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    研究高考試題是倒逼教師提升專業(yè)素養(yǎng)的杠桿

    2022-03-07 05:13:06王淼生
    中學數(shù)學雜志(高中版) 2022年1期
    關(guān)鍵詞:引導教學專業(yè)素養(yǎng)

    【摘要】通過研究2021年全國高考數(shù)學新高考Ⅰ卷第八題,剖析失分原因,追尋命題歷程,詮釋考查目的,對比新舊課標、教材,引導“獨立性”概念教學,提升教師專業(yè)素養(yǎng).

    【關(guān)鍵詞】研究高考試題;引導教學;專業(yè)素養(yǎng)

    1識得廬山真面目——高考真題再現(xiàn)

    2021年新高考數(shù)學試題全面貫徹德智體美勞全面發(fā)展的教育方針,有效落實立德樹人的根本宗旨,完美詮釋“一核、四層、四翼”高考評價體系.

    新高考試題在聚焦數(shù)學素養(yǎng)、考查關(guān)鍵能力、突出數(shù)學本質(zhì)、重視理性思維的同時,尤其關(guān)注數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本概念考查.其中,2021年全國高考數(shù)學新高考Ⅰ卷第八題對概念教學具有顯著的引導作用,有利于提升教師專業(yè)素養(yǎng).原題如下(以下簡稱案例1):

    案例1有6個相同的球,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6.從中有放回地隨機抽取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和為7”,則().

    A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

    C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

    2亡羊補牢未為晚——得分極低緣由

    案例1創(chuàng)設(shè)“有放回摸球”情景,主要考查事件相互獨立性,彰顯“四翼”中的基礎(chǔ)性.客觀地講,案例1屬于考查基本概念、應(yīng)用基本方法的基礎(chǔ)題型.然而,統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明,案例1失分嚴重.為何案例1得分率如此之低呢?筆者問卷調(diào)查部分教師,結(jié)果表明:

    其一,教師普遍用解題教學替代概念教學,導致學生缺乏“造血”功能,這是數(shù)學概念教學長期以來存在的老大難問題;

    其二,教師不舍得花時間深入研究新舊課標變化,缺乏對比新舊教材意識.“新瓶裝舊酒”“穿新鞋走老路”大有人在;

    其三,教師專業(yè)功底欠缺,難以深度剖析概念本質(zhì),導致獨立事件、互斥事件與條件概率關(guān)系模糊不清,甚至混為一談.

    3打破砂鍋問到底——追尋命題歷程

    高考試題是命題專家精心謀略、反復打磨的智慧結(jié)晶.只有明白每一道試題的來龍去脈,才能達到引導教學目的.那案例1又是如何命制的呢?事實上,絕大部分高考試題的“根”在課標、教材之中.這是公開的秘密,上述案例1正是如此.

    3.1案例1的“根”就在新版課程標準中

    請看文\[1\]125頁例12(以下簡稱案例2):

    案例2:將一枚均勻骰子相繼投擲兩次,請回答以下問題:

    (1)寫出樣本點和樣本空間;

    (2)用A表示隨機事件“至少有一次擲出1點”,試用樣本點表示事件A;

    (3)用Aj(j=1,2,3,4,5,6)表示隨機事件“第一次擲出1點,第二次擲出j點”;用B表示隨機事件“第一次擲出1點”,試用隨機事件Aj表示隨機事件B;

    (4)用C表示隨機事件“點數(shù)之和為7”,并求C發(fā)生的概率.

    3.2案例1的“根”也在蘇教版新教材中

    請看文\[2\]278頁例6(以下簡稱案例3):

    案例3:一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張卡片,上面分別標有1~9這9個數(shù)(1張卡片上標1個數(shù)).“從中任抽取1張卡片,結(jié)果卡片號或為1或為4或為7”記為事件A,“從中任抽取1張卡片,結(jié)果卡片號小于7”記為事件B.試判斷A,B是否為相互獨立事件.

    3.3案例1的“根”還在人教版新教材中

    請看文\[3\]248頁例1,原題如下(以下簡稱案例4):

    案例4:一個口袋中有標號分別為1,2,3,4的4個球,除標號外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.設(shè)事件A為“第一次摸出球的標號小于3”,事件B為“第二次摸出球的標號小于3”,那么事件A與事件B是否相互獨立?

