尋找命題背景提高復(fù)習(xí)效率

【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要追求清楚、自然，數(shù)學(xué)解題要把握本質(zhì)，直擊要害.數(shù)學(xué)解題的過(guò)程就是在合乎邏輯的前提下，將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過(guò)的題目.而在解決立體幾何綜合問(wèn)題時(shí)，通過(guò)尋找題目圖形的背景，找到圖形的“源”，就可以快速解決問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】立體幾何;圖形;本質(zhì);核心素養(yǎng)

1立體幾何在高考中的重要性

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“課標(biāo)2017版”）[1]要求高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟迪思維，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的實(shí)質(zhì).高考考查的內(nèi)容是“必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)、核心價(jià)值”.立體幾何作為高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，在高考中是必考題型（通常是2道選擇或填空題和1道解答題），是考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)的載體.

2立體幾何高三復(fù)習(xí)的現(xiàn)狀

姜伯駒院士曾指出：“平面幾何之所以招人恨，在于它能夠透視出思維的品質(zhì)，靠死記硬背不容易過(guò)關(guān)，平面幾何對(duì)教師的要求也高，如果學(xué)生感受的盡是刻板的清規(guī)戒律而缺少甘甜的柳暗花明，就不會(huì)贏得學(xué)生的喜愛(ài).”[2]我想，姜院士描述的情形對(duì)于高中立體幾何的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀同樣成立.大多立體幾何的復(fù)習(xí)往往是題海戰(zhàn)術(shù)，不重視基本概念、定理，復(fù)習(xí)點(diǎn)到為止，涉及到有關(guān)空間角的問(wèn)題只強(qiáng)調(diào)建立空間直角坐標(biāo)系計(jì)算，解題過(guò)程一帶而過(guò)，不重視空間想象能力的培養(yǎng)，不站在命題人的角度探索，不研究題目的來(lái)源，不去找該題的“母題”.本文尋找通過(guò)近幾年高考題中典型例題的分析，尋找題目的“根源”，探討立體幾何復(fù)習(xí)中如何培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力和邏輯推理能力，避免低效的“題海戰(zhàn)術(shù)”.

3挖掘圖形背景的立體幾何復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心，在立體幾何的復(fù)習(xí)中，應(yīng)該通過(guò)典型的題目教會(huì)學(xué)生思考.波利亞說(shuō)過(guò)：“一個(gè)專(zhuān)心的認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門(mén)戶(hù)，把學(xué)生引入了一個(gè)完整的理論領(lǐng)域.”[3]因此，本文以找立體圖形的“源”，結(jié)合具體的高考試題去領(lǐng)會(huì)命題立意，挖掘試題的育人功能，幫助學(xué)生體會(huì)命題的依據(jù)、思路、方法.從而，找到解題的“切入點(diǎn)”，提高立體幾何復(fù)習(xí)的效率.

3.1嵌入三棱柱

教材中求三棱錐體積的方法是把三棱柱分解為三個(gè)等體積的三棱錐，所以解題時(shí)我們可以把三棱錐的問(wèn)題補(bǔ)成三棱柱，當(dāng)解題面對(duì)的圖形為三棱錐時(shí)，特別是有一個(gè)面與底面垂直或一條棱與底面垂直時(shí)，此類(lèi)問(wèn)題的圖形背景往往是柱體，通常我們可以把該圖形補(bǔ)成直三棱柱，把三棱錐嵌入三棱柱中，把握命題的出發(fā)點(diǎn)，直指問(wèn)題本質(zhì).

例1（2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷新高考Ⅰ卷第20題）如圖1，在三棱錐ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：OA⊥CD;

（Ⅱ）若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角EBCD的大小為45°，求三棱錐ABCD的體積.

分析（Ⅰ）在三棱錐ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，可以理解為命題人以直三棱柱BCDB1C1D1為依托，如圖2，取B1D1的中點(diǎn)A，連接AB，AC，AD得到，顯然，AO與側(cè)棱平行，則AO⊥平面BCD.不難有下面的證明：

AB=AD，O為BD的中點(diǎn)，所以AO⊥BD，因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BCD=BD，平面ABD⊥平面BCD，AO平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因?yàn)镃D平面BCD，所以AO⊥CD.

（Ⅱ）連接BD1，設(shè)AD∩BD1=E′，且AE′E′D=AD1BD=12，又因?yàn)锳EED=12，所以，E′與E重合，則平面EBC與平面D1BC重合，所以二面角EBCD與二面角D1BCD相等，在直三棱柱中，易知∠D1CD是二面角D1BCD的平面角，故∠D1CD=π4，又△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，所以，CD=DD1=AO=1.所以V=13AO·S△BCD=13×1×12×1×3=36.

方法點(diǎn)睛把三棱錐嵌入三棱柱中，垂直關(guān)系更加直觀，二面角變得顯然，并且運(yùn)算量降低，甚至連出錯(cuò)的機(jī)會(huì)都沒(méi)有.因此，如果我們能夠理解命題立意可以使解題事半功倍，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)成功的快樂(lè)，提高發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.如果我們補(bǔ)成三棱柱后，因?yàn)榈酌媸侵苯侨切?，建立空間直角坐標(biāo)系，解決（Ⅱ）也是非常方便的.

