微分在代數(shù)證明中的兩個應(yīng)用

申 靜， 劉 歡

(1.河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，鄭州450001； 2.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，鄭州450001)

1 引 言

數(shù)域P上n階方陣A的特征值λ0是其特征多項式|λE-A|的根，根的重數(shù)是特征值λ0的代數(shù)重數(shù)，而幾何重數(shù)是屬于該特征值λ0的特征子空間Vλ0={x∈Pn|Ax=λ0x}的維數(shù).幾何重數(shù)小于等于代數(shù)重數(shù)是線性代數(shù)的一個結(jié)論，在判斷矩陣是否與對角矩陣相似這一問題上發(fā)揮著重要作用.眾所周知，數(shù)域P上n階方陣A相似于對角矩陣的一個充要條件是A的所有特征子空間的維數(shù)之和等于n[1].考慮到代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)的關(guān)系，充要條件可換為A在數(shù)域P上有n個特征值，且所有特征值的代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)對應(yīng)相等[2].換言之，如果A的某一特征值的代數(shù)重數(shù)不等于幾何重數(shù)，則A不與任何對角矩陣相似，不必驗證所有特征值的幾何重數(shù)之和是否等于n，這樣就大大減少了計算量.因此，證明幾何重數(shù)小于等于代數(shù)重數(shù)顯得尤為重要.與現(xiàn)有的證明思路不同，本文不再是單純的利用線性代數(shù)知識，而是結(jié)合行列式函數(shù)的微分，給出一個新的證明過程.此外，本文通過構(gòu)造輔助函數(shù)，并利用微分證明一個關(guān)于線性變換和向量積的恒等式.

2 主要結(jié)果和證明

2.1 基礎(chǔ)知識

引理1[1]設(shè)α1(λ)，α2(λ)，…，αn(λ)是數(shù)域P上關(guān)于λ的n維列向量函數(shù)，則

引理2設(shè)數(shù)域P上n階方陣A的特征多項式為f(λ)=|λE-A|，將λE-A按照列分塊為

λE-A=(β1(λ)，β2(λ)，…，βn(λ))，

對任意的正整數(shù)m≤n，則

其中Λ={(x1，x2，…，xm)|1≤x1，x2，…，xm≤n，且是互不相等的整數(shù)}，ej表示n階單位矩陣的第j列元素組成的列向量.

det(β1，…，βj1-1，ej1，βj1+1，…，βjm-1，ejm，βjm+1，…，βn)，

(j1，j2，…，jm)∈Λ的線性組合，且組合系數(shù)是一一映射{1，2，…，m}{j1，j2，…，jm}的個數(shù)m!.即證.

推論1特征多項式f(λ)的導(dǎo)數(shù)和主子式之間滿足下述關(guān)系

定義1對任意的u，v∈3，則向量積

其中e1，e2，e3是3的標(biāo)準(zhǔn)正交基.

2.2 應(yīng)用案例一

定理1設(shè)n階方陣A的特征值λ0的幾何重數(shù)為t，則s≥t.

證根據(jù)推論1和引理3可知

(1)

斷言：λ0E-A至少有一個非零的n-s階主子式.否則，n-s階主子式全為0，與(1)式矛盾.根據(jù)矩陣秩的判定準(zhǔn)則可知方陣λ0E-A的秩r≥n-s，從而可得特征值λ0的幾何重數(shù)t=n-r≤n-(n-s)=s.即證.

下面給出判定代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù)的兩個充分條件：

推論2n階方陣A的特征值λ0的代數(shù)重數(shù)為1，則λ0的幾何重數(shù)也為1.

證由于λ0為A的特征值，則|λ0E-A|=0，從而有rank(λ0E-A)0，再根據(jù)定理1可知t≤1.即證t=1.

推論3實對稱矩陣的每一個特征值的代數(shù)重數(shù)等于幾何重數(shù).

2.3 應(yīng)用案例二

定理2對任意的u，v∈3，A∈3×3，則

(Au)×v+u×(Av)=trace(A)(u×v)-AT(u×v).

(2)

存在δ>0，對任意的|t|<δ，使得det(E+tA)>0.當(dāng)|t|<δ時，令

3 結(jié) 論

本文從微分的角度出發(fā)，證明了代數(shù)中的兩個結(jié)論：矩陣的特征值的代數(shù)重數(shù)大于等于幾何重數(shù)，關(guān)于線性變換和向量積的一個恒等式.本文給出了微分在代數(shù)中應(yīng)用的兩個案例，更多交叉應(yīng)用的案例可以參見文獻[3，4].

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.