    至此不難發(fā)現(xiàn)命題專家用案例1中的“6個相同的球,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6” 等價置換案例2中的“一枚均勻骰子”;案例1中的“有放回地隨機抽取兩次”等價置換案例2中的“將一枚均勻骰子相繼投擲兩次”;案例1中的“第一次取出的球的數(shù)字是1”等價置換案例2中的“第一次擲出1點”;案例1中的“兩次取出球的數(shù)字之和為7”等價置換案例2中的“點數(shù)之和為7”.高考命題專家正是以案例2為“根”,將案例2與案例3、案例2與案例4“嫁接”,從而命制出案例1.無獨有偶,文\[4\]指出2018年全國高考數(shù)學卷Ⅰ理科12題就是以文\[1\]123頁例11為“根”,將例11中9個相關(guān)問題有機融為一體,從而命制出一道高質(zhì)量、高顏值的選擇題壓軸題,成為當年高考數(shù)學試題的亮點之一.

    案例1再一次有力地說明課程標準中的案例、教材中的例題、習題往往成為命題專家命制試題的“抓手”.正所謂“題在書外,根在書(課標、教材)內(nèi)”.

    然而,文\[5\](舊課標)自始至終沒有出現(xiàn)相關(guān)例題.更令人遺憾的是,文\[6\](人教版舊教材)提出獨立性概念后也沒有出現(xiàn)判斷事件相互獨立性的例題,而是“跨越式”地直接給出了利用獨立事件概率乘法公式來計算的例題(即文\[6\]54頁例3).僅僅在文\[6\]55頁的課后練習中“粗糙地”給出第1題(以下簡稱案例5).這是文\[1\]與文\[5\](新舊課標)、文\[3\]與文\[6\](新舊教材)在“獨立性概念”上較為明顯的區(qū)別,從一個側(cè)面也說明文\[5\]、文\[6\]沒有足夠重視獨立性概念.從本質(zhì)上講,這也是文\[5\]、文\[6\]的瑕疵.以高考命題專家敏銳、犀利的目光,必然對課標、教材的“缺陷”了然于胸.也許高考命題專家正是出于提醒一線教師關(guān)注新舊課標、新舊教材在獨立性概念上的差異而特意命制案例1.

    案例5:分別拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣,設(shè)“第1枚為正面”為事件A,“第2枚為正面” 為事件B,“2枚結(jié)果相同” 為事件C.A,B,C中哪兩個相互獨立?

    上述案例5的訴求是“事件A,B,C中哪兩個相互獨立?”.一般來說這種設(shè)問語氣意味著事件A與B、事件B與C、事件C與A中既有獨立事件也有不獨立事件.事實上,事件A,B,C中任何兩個事件都是相互獨立的.由此說明上述案例5不盡人意,沒有完全達到辨析、鞏固、精致事件獨立性概念的目的.

    4解鈴還須系鈴人——對比各類教材

    查閱百度可知,“獨立”是指單獨的站立或者指關(guān)系上不依附、不隸屬,依靠自己的力量去做事情;“影響”是指以間接或無形的方式來作用或改變?nèi)嘶蚴碌男袨?、思?李邦河院士指出:“數(shù)學根本上是玩概念,不是玩技巧,技巧不足道也.”足以說明概念教學在數(shù)學教學中占據(jù)舉足輕重的地位,教材具有權(quán)威性.“獨立事件”中的“獨立”“影響”在數(shù)學教材中又是如何界定呢?“獨立事件”概念在不同版本教材(含大學教材)中有何差異呢?

    4.1以文\[6\](人教版舊教材)為例

    人教版舊教材將“事件的相互獨立性”概念編排在文\[6\](選修)第二章“隨機變量及其分布”第2.2“二項分布及其應(yīng)用”第2.2.2“事件的相互獨立性”中.其中第2.2.1是“條件概率”.也就是說,文\[6\]不僅將“事件的相互獨立性”與“條件概率”都安排在選修教材中,而且將“事件的相互獨立性”安排在“條件概率”之后,即在“條件概率”的基礎(chǔ)上,經(jīng)過推理論證得到“獨立性”概念.

