類(lèi)問(wèn)題的基本方法和基本思想.在解題教學(xué)中，我們不僅要關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，更要關(guān)注基本思想的滲透和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，要注重培養(yǎng)學(xué)生高階思維，提升學(xué)生綜合能力，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]

中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2018.

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