線性代數(shù)課程思政設(shè)計及實踐

張 莉， 王 琤

(同濟大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海200092)

1 引 言

教育活動的本質(zhì)主要有三個方面，一是知識和方法的傳授，二是素質(zhì)和能力的培養(yǎng)，三是品質(zhì)和價值的引領(lǐng).現(xiàn)今教育中，課堂里主要還是以學(xué)知識提能力為主，分?jǐn)?shù)教育和技能教育仍占主導(dǎo)地位，而對于教育中的點睛之筆“價值引領(lǐng)”方面反而有所缺失.如何充分發(fā)揮課程本身的教育功能，把專業(yè)課程的教學(xué)內(nèi)涵與思想政治教育要求相結(jié)合，這是每位教師在教學(xué)活動中都應(yīng)思考和研究的問題.2016年，習(xí)近平總書記在全國高校思政會議上提出的“各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)”得到各高等院校的高度重視.自此，課程思政成為各高校教學(xué)改革的重要方向.例如，文[1]總結(jié)了線性代數(shù)課程中的若干已有思政元素，以及如何發(fā)展這些元素以實施課程思政目標(biāo)的四點注意事項；文[2]介紹了數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課程思政的四個層次.但如何在非思政類課程中融入思政元素，系統(tǒng)地設(shè)計相應(yīng)的教學(xué)案例，仍然是一個亟待解決的教改問題.文[3]提出按照教學(xué)過程先后順序設(shè)計案例的思路；文[4]提出從數(shù)學(xué)文化等角度挖掘線性代數(shù)課程思政的設(shè)計思路；文[5]提出了從特殊數(shù)字、數(shù)學(xué)發(fā)展史、科學(xué)家故事、馬克思哲學(xué)思想和數(shù)學(xué)知識點五個方面開展課程思政的思路.

伴隨著同濟大學(xué)線性代數(shù)課程思政教學(xué)改革的開展，近幾年筆者開始自覺地有意識地挖掘一些線性代數(shù)課程思政元素，并進行提煉、總結(jié)和實踐.與前述文獻不同，本文將介紹從價值觀的不同層面進行線性代數(shù)課程思政案例設(shè)計，即以明確的“價值引領(lǐng)”目標(biāo)為導(dǎo)向的設(shè)計思路.通過教改實踐發(fā)現(xiàn)：即使是非思政類課程，也可以有很生動的語言，也可以將專業(yè)內(nèi)容與思政要素很好結(jié)合，并使得教學(xué)中的價值引領(lǐng)從自發(fā)到自覺、從感性到理性，真正實現(xiàn)潤物細(xì)無聲的德治融合.

2 線性代數(shù)課程思政的設(shè)計思路

在線性代數(shù)課程中，教師可以通過以下幾個方面引導(dǎo)學(xué)生從其歷史、特性和相關(guān)知識點出發(fā)接受世界觀、人生觀、價值觀的再教育，從而將思政教育有機地融入教學(xué)過程.

2.1 了解數(shù)學(xué)歷史，承習(xí)科學(xué)家精神

線性代數(shù)的理論最初來源于一次方程組的研究，現(xiàn)實中有許多問題都可以歸結(jié)為線性方程組的問題，例如中國古代算術(shù)中的“牛羊問題”：“今有牛五羊二，直金十兩，牛二羊五，直金八兩，問牛羊各直幾金？”教師可以用此例作為引例，探討線性方程組的由來，由此延伸到代數(shù)一詞來自于清代數(shù)學(xué)家李善蘭的翻譯，進而給出代數(shù)學(xué)的背景.再進一步引導(dǎo)學(xué)生將方程組系數(shù)分離出來，說明矩陣的來歷.這些在中國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中也有體現(xiàn)，以此引申出矩陣這個重要工具.當(dāng)教師以這樣的數(shù)學(xué)知識的發(fā)展歷史出發(fā)來進行引導(dǎo)時，一方面學(xué)生比較容易理解知識的來龍去脈，另一方面也能引導(dǎo)學(xué)生廣泛閱讀經(jīng)典，挖掘數(shù)學(xué)知識的背景，了解知識的發(fā)展歷程.