    文\[6\]在54頁指出,由于事件A的發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率,即

    PBA=P(B)P(AB)=P(A)P(BA)=P(A)P(B).

    文\[6\]據(jù)此得到事件A與事件B相互獨立的定義:

    設(shè)A,B為兩個事件,若P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨立.同時指出,如果事件A與事件B相互獨立,那么事件A與,與B,與也都相互獨立.并將這些結(jié)論作為課后習題,安排在文\[6\]第55頁第4題.

    人教版舊教材將“互斥事件”概念編排在文\[7\](必修)第三章“概率”第3.1“隨機事件的概率”及第3.1.3 “概率的基本性質(zhì)”中.通過事件與集合對比引出交事件的概念.文\[7\]第119頁指出,若A∩B為不可能事件,那么稱事件A與B互斥.第120頁指出,如果事件A與B互斥,則P(A+B)=P(A)+P(B),即為互斥事件的概率加法公式.

    評注教師不是教教材,而是用教材教,關(guān)鍵在于創(chuàng)造性使用教材.為何文\[6\]沒有像文\[3\]那樣給出相關(guān)鞏固例題呢?為何文\[6\]沒有像文\[3\]那樣重視獨立性概念呢?是文\[6\]“疏忽”嗎?其實,這不是文\[6\]編者“失誤”,而是文\[6\]的理念決定的.因為文\[6\]將“獨立性”概念作為“條件概率”的“附屬品”,著重強調(diào)“條件概率”而有意弱化“獨立性”概念,這正是文\[6\]將“獨立性”概念安排在“條件概率”之后的原因所在.人教版舊教材將“獨立事件”安排在文\[6\],“互斥事件”安排在文\[7\],人為割裂了二者之間的關(guān)聯(lián),致使不少教師誤以為“獨立事件”與“互斥事件”沒有任何關(guān)聯(lián).

    4.2以文\[3\](人教版新教材)為例

    人教版新教材將“相互獨立事件”概念安排在文\[3\](必修)第十章“概率”第10.2“事件的相互獨立性”中;將“條件概率”編排在文\[8\](選擇性必修)第七章“隨機變量及其分布”第7.1“條件概率與全概率公式”中.

    文\[3\]第10.1.1“有限樣本空間與隨機事件”第226頁提出樣本點、樣本空間(這是中學階段第一次明確提出“樣本空間”“樣本點”)等概念.第10.1.2“事件的關(guān)系和運算”第231頁指出:一般地,如果事件A與事件B不能同時發(fā)生,也就是說事件A∩B是一個不可能事件,即A∩B=,則稱事件A與事件B互斥(或不相容).第10.1.4“概率的基本性質(zhì)”第240頁指出:如果事件A與B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B),并將互斥事件的概率加法公式推廣到有限個事件.

    文\[3\]第10.2“事件的相互獨立性”第247頁引入事件A與B相互獨立的定義:對任意兩個事件A與B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,則稱事件A與事件B相互獨立.同時通過“探究”欄目提出并證明了以下問題:如果事件A與事件B相互獨立,那么事件A與,與B,與是否相互獨立?

    文\[8\]在第46頁指出,若事件A與B相互獨立時,則P(AB)=P(A)P(B),且P(A)>0,則

    PBA=PABP(A)=P(A)P(B)P(A)=P(B).

    反之,若PBA=P(B),且P(A)>0,則

    P(B)=PABP(A)P(AB)=P(A)P(B).

    即事件A與B相互獨立.

    因此,當P(A)>0時,當且僅當事件A與B相互獨立時,有PBA=P(B).

    評注人教版舊教材將獨立事件安排在條件概率之后,而人教版新教材將獨立事件安排在條件概率之前,并用“反之”二字強調(diào)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,這是人教版新舊教科書在“獨立事件”編排上最為顯著的變化.人教版新教材依據(jù)獨立事件的概念論證了事件A與B相互獨立等價于PBA=P(B),間接、隱約地暗示獨立性概念是一個充要條件,而人教版舊教材則沒有,這是人教版新舊教材又一個明顯的區(qū)別.此外,人教版新教材不僅將“互斥事件”與“獨立事件”都安排在必修教材,而且編排在相鄰兩節(jié),足以看出新教材已經(jīng)關(guān)注到人教版舊教材的“不妥”,有利于師生構(gòu)建二者之間的網(wǎng)絡(luò),這是新舊教材在二者內(nèi)容編排上的明顯變化.這些理應(yīng)引起一線教師的高度關(guān)注,這也許正是2021年高考命題專家命制案例1的另一個真正用意,借此警醒一線教師對比教材、研究教材,密切關(guān)注教材內(nèi)容編排次序的變化.

