由一道解析幾何題引發(fā)的“識(shí)圖”思考

【摘要】解析幾何學(xué)習(xí)中既包含代數(shù)運(yùn)算，又包含對(duì)平面圖形的認(rèn)識(shí)和處理，充分認(rèn)識(shí)所研究的幾何圖形，提高學(xué)生幾何圖形的分析能力，把握所研究對(duì)象的幾何特征，學(xué)會(huì)在運(yùn)算過(guò)程中利用圖形的幾何特征來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算效率，是解析幾何教學(xué)中必須予以重視的問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】解析幾何;識(shí)圖;教學(xué)反思

圓錐曲線是解析幾何中的核心內(nèi)容，談到解析幾何問(wèn)題的解決，許多學(xué)生認(rèn)為就是復(fù)雜的計(jì)算，沒(méi)有規(guī)律可循，其實(shí)這是對(duì)解析幾何學(xué)習(xí)的一種片面認(rèn)識(shí).解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題，幾何是根本，運(yùn)算是有數(shù)形結(jié)合特征的運(yùn)算，而不僅僅是代數(shù)運(yùn)算，所以加強(qiáng)解析幾何中識(shí)圖教學(xué)顯得非常有必要.章建躍博士指出：用數(shù)形結(jié)合思想研究曲線，應(yīng)貫徹先用幾何眼光觀察與思考，再用坐標(biāo)法解決的策略[1]，讓學(xué)生參與到學(xué)會(huì)識(shí)圖的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生注意運(yùn)算與幾何的相互為用，有目的地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析幾何圖形的要素及其基本關(guān)系，再用代數(shù)語(yǔ)言表達(dá)，這樣能夠拓展解題視野，優(yōu)化運(yùn)算求解過(guò)程，教師只有注意滲透、反復(fù)強(qiáng)化這種解題策略并貫穿解析幾何學(xué)習(xí)的全過(guò)程，學(xué)生才能從繁瑣的運(yùn)算中解脫出來(lái)，從而不斷提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.下面這道解析幾何題有豐富的幾何特征，通過(guò)多角度的識(shí)圖，開辟不同的解題途徑，談一點(diǎn)自己的思考.

1試題再現(xiàn)

最近，我校高三檢測(cè)考試選取了下列這道解析幾何題作為壓軸題：

題1如圖1，已知點(diǎn)A，B在橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上，點(diǎn)A在第一象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA⊥AB.

（1）若a=3，b=1，直線OA的方程為x-3y=0，求直線OB的斜率;

（2）若△OAB是等腰三角形（點(diǎn)O，A，B按順時(shí)針排列），求ba的最大值.

第一問(wèn)只要根據(jù)條件列式求解，難度不大，從學(xué)生做題的效果來(lái)看，全班學(xué)生都能正確解答，學(xué)生第二問(wèn)普遍不會(huì)解，正確率很低，能夠動(dòng)筆寫一點(diǎn)有效過(guò)程的學(xué)生很少，究其原因找不到解題思路，雖然這道題有一定難度，但如此低的正確率還是不應(yīng)該，要求學(xué)生完全正確解答，也確有難度，但完全找不到解題思路，一點(diǎn)過(guò)程也寫不出，似乎不正常.

2問(wèn)題分析

對(duì)于第（2）小題，筆者對(duì)所在班級(jí)的學(xué)生做了調(diào)查：一是目標(biāo)函數(shù)難以建立，ba究竟用什么量表示，難以下手;二是部分學(xué)生試圖通過(guò)設(shè)直線OA的斜率表達(dá)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，雖只有一個(gè)變量，但面對(duì)復(fù)雜數(shù)據(jù)難以求出B點(diǎn)坐標(biāo);三是部分學(xué)生試圖通過(guò)設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)行求解，由于變量較多而無(wú)法求解.

