高階差等比數(shù)列通項公式的矩陣解法

戴中林

(西華師范大學 數(shù)學與信息學院，四川 南充637002)

1 引 言

若一正整數(shù)列

a1，a2， …，an， ….

(1)

應用逐差法經(jīng)若干階差后得到一等比數(shù)列，則稱數(shù)列(1)為高階差等比數(shù)列. 關于高階差等比數(shù)列這一新型的數(shù)列課題，近年來廣大數(shù)學工作者對該類數(shù)列求通項公式的方法進行了深入的研究， 通過應用不同的數(shù)學方法得到了各種不同形式的結(jié)果[1-4]，從而解決了求高階差等比數(shù)列通項公式及前n項和的這一數(shù)學問題.

例如文[1]和[2]給出了如下結(jié)果.

定義若一正整數(shù)列應用逐差法時，其前r階差不是等比數(shù)列，而第r+1階差是等比數(shù)列，則稱該數(shù)列為r階差等比數(shù)列.

在此定義下，當原數(shù)列為r階差等比數(shù)列，其首項為a1，各階差首項為d1，…，dr，經(jīng)逐差法后得到的等比數(shù)列首項為b，公比為q.則

文[1]的通項公式為

文[2]的通項公式為

從上述兩通項公式可以看出，公式構成雖然非常簡單規(guī)范且便于記憶，但由于第三部分和式關于公比q的項數(shù)有n-r-2項，當n越大時其項數(shù)也越多，故導致相應的計算量相應增大. 為解決此類公式在實際應用中的不足，通過對高階差等比數(shù)列的通項公式進一步深入研究，發(fā)現(xiàn)可將其設為與高階等差數(shù)列通項公式[5]以及等比數(shù)列通項公式相關的形式，基于矩陣變換及差分算子的思想得到求其通項公式中系數(shù)的解矩陣. 從而給出了高階差等比數(shù)列通項公式及前n項和的一種新方法.

不加說明，文中所涉及的字母均為正整數(shù).

2 高階差等比數(shù)列通項公式的標準形式

引理設數(shù)列(1)為一階差等比數(shù)列，且等比數(shù)列公比為q，則該一階差等比數(shù)列的通項形式為

an=αqn-1+(β1n+β2).

證設數(shù)列(1)為一階差等比數(shù)列. 由逐差法，其一階差數(shù)列為

b1，b2， …，bn， …

(2)

則二階差數(shù)列應為等比數(shù)列，設為

λ0，λ0q， …，λ0qn-2， ….

故由數(shù)列(2)，有

bk-bk-1=λ0qk-2(k=2，…，n).

將上述n-1個等式兩端求和，即得

bn=b1+λ0(1+q+q2+…+qn-2)，

對q求和并重新設置待定常數(shù)可得

bn=λ1qn-1+β1(λ1，β1為常數(shù)).

又由數(shù)列(1)，有

a2-a1=b1=λ1+β1，

a3-a2=b2=λ1q+β1，

……

an-an-1=bn-1=λ1qn-2+β1.

對上述的等式兩端求和，同前方法重新設置待定常數(shù)即得到一階差等比數(shù)列通項公式

an=αqn-1+(β1n+β2)，

其中α，β1，β2為待定常數(shù).

應用上述引理可得r階差等比數(shù)列的通項形式.

定理1設數(shù)列(1)為r階差等比數(shù)列，由逐差法得到的等比數(shù)列的公比為q，則該r階差等比數(shù)列的通項形式為

an=αqn-1+(β1nr+β2nr-1+…+βr+1)，

其中α，β1，…，βr+1為待定常數(shù).

證應用數(shù)學歸納法證明.

當r=1時，由引理，結(jié)論成立.

設r=k時，設數(shù)列(1)為k階差等比數(shù)列，且通項公式成立，則有

an=α0qn-1+(β1nk+β2nk-1+…+βk+1).

當r=k+1時，數(shù)列(1)為k+1階差等比數(shù)列，則數(shù)列(2)為k階差等比數(shù)列，根據(jù)假設

bn-1=α0qn-2+[λ1(n-1)k+λ2(n-1)k-1+…+λk+1]，

又由

an-an-1=bn-1，

取n=2，3，…，并對其求和，即得

an=a1+α0(1+q+…+qn-2)+λ1[1k+…+(n-1)k]+λ2[1k-1+…+(n-1)k-1]+…+λk+1.