再比如在講到方陣的行列式時，可以引導(dǎo)學(xué)生去查找并閱讀行列式的歷史，指出該概念最早由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在著作《解伏題之法》中提出，后來由法國數(shù)學(xué)家柯西進一步發(fā)展行列式的理論，他把元素排成方陣并首次采用雙重足標(biāo)的新記法，從而使得行列式的形式看起來比較簡單易懂.這個故事與后面克拉默法則引入時的歷史故事也可以前后遙相呼應(yīng).在講述克拉默法則時教師也可以挖掘背后故事，該法則最早由英國數(shù)學(xué)家麥克勞林得到，但克拉默的優(yōu)越記號使之流傳.

由此可見，科學(xué)家精神不僅是有鉆研精神，還包括理性思維、批判思維、創(chuàng)新思維和唯美追求.通過這些數(shù)學(xué)歷史和相關(guān)故事，能引導(dǎo)學(xué)生全面地學(xué)習(xí)科學(xué)家精神.

2.2 感悟數(shù)學(xué)特性，樹立嚴(yán)謹(jǐn)與求實精神

數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)，本身就是以嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)著稱的.不論是在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)中，還是在規(guī)范的數(shù)學(xué)公式與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)表述中，教師都可以有意識地引導(dǎo)并培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)求實的學(xué)習(xí)態(tài)度、規(guī)范認(rèn)真的學(xué)習(xí)習(xí)慣和踏實務(wù)實的人格特性.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身就是一個不斷探索的過程.教師可以在教學(xué)設(shè)計中進行一些問題式教學(xué)，讓學(xué)生在問題中不斷進行自主探索.比如在講到等價矩陣具有相同的秩時，可以很自然地問學(xué)生其逆命題對否，引導(dǎo)學(xué)生來發(fā)現(xiàn)其中的“漏洞”，即矩陣的“型號”可以不同，故而不等價.再進一步引導(dǎo)學(xué)生補全漏洞，如果已知兩個矩陣是同型號的，該結(jié)論是否成立呢？由此引導(dǎo)學(xué)生不斷完善條件、嚴(yán)謹(jǐn)求實、規(guī)范書寫、嚴(yán)格求證，從而最終完成整個充要條件的證明.這樣的教學(xué)設(shè)計還可以有很多，又如能寫成非零列矩陣乘以非零行矩陣的矩陣A的秩為1，馬上可以反問學(xué)生，逆命題對否？是不是充要條件？如何給出嚴(yán)格規(guī)范的證明？再比如在講矩陣的乘法運算時，可以不斷拋出問題鏈，請學(xué)生來依次解決這些問題鏈上的問題：矩陣乘法是否有條件？(引導(dǎo)學(xué)生得到有條件)矩陣乘法是否滿足交換律？(引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)交換后不一定可以相乘)如果矩陣交換后可以相乘，是否還可交換？(鼓勵學(xué)生找到這樣的例子)如果矩陣可交換，其型號必然有什么特點？這一系列的問題環(huán)環(huán)相扣、層層遞進，學(xué)生可以在回答問題鏈的過程中去還原科學(xué)探索的過程，并歸納提取出抽象的定義和一些重要的結(jié)論.

2.3 多角度理解知識，建立全方位的世界觀

線性代數(shù)課程的很多知識點都可以從多個角度去理解.通過不同角度來看待同一知識點，既可以幫助學(xué)生多角度滲透了解知識，又可以引導(dǎo)學(xué)生對任何事物或任何人都要多角度全方位看待，不能過于局限和狹隘，從而教育學(xué)生要有廣闊的視野、寬廣的胸襟和宏大的格局.

線性方程組是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容，整個課程都可以以此來入手，畢竟這是學(xué)生最熟悉的“代數(shù)”，同時，也可以和中學(xué)內(nèi)容很好地銜接.當(dāng)從代數(shù)角度引導(dǎo)學(xué)生比較“有效方程個數(shù)”與未知量個數(shù)，從而會判定其解的情況，并會求解其相應(yīng)的解之后，又可以換到幾何角度，如果關(guān)心方程組是否有解，對應(yīng)到幾何上，其實就是向量β是否可以由向量組A線性表示，其解即為其表示的系數(shù)；進一步，也可以將齊次線性方程組是否具有非零解的情況對應(yīng)到幾何上向量組是否線性相關(guān)的情形來理解.與此同時，還可以給學(xué)生推薦科普視頻(比如3 Blue Brown的線性代數(shù)的本質(zhì))，引導(dǎo)學(xué)生全方位多角度地理解和運用線性方程組理論.