本題看似平淡，但學(xué)生對(duì)等腰直角三角形這個(gè)條件，認(rèn)識(shí)不深，不能由此找到合理的解題思路.究其原因，是學(xué)生識(shí)圖能力不強(qiáng)所致.他們不能根據(jù)“直角”和“等腰”這兩個(gè)要素，轉(zhuǎn)化至合理的代數(shù)運(yùn)算.因此，需要加強(qiáng)識(shí)圖能力的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行多角度分析、深入思考，與學(xué)生共同分析比較圖形的不同表征，讓他們學(xué)會(huì)代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀的相互轉(zhuǎn)化，得到不同的解題方法，從而找到合理的解題思路.

3必要性分析

在解析幾何教學(xué)中，是否有必要加強(qiáng)識(shí)圖教學(xué)？再看下面題2：題2如圖2，已知點(diǎn)A，B，M，N為拋物線y2=2x上四個(gè)不同的點(diǎn)，直線AB與直線MN相交于點(diǎn)（1，0），直線AN過(guò)點(diǎn)（2，0）.

（1）記A，B的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，求y1y2的值;

（2）記直線AN，BM的斜率分別為k1，k2，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得k2=λk1？若存在，請(qǐng)求出λ的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

仔細(xì)分析這道題的圖形特征，就是要由三個(gè)三點(diǎn)共線（點(diǎn)A，（1，0），B共線;點(diǎn)M，（1，0），N共線;點(diǎn)A，（2，0），N共線），得兩條直線的斜率關(guān)系.而且第（1）小題已經(jīng)鋪墊了一個(gè)三點(diǎn)共線（點(diǎn)A，（1，0），B共線），可以通過(guò)不同方法得到y(tǒng)1y2=-2.設(shè)M，N的縱坐標(biāo)分別為y3，y4，由點(diǎn)M，（1，0），N共線與點(diǎn)A，（2，0），N共線，同理可得y3y4=-2，y1y4=-4.而k2=y3-y2y234-y224=4y3+y2，k1=4y4+y1，只需運(yùn)用上述三個(gè)等式將y2，y3轉(zhuǎn)化為y1，y4即可.

所謂識(shí)圖，就是要分析圖形的形成過(guò)程，找到圖形的基本關(guān)系和核心要素，再用代數(shù)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，通過(guò)合理轉(zhuǎn)化即完成解題.像上述題2，三個(gè)三點(diǎn)共線是基本關(guān)系，可運(yùn)算得其代數(shù)關(guān)系式，通過(guò)消元轉(zhuǎn)化，就可以研究?jī)蓷l直線的斜率關(guān)系.因此，加強(qiáng)識(shí)圖能力的教學(xué)，有助于解題思路的形成.下文以問(wèn)題為例，展示由識(shí)圖到解題思路形成的教學(xué)過(guò)程，與讀者交流研討.

4教學(xué)分析

4.1初識(shí)圖形

問(wèn)題1這次考試的壓軸題，有一定難度，但圖形卻不復(fù)雜，請(qǐng)同學(xué)們?cè)俜治鲆幌聢D形的形成過(guò)程，找一找圖形中的關(guān)鍵條件，思考怎樣處理這些關(guān)鍵條件.

學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵條件OA⊥AB與OA=AB，怎樣從代數(shù)運(yùn)算的角度刻畫這兩個(gè)條件呢？只要設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），就有解題思路了.

由OA⊥AB，得x1（x2-x1）+y1（y2-y1）=0.①

由OA=AB，得x21+y21=（x2-x1）2+（y2-y1）2.②

且A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)還滿足x21a2+y21b2=1與x22a2+y22b2=1.本題即可利用這4個(gè)等式轉(zhuǎn)化研究ba的最大值.在此，要告訴學(xué)生一個(gè)道理，認(rèn)真審題研究圖形，就能找到解題思路，要大膽思考、要敢分析、要敢寫，很多問(wèn)題并不難.當(dāng)然，這是一個(gè)初級(jí)解題思路，還要引導(dǎo)學(xué)生敢于運(yùn)算.

