線性代數(shù)課程思政建設與教學實踐

楊文霞， 何 朗， 周 俊

(武漢理工大學 理學院 數(shù)學系， 武漢430070)

1 引 言

2016年12月，習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上指出：要用好課程教學這個主渠道，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應[1].2020年5月，教育部印發(fā)的《高等學校課程思政建設指導綱要》指出，把思想政治教育貫穿人才培養(yǎng)體系，全面推進高校課程思政建設，發(fā)揮好每門課程的育人作用[2].課程思政將思想政治教育貫穿于課程教學體系，融價值塑造、知識傳授和能力培養(yǎng)為一體，積極發(fā)揮課堂的主導作用，對于推進“三全育人”落地，真正完成“立德樹人”的根本任務具有重要的意義[3].

我國高校在大學數(shù)學類課程思政建設方面進行了一些有益嘗試，薛中會等[4]選取矩陣知識點為載體進行社會主義核心價值觀解讀，視角新穎但缺乏系統(tǒng)性建設方案；楊威等[5]提出了線性代數(shù)課程思政建設的五條思路，多角度挖掘課程思政元素.謝小莉等[6]提出結(jié)合數(shù)學文化和學校發(fā)展史開展高等數(shù)學課程思政.這些研究為線性代數(shù)課程思政提供了寶貴的思路，但對思政教育要素的提煉和教學融入點選擇等，尚有待進一步完善.

受以上文獻啟發(fā)，我校教學團隊于2020年初開始著手進行線性代數(shù)課程思政資源建設與教學準備，并于2020-2021學年第一學期開始，持續(xù)進行課程思政示范課堂教學與研究.下面從課程思政教學目標、思政元素挖掘、教學組織與成效等幾個方面，探討將思想政治教育融入到線性代數(shù)課堂立體化教學中的策略與實踐.

2 我校線性代數(shù)學情分析與教學目標優(yōu)化

線性代數(shù)作為覆蓋面較廣的一門公共基礎(chǔ)課，我校多在一年級上、下學期展開.這一階段的學生學習勤奮，對大學學習保持著好奇和期待，亟待吸收新知識；同時他們剛成年，世界觀、人生觀和價值觀正在初步形成，厭煩枯燥的說教，期待教師用鮮活的實例講解使他們心悅誠服[7].另一方面，線性代數(shù)課程由于學時短，知識點前后交錯，概念、定理、證明多而抽象，教師著重傳授課程的基本理論和方法，學生學習困難較大，甚至產(chǎn)生厭學等不良情緒.因此，教師作為課堂教學的組織者和引導者，在線性代數(shù)課程中開展思政教育既具有一定優(yōu)勢，又具有迫切的必要性.

通過以上學情分析，教學團隊首先進行課程教學目標優(yōu)化.具體分為如下三點：

(i) 知識傳授與技能點目標：掌握線性代數(shù)的基本理論、基本方法及它們的內(nèi)在聯(lián)系，掌握線性代數(shù)的計算方法，掌握運用矩陣理論去描述和求解實際問題；

(ii)能力培養(yǎng)目標：培養(yǎng)學生的數(shù)學語言表達能力；培養(yǎng)嚴密的邏輯思維能力、空間想象能力；培養(yǎng)學生的自學與自律、協(xié)作科研能力；

(iii)價值觀塑造目標：通過課程教學，引導學生體會到數(shù)學之美，培養(yǎng)學生文化自信，培養(yǎng)學生高尚的人格和情操，樹立起為祖國奮斗的遠大理想.

3 線性代數(shù)課程思政元素挖掘

圍繞教學目標，教學團隊深入挖掘線性代數(shù)課程的思政元素，提煉出個人修養(yǎng)、團隊合作、文化自信、家國情懷和勇于創(chuàng)新這五個要素作為思政教學融入點，精心設計教學內(nèi)容，從線性代數(shù)相關(guān)數(shù)學家、線性代數(shù)課程知識點及教學拓展案例三方面，編寫思政教學案例，以便課程思政教學的順利展開.