再比如在講到最大線性無關(guān)組的概念時，可以進行教學(xué)設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生從多個角度來理解.比如給一個具體向量組，請學(xué)生找出其個數(shù)最多的一個線性無關(guān)子組；再從某個非零向量出發(fā)，請學(xué)生不斷擴大，使其成為一個極大線性無關(guān)子組；還可以請學(xué)生在整個向量組中找一個等價的線性無關(guān)子組.從具體的問題和例子入手，引導(dǎo)學(xué)生探究其共性、討論其異同、分析其等價，通過仔細(xì)觀察、大膽猜測、小心求證，學(xué)生可以更深刻更全面地理解這個概念.同時，也可以進一步引導(dǎo)學(xué)生將向量組的秩與矩陣的秩進行對比理解，了解其本質(zhì)，進而從不同角度來看待同一個知識點，全方位去理解最大線性無關(guān)組和向量組的秩，并探究其本質(zhì)，從而理解更加深入全面.

通過這樣的多角度探索，可以讓學(xué)生全方位多角度地觀察事物的各類表象，了解其辯證統(tǒng)一，進而理解其本質(zhì)，體會其萬變不離其宗的奧妙，感受到知識核心的本質(zhì)與數(shù)學(xué)抽象的美[6].

2.4 挖掘應(yīng)用案例，激發(fā)勇于探索的熱情

線性代數(shù)課程在現(xiàn)實生活的方方面面都有各種應(yīng)用[7]，在各個新工科領(lǐng)域如信息技術(shù)、醫(yī)學(xué)圖像、特征識別、人工智能、數(shù)據(jù)應(yīng)用等多個方面都有十分豐富的應(yīng)用案例.教師可以在教學(xué)過程中充分挖掘這些應(yīng)用案例，通過與同學(xué)們學(xué)習(xí)生活及專業(yè)息息相關(guān)的案例探究總結(jié)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，鼓勵學(xué)生勇于探索的科研精神.

對于一些較簡單的案例，可以直接在課堂講解中給出.比如在講到可逆矩陣時，可以給出一段有趣的明文(如I love math)和密文，提出問題，并通過具體實例給學(xué)生講解如何利用可逆矩陣來消除頻率特征，通過密鑰來進行解密.再比如在講到線性方程組時，也可以講到方程組在GPS定位系統(tǒng)中的應(yīng)用，設(shè)某同學(xué)位于某點P(x，y，z)，給出三顆衛(wèi)星的位置及坐標(biāo)，設(shè)為A、B、C，利用衛(wèi)星返回的數(shù)據(jù)，計算出該同學(xué)在該時刻較準(zhǔn)確的位置.通過這些實例探究，可以激發(fā)學(xué)生去探索知識的應(yīng)用.

如果課時有限，無法完全在課堂上展示相關(guān)案例，也可以引導(dǎo)學(xué)生去查閱相關(guān)資料，利用課余時間去閱讀應(yīng)用材料.比如在講完特征值特征向量后，可以推薦與PageRank相關(guān)的材料，引導(dǎo)學(xué)生去探索搜索引擎背后的秘密，探究如何將多個頁面進行合理排序，使其按照重要性進行排序.同時，也可以進一步引導(dǎo)學(xué)生進行思考，如何將其用在論文質(zhì)量評估上(如論文引用情況)、如何用在學(xué)術(shù)論文作者的重要性排序上、如何用在網(wǎng)絡(luò)爬蟲上(考慮需抓取的網(wǎng)頁數(shù)量和深度)等.

如果能與相關(guān)實踐項目相結(jié)合，還可以請同學(xué)們進行一些實踐活動與調(diào)查.比如可以結(jié)合學(xué)校餐廳的就餐人員流動情況，請同學(xué)們進行相關(guān)的實際調(diào)查，建立數(shù)學(xué)模型，了解校園各個餐廳就餐人數(shù)的流動關(guān)系，請同學(xué)們分析總結(jié)出相關(guān)的實際關(guān)系，并研討如何將特征值與特征向量用在其中，這樣同學(xué)們可以在實踐中充分利用所學(xué)知識來分析其原因.這樣的開放性應(yīng)用案例既可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，又能激發(fā)學(xué)生去探索知識的應(yīng)用，從而點燃學(xué)生的探索熱情.