    4.3以文\[2\](蘇教版新教材)為例

    蘇教版新教材將“事件的相互獨立性”概念編排在文\[2\]第十五章“概率”第15.3“互斥事件和獨立事件”中.文\[2\]第276頁給出事件A與事件B相互獨立的定義:一般地,如果事件A是否發(fā)生不影響事件B發(fā)生的概率,那么稱A,B為相互獨立事件.并給出以下結(jié)論:A,B相互獨立P(AB)=P(A)P(B).

    評注文\[2\]特意借助等價符號“”,更加明確、直白地指出了獨立性定義是一個充要條件命題.與此同時,文\[2\]通過第276頁的例4與第278頁的例6(即上述案例3)的詳細推理、計算,著重指出:“A,B獨立與否有時很難從直觀上作出判斷,唯有經(jīng)過概率之間的關(guān)系才可以作出理性而準確的判斷.”這正是案例1失分的主要原因——考生僅憑經(jīng)驗與直觀感知“影響”,由此也說明高考命題專家捏準了考生的痛處.正如文\[9\]中強調(diào):“事件M發(fā)生是否‘影響’事件N,不能僅僅從表面,不要以為事件N所含基本事件個數(shù)在表面上的減少就是受到了‘影響’”“當總的基本事件個數(shù)減少(即樣本空間縮?。r,概率計算公式中分母變小,還應(yīng)該看到其分子同時也在相應(yīng)減少.當分子、分母同時減少,只要其比值不變,我們就認為是不受‘影響’,即認為是獨立事件.”文\[2\]不僅拉近“互斥事件”與“獨立事件”的距離,而且直接將文\[2\]第15.3小節(jié)標題命名為“互斥事件和獨立事件”,足以說明文\[2\]高度關(guān)注一線教師的困惑:“互斥事件”與“獨立事件”是否有關(guān)聯(lián)?關(guān)聯(lián)度由多大?于是文\[2\]特意在第278頁通過課堂鞏固練習的第1題(以下簡稱案例6)達到“畫龍點精”的效果,將互斥事件、獨立事件的概念及互斥事件與獨立事件之間的關(guān)系刻畫得清清楚楚、明明白白.

    案例6:下面的說法正確嗎?

    (1)甲、乙、丙三人輪流拋擲一枚硬幣,甲拋擲的結(jié)果是正面,乙拋擲的結(jié)果也是正面,則丙拋擲的結(jié)果是正面的可能性很小.

    (2)若A,B為互斥事件,則A,B必為相互獨立事件.

    4.4以文\[10\](大學教材)為例

    大學教材將“事件的相互獨立性”概念編排在文\[10\]第21頁,其定義與文\[6\]完全相同,而且文\[10\]直接給出以下定理:

    定理設(shè)A,B為兩個事件,P(A)>0,P(B)>0.若A,B相互獨立,則P(BA)=P(B);反之亦然.

    評注上述定理中特別加注“反之亦然”,明確無誤地指出上述定理逆命題也是成立的.即當P(A)>0,P(B)>0,則事件A,B相互獨立P(AB)=P(A)P(B).由此可以看出文\[2\]與文\[10\]都明白清楚地指出事件A,B相互獨立與P(AB)=P(A)P(B)具有等價性,既為判斷獨立事件提供了理論依據(jù),同時也為判斷獨立事件指明了具體的操作步驟.我們呼吁人教版教材再版時能夠參照文\[2\](蘇教版新教材)與文\[10\](大學教材).

    5撥開云霧見天日——得到相關(guān)結(jié)論

    結(jié)論1:事件A與事件B互斥A∩B=. 特別地,不可能事件與任意事件互斥,必然事件與不可能事件之外的任意事件均不互斥.