問(wèn)題2這4個(gè)等式涉及多個(gè)字母，如何消元轉(zhuǎn)化到求ba的最大值呢？

引導(dǎo)學(xué)生觀察這4個(gè)等式，不難得到消元思路.字母a，b保留，可盡量消去x2，y2或y1，y2，4個(gè)等式中，后3個(gè)等式都是平方項(xiàng)，顯然由①式消元.

由①式得y1-y2=x1y1（x2-x1），

代入②式有x21+y21=（x2-x1）2+x21y21（x2-x1）2=（x2-x1）2x21+y21y21，解得x2=x1+y1，y2=y1-x1，

將A（x1，y1），B（x1+y1，y1-x1）代入橢圓方程，得x21a2+y21b2=1與（x1+y1）2a2+（y1-x1）2b2=1，兩式相減即得目標(biāo)b2a2=2x1y1-x212x1y1+y21，齊次式求最值，留時(shí)間讓學(xué)生運(yùn)算，最終得ba的最大值為5-12.

問(wèn)題3上述解法是基本思路，不難想，只要大膽運(yùn)算，運(yùn)算量也不是想象的那么大.當(dāng)然，能不能運(yùn)用弦長(zhǎng)公式適當(dāng)優(yōu)化解法呢？

問(wèn)題3解題思路并沒(méi)有變化，只是引導(dǎo)學(xué)生靈活解題.只要想到弦長(zhǎng)公式，引入直線OA的斜率k，即可淡化y1，y2的運(yùn)算.易得OA=x21+y21=1+k2x1，AB=1+1k2x1-x2，所以x1=x2-x1k，即x2=x1+y1，再由OA⊥AB可得y2=y1-x1.

4.2再識(shí)圖形

問(wèn)題4除了具備條件OA⊥AB且OA=AB是等腰直角三角形外，請(qǐng)同學(xué)們思考還有哪些條件能夠滿足是等腰直角三角形呢？

引導(dǎo)學(xué)生再次認(rèn)識(shí)等腰直角三角形，并不難發(fā)現(xiàn)：由∠AOB=45°與OB=2OA，也能保證等腰直角三角形，這時(shí)可把OA，OB作為研究目標(biāo).因此，又得到另一解題思路：研究OA，OB的斜率關(guān)系，研究OA，OB的交點(diǎn)處理長(zhǎng)度OB=2OA.

設(shè)直線OA斜率為k，傾角為θ，則k=tanθ，由∠AOB=45°，得kOB=tan（θ-45°），所以kOB=k-11+k.

由y=kx，

x2a2+y2b2=1，得x21=a2b2b2+a2k2，所以O(shè)A2=（1+k2）a2b2b2+a2k2，同理可得OB2=1+k-11+k2a2b2b2+a2k-11+k2=2（1+k2）a2b2b2（1+k）2+a2（k-1）2，由OB=2OA，得b2k2+2（b2-a2）k+a2=0，所以4（b2-a2）2-4a2b2≥0，解得ba≤5-12，當(dāng)k=5+12時(shí)取到最大值.

若有的學(xué)校教師補(bǔ)充過(guò)復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)，還可引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)的角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圖形.

問(wèn)題5我們?cè)?jīng)補(bǔ)充過(guò)復(fù)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，能不能運(yùn)用復(fù)數(shù)知識(shí)解決這個(gè)問(wèn)題？

容易發(fā)現(xiàn)，OB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的22，即得OA.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），分別對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)x1+y1i與x2+y2i，則22（x2+y2i）（cos45°+isin45°）=x1+y1i，所以（x2-y2）+i（x2+y2）=2x1+2y1i，解得x2=x1+y1，y2=y1-x1.（下同問(wèn)題2的處理）

4.3轉(zhuǎn)換視角

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題的，既是幾何問(wèn)題，就不能忽略幾何圖形中隱含的信息.若能充分借用幾何關(guān)系，深層次挖掘幾何信息，探求問(wèn)題本質(zhì)，則可簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，有效提高解題效率.

