函數(shù)與數(shù)列的“互視”

【摘要】函數(shù)與數(shù)列都是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，通常我們都習(xí)慣于從函數(shù)的角度來(lái)看數(shù)列，這樣既自然又有效.在此基礎(chǔ)上，筆者又嘗試著從數(shù)列的角度來(lái)看函數(shù)，揭示知識(shí)之間的聯(lián)系.

【關(guān)鍵詞】函數(shù);數(shù)列;逆向觀察

函數(shù)與數(shù)列都是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容.按照教材編排，通常是在高一先學(xué)習(xí)函數(shù)，再到高二學(xué)習(xí)數(shù)列.教科書(shū)中也提到“從函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或其子集）為定義域的函數(shù)an=f（n）”＼[1＼].這樣一來(lái)，從函數(shù)的角度去看數(shù)列顯得順理成章.的確，在解決某些數(shù)列問(wèn)題時(shí)，利用函數(shù)的思想、觀點(diǎn)和方法可以達(dá)到事半功倍的效果.

1從函數(shù)角度看數(shù)列

例1在等差數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)的和，公差d≠0.

（1）若am=n，an=m（m≠n），求am+n;

（2）若Sm=Sn（m≠n），求Sm+n.

數(shù)列解法（1）由題意得

a1+（m-1）d=n，

a1+（n-1）d=m，解得a1=m+n-1，

d=-1，所以am+n=a1+（m+n-1）d=m+n-1-（m+n-1）=0.

（2）由Sm=Sn，得a1m+m（m-1）2d=a1n+n（n-1）2d，整理得a1（m-n）=d2（n-m）（n+m-1），即a1=-d2（n+m-1），所以Sm+n=a1（m+n）+（m+n）（m+n-1）2d=a1（m+n）-a1（m+n）=0.

函數(shù)解法（1）由于等差數(shù)列的通項(xiàng)an是關(guān)于n的一次函數(shù)，可看作一條同時(shí)過(guò)點(diǎn)A（m，n）和B（n，m）的直線（如圖1），由對(duì)稱性可知該直線的斜率為-1，且與x軸交于點(diǎn)C（m+n，0），即am+n=0.

（2）由于Sn=d2n2+a1-d2n是關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0，令f（x）=d2x2+a1-d2x，由Sm=Sn，得f（m）=f（n），則二次函數(shù)關(guān)于直線x=m+n2對(duì)稱（如圖2），故有f（m+n）=f（0）=0，即Sm+n=0.

例2在數(shù)列{an}中，an=（n+1）1011n，求{an}的最大項(xiàng).

數(shù)列解法作差可得：

an+1-an=（n+2）1011n+1-（n+1）1011n=9-n111011n ，所以當(dāng)1≤n<9時(shí)，an+1>an，即a1<a2<a3<…<a9;當(dāng)n=9時(shí)，an+1=an，即a10=a9;當(dāng)n>9時(shí)，an+1<an，即a10>a11>a12…，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為a9=a10=1010119.

函數(shù)解法令函數(shù)f（x）=（x+1）1011x，求導(dǎo)得f′（x）=1011x+（x+1）1011xln1011， 解f′（x）>0，得x<-1ln1011-1≈9.49，即f（x）在（-∞，9.49）上單調(diào)遞增，在（9.49，+∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)x≈9.49時(shí)函數(shù)取得極大值，由于在數(shù)列中n∈N*，故取臨近的正整數(shù)n=9或10時(shí){an}為最大項(xiàng)，實(shí)際計(jì)算得a9=a10=1010119.

評(píng)析利用函數(shù)的圖象或運(yùn)算就能解決數(shù)列的問(wèn)題，畢竟數(shù)列本質(zhì)就是函數(shù).除此之外，利用函數(shù)的其它性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性、最值，都可以有效地解決相應(yīng)的數(shù)列問(wèn)題.有時(shí)甚至能突破常規(guī)思路，達(dá)到“秒殺”的效果，這需要學(xué)習(xí)者不光熟練掌握函數(shù)的各種性質(zhì)，還能在類似的問(wèn)題情景中靈活變通地應(yīng)用.

偶有一日，筆者看到當(dāng)代詩(shī)人卞之琳《斷章》中的一句“你在橋上看風(fēng)景，看風(fēng)景的人在樓上看你”[2]，于是突發(fā)奇想：是不是可以互換視角，把“橋上”的函數(shù)視為“風(fēng)景”呢？

2從數(shù)列角度看函數(shù)

例3設(shè)g（x）是定義在R上以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f（x）=x+g（x）在區(qū)間[3，4]上的值域?yàn)閇-2，5]，則f（x）在區(qū)間[-10，10]上的值域?yàn)?

函數(shù)解法若x∈[4，5]，則x-1∈[3，4]，f（x-1）∈[-2，5]，于是f（x）=x+g（x） =x+g（x-1）=x-1+g（x-1）+1=f（x-1）+1∈[-1，6]，同理可得，若x∈[-10，-9]，則f（x）∈[-15，-8]，…，若x∈[9，10]，則f（x）∈4，11，所以f（x）的值域?yàn)閇-15，-8]∪…∪[-1，6]∪…∪[4，11]=[-15，11].