    結(jié)論2:對于事件A與事件B,且P(A)>0,P(B)>0,若事件A與B互斥,則事件A與B不獨立.特別地,必然事件、不可能事件與任意事件都是相互獨立.

    結(jié)論3:對于事件A與事件B,且P(A)>0,P(B)>0,則有事件A與B相互獨立P(AB)=P(A)P(B)P(B|A)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|)=P(B)P(A|)=P(A).

    評注借助結(jié)論1并通過集合運算可以判斷是否為互斥事件.借助結(jié)論2可以快速判斷互斥事件與獨立事件之間的關(guān)聯(lián),因為事件A與B互斥,推出事件A與B不相互獨立;事件A與B相互獨立,推出事件A與B不互斥.結(jié)論3為判斷獨立事件提供了多種不同的路徑.

    6橫看成嶺側(cè)成峰——列舉不同解法

    對于上述案例1,為了便于敘述,不妨用E,F(xiàn),G,H分別表示事件甲,事件乙,事件丙,事件丁.由題意可得,

    樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},即n(Ω)=36;

    事件E={(1,n)|n∈{1,2,3,4,5,6}},即n(E)=6;

    事件F={(m,2)|m∈{1,2,3,4,5,6}},即n(F)=6;

    事件G={(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)},即n(G)=5;

    事件H={(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)},即n(H)=6.

    事件EG=,即n(EG)=0;事件EH={(1,6)},即n(EH)=1;

    事件FG={(6,2)},即n(FG)=1;事件GH=,即n(GH)=0.

    依據(jù)古典概型計算公式得到:

    P(E)=n(E)n(Ω)=16, P(F)=n(F)n(Ω)=16,P(G)=n(G)n(Ω)=536, P(H)=n(H)n(Ω)=16,P(EG)=0,P(EH)=136,P(FG)=136,P(GH)=0.

    解法1(直接公式法)由上述分析可得:

    P(E)·P(G)≠P(EG),

    P(E)·P(H)=P(EH),

    P(F)·P(G)≠P(FG),

    P(G)·P(H)≠P(GH).

    說明事件E與事件H相互獨立,即事件甲與事件丁相互獨立,故答案為B.

    解法2(條件概率法)依據(jù)條件概率計算公式可得,PHE=P(EH)P(E)=n(EH)n(E)=16,P(H)=n(H)n(Ω)=636=16PHE=P(H).

    說明事件E發(fā)生沒有影響事件H發(fā)生的概率,即事件甲與丁相互獨立,故答案為B.

    解法3(結(jié)論排除法)由于事件EG=,GH=,說明事件E與G互斥,事件G與H不獨立.依據(jù)前面的結(jié)論可知事件E與G不獨立,事件G與H不獨立,從而排除選擇支A與D.作為單選選擇題,選擇支B與C必有一個正確、一個錯誤.由于事件EH與FG包含樣本點個數(shù)相同(均為1個),但是事件F與G包含樣本點個數(shù)不同,而事件E與H包含樣本點個數(shù)相同,說明事件E與H相對于事件F與G來說沒有受到“影響”,可以排除選擇支C,故答案為B.

    解法4(“獨立”本源法)一方面,在事件E發(fā)生前提下,即E={((1,n)|n∈{1,2,3,4,5,6}},此時事件H即事件HE所包含的基本事件僅僅只有{(1,6)},因此在事件E發(fā)生的前提下,事件H發(fā)生的概率為PHE=16;

    另一方面,在E不發(fā)生的前提下,即={(m,n)|m∈{2,3,4,5,6},n∈{1,2,3,4,5,6}},表明包含30個基本事件,此時H即H包含5個基本事件:{(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},于是在E不發(fā)生前提下, H發(fā)生概率為PH=PHP=nHn=530=16,這就說明事件E不發(fā)生時,事件H發(fā)生的概率還是為16.說明事件E發(fā)生與不發(fā)生,事件H發(fā)生的概率恒為定值,這正是獨立性的本質(zhì),即事件甲與丁相互獨立,故答案為B.

