圓錐曲線(xiàn)與三角形“四心”

馬進(jìn)才 李萌

【摘要】本文研究了圓錐曲線(xiàn)與三角形的重心、內(nèi)心、外心、重心相結(jié)合的問(wèn)題，更加深刻地認(rèn)識(shí)了圓錐曲線(xiàn)，以此提升了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線(xiàn);重心;內(nèi)心;外心;垂心

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指同：“通過(guò)高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力.”[1]從近幾年圓錐曲線(xiàn)的命題風(fēng)格看，既注重知識(shí)和能力的考查，又突出圓錐曲線(xiàn)的本質(zhì)特征，而圓錐曲線(xiàn)中面積、弦長(zhǎng)、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問(wèn)題.“四心”問(wèn)題進(jìn)入圓錐曲線(xiàn)，讓我們更是耳目一新.因此在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過(guò)讓學(xué)生研究三角形的“四心”與圓錐曲線(xiàn)的結(jié)合問(wèn)題，快速提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的信心，備戰(zhàn)高考.

1三角形重心的性質(zhì)及其應(yīng)用

重心是三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，其具備如下性質(zhì)：

1.G是△ABC的重心GA+GB+GC=0;重心坐標(biāo)GxA+xB+xC3，yA+yB+yC3;

2.G為△ABC的重心，P為平面上任意點(diǎn)，則PG=13（PA+PB+PC）;

3.重心是中線(xiàn)的三等分點(diǎn)，重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比是2∶1;

4.重心與三角形的3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形的面積相等，即重心到3條邊的距離與3條邊的長(zhǎng)成反比.

例1已知F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），M是第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且滿(mǎn)足|MF1|+|MF2|=4，若I是△MF1F2的內(nèi)心，G是△MF1F2的重心，記△IF1F2與△GF1M的面積分別為S1，S2，則（）.

A.S1>S2

B.S1=S2

C.S1<S2

D.S1與S2大小不確定

分析作出圖示，根據(jù)I，G的特點(diǎn)分別表示出S1，S2，即可判斷出S1，S2的大小關(guān)系.

解析因?yàn)閨MF1|+|MF2|=4>|F1F2|=2，所以M的軌跡是橢圓x24+y23=1在第一象限內(nèi)的部分，如圖1所示.

因?yàn)镮是△MF1F2的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，所以（|MF1|+|MF1|+|F1F2|）·r2=|F1F2|·yM2，所以r=yM3，所以S1=|F1F2|·y12=|F1F2|·r2=yM3，又因?yàn)镚是△MF1F2的重心，所以O(shè)G∶GM=1∶2，所以S2=23S△MOF1=13S△F2MF1=13·|F1F2|·yM2=yM3，所以S1=S2，故選B.

例2已知F1，F(xiàn)2為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)（左右頂點(diǎn)除外），G為△PF1F2為重心.若∠F1GF2≤23π恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍是（）.

A.0，13B.0，12

C.13，12 D.13，1

分析根據(jù)P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F1GF2≤23π恒成立，不妨設(shè)點(diǎn)P為上頂點(diǎn)，再根據(jù)G為△PF1F2為重心，由GO=13PO=13b≥F1Otanπ6=33c求解.

解析因?yàn)镻是橢圓上一點(diǎn)，且∠F1GF2≤23π恒成立，不妨設(shè)點(diǎn)P為上頂點(diǎn)，如圖2所示.

因?yàn)镚為△PF1F2為重心，所以GO=13PO=13b，而GO≥F1Otanπ6，即GO≥33F1O，所以13b≥33c，所以b2≥3c2，所以a2-c2≥3c2，即e2≤14，解得0<e≤12，故選B.

例3已知P為雙曲線(xiàn)C：x24-y212=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為雙曲線(xiàn)C的左、右焦點(diǎn)，M、I分別為△PF1F2的重心、內(nèi)心，若MI⊥x軸，則△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為.圖3解析如圖3，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，D，E，F(xiàn)分別為和⊙I與△PF1F2三邊相切的切點(diǎn).由切線(xiàn)長(zhǎng)定理以及雙曲線(xiàn)定義，得2a=|PF1|-|PF2|=（|PF|+|PF1|）-（|PE|+|EF2|）=|FF1|-|EF2|=|F1D|-|F2D|=（xD+c）-（c-xD）=2xD，所以xD=a=2，xM=xI=xD=2.

設(shè)P（x0，y0），由M為△PF1F2重心，知x0=3xM=6，y0=46.

所以 PF1=（6+4）2+（46-0）2=14，PF2=（6-4）2+（46-0）2=10.

設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓半徑為r，則S△PF1F2=12（PF1+PF2+F1F2）×r=16r.

另一方面，S△PF1F2=12×F1F2×y0=12×8×46=166，所以16r=166，r=6.