數(shù)列解法由于g（x）是以1為周期的函數(shù)，即g（x+1）=g（x），不妨看作數(shù)列{gn}滿足gn+1=gn，顯然是一個(gè)常數(shù)列（實(shí)際上函數(shù)g（x）的值域是一個(gè)固定的區(qū)間），不妨設(shè)gn=t.再把函數(shù)f（x）看作數(shù)列{fn}，則fn=n+t，顯然是一個(gè)公差為1的等差數(shù)列，故函數(shù)f（x）在區(qū)間4，5上的值域比在區(qū)間3，4上的值域-2，5整體增加1個(gè)公差，為-1，6，在區(qū)間5，6上的值域增加2個(gè)公差為0，7，……，同理在區(qū)間9，10上的值域增加6個(gè)公差，為4，11，而在區(qū)間-10，-9上的值域則減少13個(gè)公差，為-15，-8.綜合以上，f（x）在區(qū)間-10，10上的值域?yàn)?15，11.

例4已知定義在[0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2）.當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=-x2+2x.設(shè)f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為an（n∈N），且數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則limn→∞Sn=.

函數(shù)解法可知a1=f（1）=1，當(dāng)x∈[2，4）時(shí)，求得解析式為f（x）=13（-x2+6x-8）=-13（x-3）2+13，所以a2=f（3）=13;當(dāng)x∈[4，6）時(shí)，求得解析式為f（x）=19（-x2+10x-24）=-19（x-5）2+19，所以a3=f（5）=19，…，歸納猜測(cè)得an=f（2n-1）=13n-1，所以limn→∞Sn=a11-q=11-13=32.

數(shù)列解法由f（x）=3f（x+2），得f（x+2）f（x）=13（f（x）=0除外），可把函數(shù)f（x）看作公比為13的等比數(shù)列群，每一項(xiàng)的“寬度”為2，區(qū)間[0，2）上對(duì)應(yīng)的所有函數(shù)值皆為首項(xiàng)，區(qū)間[2，4）上對(duì)應(yīng)的所有函數(shù)值皆為第二項(xiàng)，……，區(qū)間[2n-2，2n）上對(duì)應(yīng)的所有函數(shù)值皆為第n項(xiàng).由于a1=1，則a2=a1·13=13，a3=a1·132=19，…，an=13n-1，limn→∞Sn=a11-q=32.

評(píng)析用數(shù)列的思想反過(guò)來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，略顯“簡(jiǎn)單粗暴”.本質(zhì)上是把原來(lái)較復(fù)雜的函數(shù)簡(jiǎn)化成了另一個(gè)函數(shù)，將不是必須的條件剔除掉，抓住主要的關(guān)系即可，而表達(dá)式只是一個(gè)表達(dá)的形式而已，f（n）即an，an即f（n）.因?yàn)閿?shù)列模型本身就比函數(shù)模型簡(jiǎn)單，非等差即等比，前后關(guān)系就在項(xiàng)與項(xiàng)之間，所以簡(jiǎn)化之后計(jì)算難度也會(huì)隨之降低.

3結(jié)束語(yǔ)

筆者從最初有這個(gè)“逆向觀察”的想法到發(fā)現(xiàn)可應(yīng)用的例題，著實(shí)有點(diǎn)小驚喜，但是深入探究后發(fā)現(xiàn)這種逆向處理存在一定的局限性.一是可被套用的數(shù)列模型較少，高中階段相對(duì)熟練的也就只有等差數(shù)列和等比數(shù)列兩種;二是對(duì)于解析式已經(jīng)明確的函數(shù)，“粗獷”的數(shù)列顯得無(wú)計(jì)可施，反倒是抽象函數(shù)更便于轉(zhuǎn)化;三是這種方法并不適用于解答題，因?yàn)樗袷且环N特殊法，僅在填空題和選擇題中體現(xiàn)其作用.

新課程標(biāo)準(zhǔn)里對(duì)當(dāng)下數(shù)學(xué)教育提出了要求：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.“逆向觀察”是一個(gè)挺有意思的想法，由此“逆向思考”和“逆向處理”緊隨其后，既能深刻感受知識(shí)之間的聯(lián)系，又能得到出乎意料的結(jié)果，倒也不失為一種創(chuàng)新意識(shí).

誰(shuí)是風(fēng)景？誰(shuí)又是看風(fēng)景的人？誰(shuí)在橋上？誰(shuí)又在樓上？橋上的人或許也能看到遠(yuǎn)處樓臺(tái)的窗前有個(gè)人影……函數(shù)與數(shù)列本就“代數(shù)一家親”，若是換位去思考，都會(huì)成為彼此眼中的“美好”.

參考文獻(xiàn)

[1]上海市中小學(xué)（幼兒園）課程改革委員會(huì).高級(jí)中學(xué)課本數(shù)學(xué)高中二年級(jí)第一學(xué)期[M]. 上海：上海教育出版社，2007：6.

[2]卞之琳. 魚(yú)目集[M]. 北京：人民文學(xué)出版社，2001.1：08.

作者簡(jiǎn)介陳駿（1982—），男，中學(xué)一級(jí)教師，上海市高境第一中學(xué)數(shù)學(xué)教研組組長(zhǎng)，寶山區(qū)教學(xué)能手;主要研究高中數(shù)學(xué)教學(xué)與高考、HPM教學(xué)案例、數(shù)學(xué)建模教學(xué)案例.