    評注解法1直接套用公式,這是判斷獨立事件最基本的方法;解法2立足于條件概率,表明條件概率與獨立事件之間的內(nèi)在聯(lián)系;解法3借助結(jié)論,簡潔快捷,適合選擇題,尤其單選題;解法4回歸獨立事件的本源,即一個事件發(fā)生與不發(fā)生,另一個事件發(fā)生的概率恒定不變.事實上,兩個事件相互獨立的本質(zhì)含義是其中一個事件的是否發(fā)生不會影響到另一個事件是否發(fā)生.值得特別說明的是,此處“其中一個事件的是否發(fā)生”包括這個事件發(fā)生與不發(fā)生兩種情況;“不會影響到另一個事件是否發(fā)生”真正含義是“一個事件的是否發(fā)生不會影響到另一個事件發(fā)生的概率(結(jié)果),而不是表面的現(xiàn)象(過程)”.

    7一葉落知天下秋——提升專業(yè)素養(yǎng)

    案例1考到了數(shù)學教學核心——樹立概念優(yōu)先原則,精致數(shù)學概念,追求數(shù)學概念的本質(zhì).案例1考到了概念教學弊端——長期以來,用解題教學替代概念教學,概念教學嚴重異化為“一個定義、二項注意、三個例題、N個強化訓練”.概念是數(shù)學的細胞,概念是思維的載體.數(shù)學概念是進行推理、判斷、證明的依據(jù),是構(gòu)建定理、法則、公式的基礎(chǔ).概念教學是數(shù)學教學的核心環(huán)節(jié),整個數(shù)學知識體系是建立在概念基礎(chǔ)之上的.概念教學要求學生全程參與概念產(chǎn)生、生成過程,體驗概念引入、發(fā)展、歸納及提煉歷程,讓學生在辨析概念基礎(chǔ)上鞏固、精致概念,在構(gòu)建概念動態(tài)過程中理解、掌握、悟透概念特征與本質(zhì),構(gòu)建魅力課堂,優(yōu)化思維品質(zhì),激發(fā)創(chuàng)新意識及創(chuàng)造能力.案例1考到了數(shù)學教師痛處——對事件獨立性、互斥事件及條件概率等概念模糊不清,正如李勇與章建躍等專家在文\[11\]中憂心忡忡地警示:“通過調(diào)查研究以及收集的數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果表明,縱使是處于金字塔頂部的重點高中數(shù)學教師,他們的概率統(tǒng)計知識儲備嚴重不足,80%以上的教師對大部分概率統(tǒng)計基本概念的認識都處于模糊狀態(tài),理解深度不夠,缺乏用這些概念答疑解惑的能力,影響概率統(tǒng)計知識的教學效果.”案例1考到了評價標準——“一核、四層、四翼”,正如文\[12\]明確指出“價值引領(lǐng)、素養(yǎng)導向、能力為重、知識為基”不僅是高考評價理念,更是日常教學依據(jù).

    前事不忘后事之師.數(shù)學教學難就難在概念教學.概念教學是一個艱辛、漫長的過程.正如文\[13\]指出概念教學不僅要從正面(既可以是新授課,也可以復習課)闡述概念內(nèi)涵、外延等本質(zhì)屬性,同時不妨嘗試從反面(既可以是教材中的反例,也可以是失分嚴重的試題)案例中剖析概念,適當?shù)?、有意識地在學生出現(xiàn)錯誤后采取“事后補救”.如果把概念新授看作正面引領(lǐng),倡導“懲前毖后”,那么“事后補救”就是反面糾正,實施“治病救人”.事實證明,借助對經(jīng)典高考試題(比如上述案例1)的深度研究,追蹤相關(guān)概念(比如獨立事件、互斥事件)在不同版本教材中的呈現(xiàn)(含不同版本的新舊教材、大學教學等),這也是倒逼教師厚實業(yè)務(wù)水平、提升專業(yè)素養(yǎng)的一種有效策略.

    參考文獻

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    作者簡介王淼生(1966—),男,中學正高級教師,特級教師,“蘇步青數(shù)學教育獎”一等獎獲得者,第六屆全國教育科學研究優(yōu)秀成果獎二等獎獲得者,“福建省基礎(chǔ)教學成果獎”特等獎獲得者,中國數(shù)學奧林匹克高級教練,福建省高層次人才,廈門市拔尖人才,廈門市首屆名師工作室領(lǐng)銜人,廈門市卓越教師,廈門市專家型教師,廈門市杰出教師.

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