3 線性代數(shù)課程思政的實施方式

在充分挖掘教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上，教師在授課過程中可以用抽象的數(shù)學(xué)知識與有趣的生活語言或樸素的形象描述相結(jié)合的方式來開展課程思政[8].這種實施方式既能在課堂中隱性地融入價值引領(lǐng)，又能增加課程的趣味性，還能用更形象具體的語言來幫助學(xué)生理解抽象的概念，從而做到課程處處是思政.下面具體介紹一些這樣的教學(xué)內(nèi)容和實施案例.

3.1 行列式的性質(zhì)與矩陣的初等變換

在介紹行列式的性質(zhì)及矩陣的初等變換時，其變換都是以行或列為單位來進行的，比如換行，比如某一行的k倍加到另一個行上，比如某一行乘非零數(shù)k等.在講授此部分內(nèi)容時，就可以講到行列式或者矩陣的這些變換都有一個共性，那就是“以行或列這個小組為單位進行集體行動”，每個元素都不允許“私自單獨行動”，從而引入每人都要有集體意識的思政元素.

如果課時允許，針對不同層次的學(xué)生，教師還可以進一步借助行列式的定義或線性方程組的同解變換來解釋下，為何要“以行(或列)為小組”，從而讓學(xué)生了解其本質(zhì)和源由，這樣不僅能深入理解知識，而且能形象易懂，增加課程趣味性.

3.2 行列式的展開

在講到行列式的展開時，教師可以提到行列式展開的本質(zhì)就是降階計算的思想，這對于計算來講，也是很自然的想法.進一步，在行列式按行(或列)進行展開時，確實實現(xiàn)了降階的目的——本來是求一個n階行列式，現(xiàn)在只需求若干個n-1階行列式.但是，注意到在降階的過程中雖然行列式的階數(shù)降低了，但行列式的個數(shù)增加了，從而引申出“天上不會掉餡餅”，要有回報必須得有付出，或者用諸如“有得必有舍”“凡事都要付出代價”等生活中淺顯易懂的思政語言來形象解釋，從而進一步延伸開來引導(dǎo)學(xué)生思考：在展開中應(yīng)該選擇哪一行才能使得“付出的代價”最小呢？學(xué)生很自然地就會想到選擇零多的行來展開，利用行列式的性質(zhì)可以“造零”.于是在計算行列式的時候常常一邊用性質(zhì)化簡“造零”，一邊進行展開降階，這也就不足為怪了.通過這種引導(dǎo)，既可以促進學(xué)生進行自主思考，提升學(xué)習(xí)興趣，又能使學(xué)生明白“若欲收獲福報，必先學(xué)會付出”，從而悄無聲息地將價值觀和思政元素融入到了專業(yè)課堂之中.

3.3 線性空間的判定

對于工科同學(xué)來說，線性代數(shù)中最難理解的概念之一就是線性空間了.在講到線性空間的判定時，通常會介紹兩種方法，一是直接用定義來驗證，這需要驗證八條公理及線性運算的封閉性，第二種方法是用線性子空間的方法來驗證，此時只需驗證它是某個已知線性空間的子空間，而這只需驗證線性運算的封閉性，相較于用定義驗證，子空間的方法顯然要簡單得多.但是，這種方法雖然不需要驗證八條公理了，卻需知曉一些“大”的線性空間，從而讓它是“大空間”的子空間.此時，就可以引入要有全局意識的思政元素，引導(dǎo)學(xué)生要有大局觀，在大格局下看待事物.當(dāng)然，這里也可以引入“回報需有付出”：要想少驗證八條公理，必須事先了解一些已知的“大空間”.這樣的語言相對來說比較生活化，既能幫助學(xué)生理解抽象的知識概念，又能達到協(xié)同育人的良好效應(yīng).

3.4 向量空間的一組基

基是向量空間的一個非常重要的概念，在講到基的概念時，可以用較活潑的語言來描述：基是空間的“代表元小組”，它可以生成整個空間，另一方面，在幾何上，基中的每個元素都代表一個“方向”，這些方向合起來就能表示整個空間，而且這個“代表元小組”是最“精煉”的線性無關(guān)子組，它們沒有“重復(fù)信息”，不能互相線性表示.由此可以用很自然的生活語言來表示，要想成為集體的代表小組成員，必須有自己的獨特“方向”，同時，也激發(fā)學(xué)生要努力學(xué)習(xí)、刻苦鉆研，成為建設(shè)祖國的棟梁之才.