3.1 線性代數(shù)課程相關(guān)歷史人物及思政元素挖掘

教學團隊精心選取14個和線性代數(shù)課程相關(guān)的數(shù)學家，在學習以這些數(shù)學家命名的定義、定理、法則、表達式時，重點挖掘他們在創(chuàng)新知識發(fā)現(xiàn)過程中所體現(xiàn)出來的堅持不懈、刻苦鉆研等可貴品質(zhì)，用他們的奮斗歷程來激勵學生，激發(fā)學習熱情.限于篇幅，這里僅列舉兩個例子.

案例1中國相關(guān)數(shù)學家在線性代數(shù)發(fā)展中的事跡介紹

第一節(jié)課需要對線性代數(shù)做個簡單的課程簡介.由英文名Linear Algebra，引出首次將Algebra翻譯成“代數(shù)學”的清代數(shù)學家李善蘭，針對線性代數(shù)前四章的核心問題—線性方程組，引出我國古代提出“百錢百雞”問題的北魏數(shù)學家張丘建，以及撰寫《九章算術(shù)注》的魏晉數(shù)學家劉徽的介紹.用中國數(shù)學家的事跡，幫助學生堅定文化自信，培養(yǎng)家國情懷和民族自豪感，啟迪學生人文修養(yǎng)和品格養(yǎng)成.這些內(nèi)容的介紹篇幅控制適中，既有效消除課程枯燥感，又不喧賓奪主，影響課程理論知識講解.相關(guān)教學資料如表1所示.

案例2和矩陣及行列式理論相關(guān)的國外數(shù)學家介紹

線性代數(shù)中最重要的術(shù)語有線性方程組、矩陣、行列式和向量等，講解相關(guān)概念時，簡單介紹一些相關(guān)的數(shù)學家，使望而生畏的名詞和定義頓時變得鮮活；通過介紹這些耳熟能詳?shù)南荣t們在知識發(fā)現(xiàn)過程中所體現(xiàn)出來的百折不撓的品質(zhì)，激勵學生從眼前的一點一滴做起，奮勇拼搏.相關(guān)教學資料見表2所示.

表2 和矩陣及行列式理論相關(guān)的國外數(shù)學家介紹及思政教育

3.2 線性代數(shù)課程知識點隨堂教育思政元素挖掘

課堂最重要的仍然是知識傳授.對于一些抽象的知識點，教學團隊將其與同學們的實際知識經(jīng)驗結(jié)合起來講解，幫助學生更進一步理解概念和方法的同時，進行德育和美育教育.例如，在學習矩陣運算時，往往是先指明運算規(guī)則，再給出一些計算實例.很多同學在學習時，不理解矩陣加法和乘法為何要如此定義.教學團隊以一個銷售明細和銷售利潤表為例，根據(jù)實際計算需要，推導出矩陣的加法、數(shù)乘及矩陣乘法公式，培養(yǎng)學生用矩陣語言去描述離散數(shù)據(jù)和解決實際問題的習慣.又如，向量組的線性相關(guān)性由于概念比較抽象，定義繁多，學習難度大，學生不理解學習這些內(nèi)容的意義所在.教學團隊以調(diào)料的配置為例，將最大無關(guān)組、線性表示、線性無關(guān)等概念具體化，在消除課程枯燥感的同時，加深學生對理論知識的理解.

案例1便利店銷售額與利潤

授課安排時間結(jié)點講述完“矩陣的定義與運算”之后.

問題設置設一個便利店銷售5種產(chǎn)品，一天中的四個時段的商品銷售表可用一個4×5矩陣A表示，每種商品的銷售價及成本價用一個5×2的矩陣B表示.

試解決如下問題：

(i) 分別假設便利店每天的銷售明細相同和不同的情況下，統(tǒng)計30天的總銷售額明細.

知識點矩陣的定義、矩陣的加法、數(shù)乘運算；

(ii) 計算一天中各時段的銷售金額及利潤.

知識點矩陣乘法.