2三角形內(nèi)心的性質(zhì)及其應(yīng)用

內(nèi)心是三角形三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，是三角形內(nèi)切圓的圓心，其具備如下性質(zhì)：

1.I是△ABC的內(nèi)心a·IA+b·IB+c·IC=0 （其中a、b、c為△ABC的三條邊）;

2.設(shè)三角形內(nèi)切圓的半徑為r，則

（1）在任意三角形中，r=2S△C△（其中C△為三角形ABC 的周長(zhǎng)，S△為三角形ABC 的面積）;

（2）在任意三角形中，r=a+b-c2（其中a，b為直角邊，c為斜邊）.

例4已知M是橢圓x225+y216=1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)I是△MF1F2的內(nèi)心，延長(zhǎng)MI交線(xiàn)段F1F2于N，則MIIN的值為（）.

A.53B.35C.43D.34

解析如圖4，點(diǎn)M是橢圓x225+y216=1上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作BM垂直直線(xiàn)F1F2于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)I作IA垂直直線(xiàn)F1F2于點(diǎn)A，設(shè)△MF1F2的內(nèi)切圓半徑為r，則IA=r，由三角形面積相等即：S△MF1F2=S△MF1I+S△MIF2+S△IF1F2得12F1F2·MB=12rMF1+12rF1F2+12rMF2.

又MF1+MF2=2a，故得122c·MB=12r·2a+12r·2c，所以IAMB=ca+c，由橢圓方程x225+y216=1得a=5，b=4，c=a2-b2=3，所以IAMB=ca+c=38.由△MNB與△INA相似，可得IAMB=INMN=38，令I(lǐng)N=3m，則MN=8m，可求得INIM=INMN-IN=3m8m-3m=35，故選A.

例5點(diǎn)F1、F2分別是雙曲線(xiàn)x2-y23=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，則△PF1F2的內(nèi)切圓半徑r的取值范圍是（）.

A.（0，3） B.（0，2）

C.（0，2） D.（0，1）

解析如圖5所示，設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為I，內(nèi)切圓與三邊分別相切于點(diǎn)A，B，C，根據(jù)圓的切線(xiàn)可知：PB=PC，F(xiàn)1A=F1C，F(xiàn)2A=F2B，又根據(jù)雙曲線(xiàn)定義PF1-PF2=2a ，即（PC+F1C）-（PB+F2B）=2a，所以F1C-F2B=2a，即F1A-F2A=2a，又因?yàn)镕1A+F2A=2c，所以F1A=a+c，F(xiàn)2A=c-a，所以A點(diǎn)為右頂點(diǎn)，即圓心I（a，r）.

考慮P點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，直線(xiàn)PF1的斜率趨近于ba，此時(shí)PF1方程為y=ba（x+c），此時(shí)圓心到直線(xiàn)的距離為ab-ar+bcb2+a2=r，解得r=b，因此△PF1F2內(nèi)切圓半徑r∈（0，b），故選A.

3三角形垂心的性質(zhì)及其應(yīng)用

垂心是三角形三條高線(xiàn)的交點(diǎn)，其具備如下性質(zhì)：

1.H是△ABC的垂心HA·BC=HB·AC=HC·AB=0;

2.垂心到三角形一頂點(diǎn)距離為此三角形外心到此頂點(diǎn)對(duì)邊距離得2倍.

例6（2021年·遼寧省高三期末）已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1且垂直于實(shí)軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別相交于A，B兩點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)O恰為△ABF2的垂心（三角形三條高的交點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)的離心率為（）.

A.213B.2C.3D.3

解析F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為y=±bax，則當(dāng)x=-c時(shí)，y=±ba·c=±bca.設(shè)A-c，bca，B-c，-bca，因?yàn)槿糇鴺?biāo)原點(diǎn)O恰為△ABF2的垂心，所以O(shè)A⊥BF2，即OA·BF2=0，即-c，bca·2c，bca=0，則-2c2+bca2=0，即b2=2a2.因?yàn)閎2=2a2=c2-a2，所以c2=3a2，c=3a，離心率e=ca=3aa=3，故選C.

例7（2020年福建省高三聯(lián)考16題）已知：橢圓x28+y24=1的右焦點(diǎn)為F，M為上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 直線(xiàn)l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)F為△PQM的垂心時(shí)，則△PQM的面積為.

解析因?yàn)镕為△PQM的垂心，所以MF⊥PQ，PF⊥QM.