問(wèn)題6對(duì)于條件“等腰直角三角形△OAB”，能不能運(yùn)用幾何關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系？

學(xué)生雖知道初中幾何知識(shí)，但長(zhǎng)時(shí)間不運(yùn)用，當(dāng)然不能迅速解決問(wèn)題6.需要再引導(dǎo)，從幾何的角度，研究點(diǎn)的坐標(biāo)怎么處理？這時(shí)學(xué)生可能會(huì)想到作坐標(biāo)軸的垂線，給點(diǎn)時(shí)間學(xué)生思考，他們能得到以下處理：

如圖3，過(guò)點(diǎn)A作y軸垂線交y軸于M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥AM于N，由△OAB是等腰直角三角形，易得△AOB≌△ANB，容易得到OM=AN，AM=BN，從而得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系.

本題最為簡(jiǎn)潔的解法，在問(wèn)題中所涉及的幾何要素上加強(qiáng)引導(dǎo)學(xué)生“識(shí)圖”，代數(shù)式的化簡(jiǎn)、方程的變形與轉(zhuǎn)化都起著很重要的作用，在不同的解法中比較，細(xì)節(jié)不同的處理，需要循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生感悟.

問(wèn)題7若將等腰直角三角形△OAB，改為∠AOB=60°的直角三角形，怎么處理？請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)本節(jié)課的研究，從不同的角度認(rèn)識(shí)這個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題7作為課后思考題的主要目的，一是激發(fā)學(xué)生研究的熱情;二是讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)這類圖形的本質(zhì).這樣將數(shù)形結(jié)合思想方法融入到具體的問(wèn)題解決過(guò)程中，使學(xué)生在實(shí)踐中加深“識(shí)圖”的理解，逐步養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合解決解析幾何問(wèn)題的思維習(xí)慣.

5教學(xué)反思

通過(guò)這道例題，有效識(shí)圖，靈活處理運(yùn)算的多元表征，嘗試每種幾何特征下的運(yùn)算量，合理規(guī)劃運(yùn)算路徑.學(xué)生在解題實(shí)踐中有意識(shí)地去感悟不同識(shí)圖方式帶來(lái)的多種解法，分析不同解法帶來(lái)的運(yùn)算量和表達(dá)方式的差異.通過(guò)分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、設(shè)計(jì)運(yùn)算途徑，不僅讓學(xué)生體會(huì)利用等腰直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，而且通過(guò)識(shí)圖帶來(lái)不同解法的比較，其中更有簡(jiǎn)捷、優(yōu)美的解法，體現(xiàn)了多想少算的原則和較高的理性思維水平，使學(xué)生也體會(huì)了解析幾何運(yùn)算中所具有的特點(diǎn)：先分析清楚研究對(duì)象的幾何特征，學(xué)會(huì)有效認(rèn)識(shí)圖形中的角度、長(zhǎng)度、位置關(guān)系，把握所研究對(duì)象的幾何特征、明確面臨的幾何問(wèn)題，找到合理的幾何關(guān)系，將幾何元素及其關(guān)系代數(shù)化，在運(yùn)算過(guò)程中充分利用相應(yīng)的幾何特性來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，然后運(yùn)算推理和求解，這是化解數(shù)學(xué)運(yùn)算難點(diǎn)的重要舉措.通過(guò)不斷探索、歸納和總結(jié)的體驗(yàn)和感悟，積累運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑，從而提升解析幾何問(wèn)題解決能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

[1]章建躍.利用幾何圖形建立直觀通過(guò)代數(shù)運(yùn)算刻畫規(guī)律＼[J＼].數(shù)學(xué)通報(bào)，2021（08）：110.

作者簡(jiǎn)介梁永年（1978—），男，江蘇濱海人，中學(xué)高級(jí)教師， 鹽城市高中數(shù)學(xué)教學(xué)能手，2020年10月獲鹽城市基礎(chǔ)教育成果一等獎(jiǎng)，2021年1月獲江蘇省教科研先進(jìn)個(gè)人;主要研究高中數(shù)學(xué)教育與教學(xué).