課堂思政教育要點：

(i) 矩陣概念不是抽象的，它是表示現(xiàn)實世界數(shù)據(jù)的一個重要工具.對實際問題的計算需求，引出矩陣加法和矩陣乘法的標準定義，這一過程提醒同學們在學習和工作中，要思維清晰，注意形成章法，制定合理規(guī)則；

(ii) 工欲善其事，必先利其器.矩陣和矩陣乘法的引入能使計算清晰，結(jié)果方便易懂.同學們做事之前要先想清楚方式和方法，做好規(guī)劃；

(iii) 矩陣和其元素的關(guān)系，就如同集體與個人的關(guān)系.矩陣和矩陣運算提高了單個數(shù)解決問題的能力，正如團結(jié)力量大.矩陣乘法運算中一個元素變了，得到的結(jié)果差別很大，正如集體中每個人要各司其職完成本職工作，才能團結(jié)一心，順利做好每件事情.

案例2調(diào)料配置問題

授課安排時間結(jié)點講述完“向量組的線性關(guān)系、向量組的最大無關(guān)組”之后.

問題設置某調(diào)料公司用7種單一成分通過不同比例來制造多種風味的混合調(diào)料.表3列出了6種調(diào)料，用αi(i=1，2，…，6)每份所需各成分的量(克).

表3 每包調(diào)料所需成份的量

試解決如下問題：

(i) 小王為了避免購買全部6種調(diào)料，他可選擇只購買其中一部分，并用它們配制出其余幾種.小王必須至少購買哪幾種調(diào)料？

知識點這是向量組的最大線性無關(guān)組的典型應用.將每種調(diào)料作為一個7維向量，它的每個分量就是每種單一成分的數(shù)量.本題即求這6個向量(調(diào)料)的一個最大無關(guān)組.利用課堂所學知識及MATLAB軟件求解，不難得出最大無關(guān)組為α1，α2，α4，α5(不唯一)；

(ii) 小王買了最少的調(diào)料品種回家后，家人需要兩種新口味調(diào)料，分別表示為

β1=(18，18，9，9，4.8，4.5，3.25)T，β2=(9，12，6，6，3，3，1.5)T.

能配置出來嗎？

知識點這是判斷一個向量是否能由這個最大無關(guān)組線性表示.所謂配置，即線性組合的系數(shù).β1不能由α1，α2，α4，α5線性表示，因此不能配置出來；β2=2α1+2α2，因此可以配置出來.

課堂思政教育要點：

(i) 理論聯(lián)系實際，學以致用：通過以上例子，同學們應該能更深入的理解了向量的各分量的含義、向量組的最大無關(guān)組、線性表示等知識點；

(ii) 擴展思考與創(chuàng)新：實際上一個向量組的最大無關(guān)組并不是唯一的，大家實際選購時，還可以加上價格約束，以使購買的調(diào)味料(最大無關(guān)組)的總價最低；

(iii) 透過現(xiàn)象看本質(zhì)：向量組和它的最大無關(guān)組是等價的.恰如只需要購買4種調(diào)料就能調(diào)配出其他兩種調(diào)料.這是符合實情的：大家買一些調(diào)料之后回家按自己喜好配置，而不是將市面上所有的成品調(diào)料全部買回家；

(iv) 個人應力爭在集體中承擔重任，就像最大無關(guān)組的向量一樣勇于擔當.專業(yè)學習中應抓住最擅長的方向，朝一個方向努力精進，避免“樣樣通，樣樣松”.

3.3 線性代數(shù)教學拓展案例及思政元素挖掘

除了介紹基本理論和方法外，課程強調(diào)將抽象的概念和運算，轉(zhuǎn)換為對實際問題的建模與求解.教學團隊運用拓展案例教學法，將理論知識用于解決和解釋實際問題.這一過程能激發(fā)學生的鉆研熱情，養(yǎng)成探究問題后面蘊含的理論知識的思維習慣，是思政教育的較好切入點.拓展案例一般具有較強的綜合性，教學團隊通常在課前預習環(huán)節(jié)布置問題，課上理論知識點講解完成之后，再運用所學理論解決問題.下面列舉一個共享單車的運營問題案例及思政教育例子.

教學拓展思政案例共享單車的運營問題

授課安排時間結(jié)點預習“特征值和特征向量”時布置，貫穿到“實對稱矩陣的相似對角化”.