由題意知M（0，2），F(xiàn)（2，0），所以kMF=-1，kPQ=1，設(shè)直線(xiàn)PQ方程為y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2）聯(lián)立x28+y24=1，

y=x+t得3x2+4tx+2t2-8=0，可得Δ=-8t2+96>0，即t∈（-23，23），且可得x1+x2=-4t3，x1x2=2t2-83，因?yàn)镻F⊥QM，所以PF·QM=（x1-2，y1）·（x2，y2-2）=0，即x1x2-2x2+y1y2-2y1=2x1x2+（t-2）（x1+x2）+t2-2t=2（2t2-8）3+（t-2）·-4t3+t2-2t=3t2+2t-163=0. 解得t=-83，或t=2，

當(dāng)t=2時(shí)，P，Q，M三點(diǎn)共線(xiàn)（舍去），所以t=-83，此時(shí)x1+x2=329，x1x2=5627，PQ=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2=8911，點(diǎn)M到直線(xiàn)PQ的距離d=-1432=732.

所以S△MPQ=12PQ·d=282722.

4三角形外心的性質(zhì)及其應(yīng)用

外心是三角形三邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，是三角形外接圓的圓心，其具備如下性質(zhì)：

1.O是△ABC的外心|OA|=|OB|=|OC|（或OA2=OB2=OC2）;

2.若點(diǎn)O是△ABC的外心，則（OA+OB）·AB=（OB+OC）·BC=（OA+OC）·AC=0;

3.若O是△ABC的外心，則sin2A·OA+sin2B·OB+sin2C·OC=0;

4.多心組合：△ABC的外心O、重心G、垂心H共線(xiàn)，即OG∥OH.

例8設(shè)F（c，0）為雙曲線(xiàn)E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，以F為圓心，b為半徑的圓與雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為P，線(xiàn)段FP的中點(diǎn)為D，△POF的外心為I，且滿(mǎn)足OD=λOI（λ≠0），則雙曲線(xiàn)E的離心率為（）.

A.2B.3C.2D.5

分析設(shè)F′（-c，0）為雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，先由OD=λOI（λ≠0）可確定O、D、I三點(diǎn)共線(xiàn)，則根據(jù)外心的性質(zhì)可得OD⊥PF，再由點(diǎn)O為FF′的中點(diǎn)，根據(jù)中位線(xiàn)性質(zhì)可得PF′∥OD，則PF′⊥PF，進(jìn)而在Rt△PFF′中利用勾股定理求解.

解析因?yàn)镺D=λOI（λ≠0），所以O(shè)、D、I三點(diǎn)共線(xiàn)，因?yàn)辄c(diǎn)D為線(xiàn)段FP的中點(diǎn)，△POF的外心為I，所以DI⊥PF，即OD⊥PF，設(shè)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為F′（-c，0），則點(diǎn)O為線(xiàn)段F′F的中點(diǎn). 在△PFF′中，PF′∥OD，即PF′⊥PF，所以△PFF′是直角三角形，所以F′F2=F′P2+PF2，因?yàn)镻F=b，由雙曲線(xiàn)定義可得PF′-PF=2a，所以PF′=2a+b，則（2c）2=（2a+b）2+b2，因?yàn)閏2=a2+b2，整理可得b=2a，所以c=5a，則e=ca=5，故選D.

例9（2021年成都七中半期16題）F1，F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1（a，b>0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上，滿(mǎn)足PF1·PF2=0，若△PF1F2的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比為3-12，則該雙曲線(xiàn)的離心率為.

解析因?yàn)镻F1·PF2=0，所以PF1⊥PF2，即△PF1F2為直角三角形，所以PF12+PF22=F1F22=4c2，PF1-PF2=2a，則2PF1·PF2=PF12+PF22-（PF1-PF2）2=4（c2-a2），（PF1+PF2）2=（PF1-PF2）2+4PF1·PF2=8c2-4a2.所以△PF1F2內(nèi)切圓半徑r=PF1+PF2-F1F22=2c2-a2-c，外接圓半徑R=c，

由題意，得2c2-a2-cc=3-12，整理得ca2=4+23，所以雙曲線(xiàn)的離心率e=3+1.

例10（2018全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北預(yù)賽）已知點(diǎn)P在離心率為2的雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上，F(xiàn)1、F2為雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)，且PF1·PF2=0，則△PF1F2的內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R之比為.

解析由PF1·PF2=0，知∠P1PF2=90°.設(shè)PF1=m，PF2=n，又F1F2=2c，則可得R=c，r=12（m+n-2c），且

m2+n2=4c2， ①

m-n=2a. ②

設(shè)rR=k，則r=kR=kc=12（m+n-2c），即有m+n=（2k+2）c. ③

由①②③可得（2k+2）2c2+4a2=8c2，所以（k+1）2=2c2-a2c2=2-1e2=32，解得k=62-1.

故△PF1F2的內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R之比為62-1.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

作者簡(jiǎn)介馬進(jìn)才（1983—），男，河北邯鄲人，中學(xué)高級(jí)教師;主要研究課程教學(xué)、競(jìng)賽與自主招生、解題教學(xué).

李萌（1986—），女，河北邯鄲人，中學(xué)一級(jí)教師，碩士;主要研究課程教學(xué)、課程與數(shù)學(xué)史.