由文獻[5]結(jié)論，有

1k+2k+…+(n-1)k=α1nk+1+α2nk+…+αk+2.

將其代人an中，故有

an=a1+α0(1+q+…+qn-2)+[λ1(α1nk+1+…)+λ2(α2nk+…)+…+λk+1αk+2].

對上式右端中第二部分的等比數(shù)列求和，第三部分的多項式按降冪排列，并重新設置待定常數(shù)即得

an=αqn-1+(β1nk+1+β2nk+…+βk+2).

即當r=k+1時，定理公式成立.

故公式(3)對一切r都成立.

3 差分算子的基本概念

在文獻[6]中，當f(n)=nr時，其差分算子有如下定義及性質(zhì).

定義1若r，k均為自然數(shù). 稱

為對自然數(shù)冪nr的k階差分算子.

例如，當n為某確定數(shù)值時，可計算出其各階差分值. 例如取n=4，其差分計算方法為

Δ243=Δ2n3|n=4=43-2·33+23=18，
Δ343=Δ3n3|n=4=43-3·33+3·23-13=6，
Δ443=Δ4n3|n=4=43-4·33+6·23-4·13+03=0.

性質(zhì)設k，m都是自然數(shù)，則有

定義2若an為數(shù)列(1)的通項，稱差分

為通項an的k階差分.

4 高階差等比數(shù)列的通項公式與前n項的和

定理2設一數(shù)列為r階差等比數(shù)列，且等比數(shù)列的公比為q，則其通項公式為

an=αqn-1+(β1nr+β2nr-1+…+βr+1)，

其中系數(shù)α，β1，…，βr+1可由下面解矩陣

依次解出.

證因原數(shù)列為r階差等比數(shù)列，故可設其通項為

an=αqn-1+(β1nr+β2nr-1+…+βr+1).

令n=1，…，r+2，得增廣矩陣

將上述矩陣中的后一行減去前一行，第1行不變，即進行了1次差分運算；繼續(xù)用后一行減去前一行，第2行不變，即進行了2次差分運算；依此方法作下去……，最后用第r+2行減去第r+1行，即進行了r+1次差分運算；再利用差分的運算性質(zhì)，即可得到解矩陣A.

定理3設一數(shù)列為r階差等比數(shù)列，且等比數(shù)列的公比為q，則其前n項的和為

Sn=αqn-1+(β1nr+1+β2nr+…+βr+2)，

其中系數(shù)α，β1，…，βr+2可由下面解矩陣

依次解出.

證由于Sn=a1+a2+…+an，故Sn的多項式部分應比an高一次，可設

Sn=αqn-1+(β1nr+1+β2nr+…+βr+2).

令n=1，…，r+3，即得增廣矩陣. 對其進行初等變換，變換方法同前

……，

5 應用實例

例已知數(shù)列為 4，7，12，22，46，111， …. 且r=2,q=3, 求(i)該數(shù)列的第14項.(ii)該數(shù)列的前14項和.

解(i) 設該數(shù)列通項公式為

an=αqn-1+β1n2+β2n+β3.

由定理1得解矩陣

依次解得

故通項公式為

即得

(ii) 設該數(shù)列前n項和為

Sn=α·qn-1+β1n3+β2n2+β3n+β4.

由定理2有解矩陣

依次解得

故前n項和為

即得

6 結(jié) 論

本文基于矩陣初等變換理論及差分算子的思想，對高階差等比數(shù)列的通項公式進行了深入的研究，將其通項公式的形式不斷地改進使其逐步趨于完善，由此給出了求高階差等比數(shù)列通項公式的矩陣解法. 與近年來得到的已有的方法比較. 其方法具有通項公式結(jié)構標準簡單，解矩陣極為規(guī)范且便于計算的優(yōu)越性.

致謝作者十分感謝相關文獻對本文的啟發(fā)以及貴刊審稿專家對本文提出的寶貴意見.