問題設置校園內(nèi)共享單車的規(guī)范使用，能極大地方便同學們的學習和生活.假設我校南湖校區(qū)的共享單車按規(guī)定只能停在特定的三個集中片區(qū)：宿舍，食堂和教學樓，在一個片區(qū)的單車可以在任意一個片區(qū)歸還.每天從宿舍開啟的自行車，在三個片區(qū)歸還的比例分別為0.6， 0.3， 0.1，從食堂開啟的在三個片區(qū)歸還的比例分別為0.2， 0.7， 0.1， 從教學樓開啟的在三個片區(qū)歸還的比例分別為0.1， 0.3， 0.6.假設一個學期的初始投放量固定為600輛，請建立運營中單車數(shù)量在3個片區(qū)之間的轉(zhuǎn)移的模型，并討論時間充分長以后的變化趨勢.

模型分析與求解這是一個經(jīng)典的狀態(tài)轉(zhuǎn)移問題.共享單車異地存放可行嗎？隨著時間的推移，這些單車的分布會發(fā)生怎樣的變化，能穩(wěn)定運行下去嗎？設x1(k)，x2(k)，x3(k)為第k天在三個片區(qū)的單車數(shù)量，則可建立模型

x1(k+1)=0.6x1(k)+0.2x2(k)+0.1x3(k)，

x2(k+1)=0.3x1(k)+0.7x2(k)+0.3x3(k)，

x3(k+1)=0.1x1(k)+0.1x2(k)+0.6x3(k).

令

則有

x(k+1)=Ax(k)，k=0，1，2，….

由于矩陣A的每列之和等于1，則AT必有特征值1，因此A也必有特征值1，于是存在穩(wěn)定解x，有x=Ax.按課堂所學特征值與特征向量的知識，可求出屬于特征值1的特征向量為

x=(x1，x2，x3)T=c(3，5，2)T，c≠0，

且x1+x2+x3=600.從而解得x1=180，x2=300，x3=120.

追求新知如果直接計算，有

x(k+1)=Ax(k)=A·Ax(k-1)=A2x(k-1)=…=Anx0，

這里涉及到計算An， 直接計算難度較大.給同學們布置思考題：有沒有更簡單的方法計算An？請同學們帶著這個問題，課后開始第三節(jié)——相似矩陣的預習.

與數(shù)學建模結(jié)合的深度思考將時間變?yōu)檫B續(xù)變量，且單車存放點不止三個區(qū)，此時模型會怎樣變化，如何與高等數(shù)學所學知識結(jié)合，進行數(shù)學建模？請班級同學5人形成一個小組查閱資料并進行討論學習.

思政教育要素融入總結(jié)通過對該問題的分析與求解，學生除加深了對特征值和特征向量的性質(zhì)的理解，并可獲得如下感悟：

(i)個人修養(yǎng)學習了共享單車穩(wěn)定運行背后的數(shù)學原理后，反思自己在使用共享單車過程中的文明規(guī)范舉止.三個片區(qū)最終單車分配將趨于穩(wěn)定.但模型適用的前提是：大家都能在規(guī)定地點歸還，不亂停亂放，同時要愛惜車輛，避免損壞，如此才能不用考慮單車的歸還地點，真正方便大家；

(ii)勇于創(chuàng)新做學問要勤學多思，學以致用.同學們學會將實際問題用矩陣語言和矩陣運算去表示與求解.對于我校車輛、自動化、通信、計算機等工科專業(yè)的學生，希望同學們用MATLAB去進行計算，觀察在k為多少時，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定；

(iii)團隊合作從提交的預習報告和課堂發(fā)言可見，同學們集體討論能活躍思維，體會到交流與合作的樂趣，養(yǎng)成團隊合作的習慣；

(iv)文化自信共享單車作為我國“新四大發(fā)明”，我們應增強文化自信和民族自豪感，銳意進?。?/p>

(v)家國情懷共享單車的設計初衷是為方便人民的短途出行，體現(xiàn)出科技為人民服務的初心.同學們更應樹立為人民服務的理念，為中華之崛起而讀書.