3.5 方陣的相似對角化

在講到方陣的相似對角化時，是否能夠相似對角化，這也是一個知識上的重難點，需要用許多概念來做鋪墊，比如特征值與特征向量，比如代數(shù)重數(shù)與幾何重數(shù)等等.教師可以在講解中，用生動形象的語言，用特征值來分組(每個不同特征值代表一個小組)，希望每個小組提供最多的線性無關(guān)的特征向量，以此“湊”出n個線性無關(guān)的特征向量，從而達到相似對角化的目的.這其中，就要求每個小組的幾何重數(shù)要與代數(shù)重數(shù)相等，也就是說相似對角化的條件是要求“每個小組都要達標(biāo)，缺一不可”.由此可以引導(dǎo)學(xué)生要有國家意識，要有集體觀念，不能拖集體的后腿，要真正做到“不肯自棄暴，力欲爭上游”.

3.6 唯一性的證明

在線性代數(shù)課程中，有好幾個涉及到唯一性的證明，其方法都有類似之處.如方陣的逆矩陣的唯一性、線性空間中零元素的唯一性、線性空間中元素的負(fù)元的唯一性等.在這些唯一性的證明過程中，都是采用反證法.以逆矩陣的唯一性為例[9]，假設(shè)方陣A的逆矩陣不唯一，設(shè)矩陣B，C都是A的逆矩陣，將目標(biāo)矩陣A置于中間，左乘B右乘C，利用結(jié)合律即可得到B=C.在這幾個涉及唯一性的證明過程中，其實就蘊含了公平、公正、透明的原則在其中，對B與C毫無偏頗，以此也可以很自然地引導(dǎo)學(xué)生在公民人格上的平等與公正，從而引出思政教育內(nèi)容，希望學(xué)生在任何時候都應(yīng)該秉持公正公平的原則，做一個剛正不阿、大公無私的人.

4 教學(xué)效果

教師近兩年來通過在課堂教學(xué)中有意識地融入“課程思政”元素，提高了學(xué)生的上課積極性，活躍了課堂氣氛，學(xué)生也更喜歡參與到課堂討論中.從學(xué)生的問卷調(diào)查數(shù)據(jù)和學(xué)生的評教意見來看，學(xué)生對課堂思政和課堂效果的滿意度普遍較高.很多同學(xué)紛紛表示，“老師能像講故事一樣來講線性代數(shù)，很讓人著迷”，“用形象的語言來描述抽象的數(shù)學(xué)知識，有趣易懂，能學(xué)到很多東西”.針對課程思政的教學(xué)效果，就下面五個問題進行了在線問卷調(diào)查.

表1 在線問卷調(diào)查

問卷調(diào)查的統(tǒng)計結(jié)果見圖1，參與問卷的共114位同學(xué)，其中97%以上的學(xué)生表示增加課程思政元素的授課方式，使其增強了學(xué)習(xí)的主動性，并在德和智兩方面都有所收獲.

圖1 問卷調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果

與此同時，學(xué)生的課程考試成績也有了較好提升，學(xué)生成績的不及格率也一直呈下降趨勢，優(yōu)良率則呈上升趨勢，具體的成績對比見圖2.

圖2 課程考試成績對比圖

5 總 結(jié)

本文系統(tǒng)總結(jié)了開展線性代數(shù)課程思政的幾個主要設(shè)計思路，并結(jié)合實例探討了如何用問題調(diào)動學(xué)生積極性，如何將抽象的數(shù)學(xué)概念與生動的生活語言相結(jié)合，如何由淺入深、由表及里、深入開展學(xué)生的世界觀、人生觀和價值觀的再教育.就筆者開展課程思政的過程和效果來看，只要精心設(shè)計好教學(xué)內(nèi)容，充分挖掘教材知識，巧妙利用多種教學(xué)方法，可以很好地在自然科學(xué)課程中全面貫徹課程思政的相關(guān)元素，真正做到以學(xué)生為中心，實現(xiàn)立德樹人的綜合教育理念.另一方面，引入課程思政，融合德治，也能激發(fā)學(xué)習(xí)源動力，有助于學(xué)生全面深刻地掌握專業(yè)知識.事實上，思政教育與專業(yè)教育水乳交融，是一個完整而不可分割的整體.

致謝作者非常感謝審稿專家提出的細(xì)致建議和寶貴意見以及相關(guān)文獻對本文的諸多啟發(fā).