4 線性代數(shù)課程思政教學組織與成效

4.1 教學團隊建設

教師是教學過程實施的主體.課程思政教育要靠教師去落實，教學團隊采取的措施包括：

(i) 理論認知層面：學習相關(guān)建設綱要指導文件，認識到課程思政的重大意義，自覺提高政治理論水平及道德修養(yǎng)，統(tǒng)一思想認識；

(ii) 方法層面：邀請全國優(yōu)秀教師吳傳生教授傳授課堂授課的教學藝術(shù)，學習如何增強教育教學吸引力和感染力；邀請湖北“師德先進個人”廖紅教授傳授自己將思想政治教育貫穿教學全過程的經(jīng)驗；團隊教師參與課程思政培訓會議，堅持集體學習，實現(xiàn)教學素材共研共享，并定期組織教學團隊的成員進行講課觀摩，開展同行互評互幫，不斷提高課程思政教育水平和教態(tài)教風.

4.2 構(gòu)建網(wǎng)絡“課程思政”教育模式，持續(xù)開展“線上+線下”混合式教學模式改革

教學團隊利用建成的國家首批線上一流本科課程《經(jīng)濟數(shù)學-線性代數(shù)》，持續(xù)開展混合式教學改革[8].教師精心制作思政教育資料，引導學生分辨并獲取網(wǎng)上的各種有益資源，及時推送給學生，使思政教育更具針對性和實效性.混合式教學以師生互動為基礎(chǔ)，以學生為中心，通過學生提交預習報告梳理聽課要點，提高了課堂效率，避免因為加入課程思政內(nèi)容而學時緊張.同時利用各種平臺，和學生隨時互動交流，根據(jù)學生的反饋，及時調(diào)整教學策略和進度，塑造成長性思維，不斷促進知識傳授與價值引領(lǐng)的有機融合.

4.3 課程考核方式改革

此前，我校線性代數(shù)課程的考核方式主要是閉卷考試+平時作業(yè)與考勤.在課程思政背景下，為體現(xiàn)出對學生綜合能力和全面發(fā)展的要求，教學團隊將思政元素融入課程過程性考核環(huán)節(jié)， 通過對課前預習報告和線上階段學習的考核，強調(diào)對學生在學習過程中所體現(xiàn)出的“認真、勤奮、慎思、誠實”等品行進行評價，旨在培養(yǎng)學生優(yōu)秀學習態(tài)度和品格，真正實現(xiàn)全方位育人.

4.4 課程思政教育成效

在本學期線性代數(shù)示范課程結(jié)束之后，學生以書面形式反饋混合式教學與課程思政學習心得，教學團隊將心得文本進行詞云統(tǒng)計，得到詞云圖如圖1所示.

圖1 課程思政示范課堂學生反饋詞云圖

反饋結(jié)果表明，同學們對課程的理解和重視程度加強，對課程教師的付出和努力也看在眼里，從教師身上獲取到精神的示范力量，激發(fā)了自己努力向上的決心.課程結(jié)束時，學生自發(fā)與教師合影，贈送教師班級相冊以示感謝，并希望在后續(xù)課程學習和各類科技活動，如數(shù)學競賽和數(shù)學建模競賽中，能繼續(xù)和老師保持聯(lián)系，持續(xù)進步.在本學期期末考試中，2個思政示范課堂卷面平均分為83.15和82.13，為所有班級的第2、3名.這些正面反饋也給課程思政示范課教師以莫大的鼓舞，激勵教師更加完善自我，持續(xù)進行課程教學改革研究與實踐，不斷增強立德樹人的責任感和使命感，最終實現(xiàn)多方受益.

5 結(jié) 論

本文介紹了我校線性代數(shù)課程思政資源建設與課堂組織及建設成效.線性代數(shù)課程作為一門受眾面廣、起點要求低的公共數(shù)學基礎(chǔ)課程，其中蘊含著豐富的思政元素和哲學思維，值得我們不斷探索.團隊借助國家一流在線課程資源，利用好課堂教學的主渠道，積極響應國家號召，將思政教育以大學生喜聞樂見的方式融入課程教學，將“立德樹人”的教育目標落實在每一次課堂教學中，啟智求實，真正走進學生的心靈，促使學生發(fā)展成為一個道德高尚、政治修養(yǎng)高的高素質(zhì)專業(yè)人才.在今后的課程建設中，課程組將致力于研究如何使線性代數(shù)課程隨著時代發(fā)展，表現(xiàn)出課程思政豐富的思想性與和教學改革的創(chuàng)新性.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.