3.2嵌入正（長(zhǎng)）方體

“課標(biāo)2017年版”明確要求“立體幾何初步”的學(xué)習(xí)，可以以長(zhǎng)方體為載體，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系.表述平行、垂直的性質(zhì)與判定時(shí)，大多也是從長(zhǎng)方體開(kāi)始的.當(dāng)題目給出的圖形是四棱錐，其中有一條棱與底面垂直或一個(gè)面與底面垂直時(shí)，或者是有一個(gè)共頂點(diǎn)的三條側(cè)棱兩兩垂直時(shí)，我們通常把它補(bǔ)成正（長(zhǎng)）方體.此時(shí)，我們不管是用傳統(tǒng)方法直接證明，還是建立空間直角坐標(biāo)系，題目都變得直觀、簡(jiǎn)單，有章可循.

例2（2020年高考數(shù)學(xué)山東卷第20題）如圖3，四棱錐PABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線(xiàn)為l.

（Ⅰ）證明：l⊥平面PDC;

（Ⅱ）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

分析（Ⅰ）把四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1P，（如圖4）易知，平面PAD與平面PBC的交線(xiàn)為l即為棱A1P，證明l⊥平面PDC，就等價(jià)于證明A1P⊥平面C1CDP.即證明AD⊥平面PDC，這樣的證明非常簡(jiǎn)單了.

（Ⅱ）設(shè)PB∩QC=O，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥平面QCD，垂足為H，連接PH，則∠POH為PB與平面QCD所成角.設(shè)QP=x，PO=y，則VP-QCD=VC-PQD，即13×12×1×12+x2×PH=13×12×1×x×1，即PH=x1+x2，因?yàn)椤鱌OQ∽△BOC，則x1=y3-y，解得y=3x1+x，在Rt△POH中，sin∠POH=PHPO=x1+x23x1+x=1+x31+x2=331+2x+x21+x2=331+2x1+x2≤331+1

=63.當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).所以直線(xiàn)PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為63.

方法點(diǎn)睛當(dāng)年，該高考題的得分率不高，主要原因是考生找不到交線(xiàn)，很明顯，命題的背景是正方體，如果把圖形補(bǔ)成正方體后，該問(wèn)題就非常清楚、簡(jiǎn)單.對(duì)第（Ⅱ）問(wèn)的解答，我們依然是利用正方體的特殊性，設(shè)出面的垂線(xiàn)，找到直線(xiàn)與平面所成的角，利用等體積求出垂線(xiàn)段和斜邊的長(zhǎng)度，在直角三角形中，得到線(xiàn)面角正弦的表達(dá)式，利用基本不等式求出最大值.與建立空間直角坐標(biāo)系相比較運(yùn)算量降低.

例3（2016年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ文科第18題）如圖5，已知正三棱錐PABC的側(cè)面都是直角三角形，PA=6，頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連結(jié)PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.

（Ⅰ）證明：G是AB的中點(diǎn);

（Ⅱ）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說(shuō)明作法及理由），并求四面體PDEF的體積.

分析（Ⅰ）略.

（Ⅱ）因?yàn)檎忮FPABC的側(cè)面是直角三角形，故可以將三棱錐補(bǔ)成正方體PAQCBA1Q1C1，如圖6，過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線(xiàn)交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影.理由如下：因?yàn)镋F∥PB，PB⊥平面PAC，所以EF⊥平面PAC.

即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影.連結(jié)CG，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心.由（Ⅰ）知，G是AB的中點(diǎn)，所以D在CG上，故CD=23CG，DE∥PC，因此PE=23PG，DE=13PC.由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PE=22，EF=PF=2，所以四面體PDEF的體積V=13×12×2×2×2=43.

方法點(diǎn)睛正方體是我們學(xué)習(xí)立體幾何的重要載體，因此，我們說(shuō)“正方體是立體幾何的百寶箱”.在高三復(fù)習(xí)時(shí)，曾經(jīng)讓學(xué)生解答該題，做對(duì)的很少，當(dāng)補(bǔ)成正方體后，學(xué)生豁然開(kāi)朗，把給出的圖形補(bǔ)成正方體后，找點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影就變得很簡(jiǎn)單，此時(shí)的問(wèn)題化歸就有方向，問(wèn)題往往變得比較直觀，解題就心中有數(shù)，心中有底.

3.3聚焦圖形的核心

立體幾何圖形往往比較復(fù)雜，如果抓不住核心部分，就會(huì)眼花繚亂、無(wú)從下手，在解題時(shí)，要善于從已知和待證明的結(jié)論出發(fā)抓主要矛盾，找到解題的突破口，在圖形的核心中尋求突破.

例3（2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ理第18題）如圖7，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=AD.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，PO=66DO.

（Ⅰ）證明：PA⊥平面PBC;

（Ⅱ）求二面角BPCE的余弦值.

分析（Ⅰ）題目給出的圖形復(fù)雜，但是，要證明PA⊥平面PBC是清楚的，所以，要抓住核心圖形，即三棱錐APBC（如圖8），只需要證明PA⊥PB，PA⊥PC即可.因?yàn)橐阎獥l件更多地是邊長(zhǎng)，故考慮利用勾股定理的逆定理，由題設(shè)知△DAE為等邊三角形，設(shè)AE=1，則DO=32，CO=BO=12AE=12，所以PO=66DO=24，PC=PO2+OC2=64，同理PB=PA=64，又△ABC為等邊三角形，則BAsin 60°=2OA，所以BA=32，PA2+PB2=34=AB2，則∠APB=90°，所以PA⊥PB，同理PA⊥PC，又PC∩PB=P，所以PA⊥平面PBC.

（Ⅱ）略.

方法點(diǎn)睛從要證明的結(jié)論出發(fā)尋找解題思路是立體幾何證明的重要手段，立體幾何解題遵循“由已知想性質(zhì)，由求證想判定”.因?yàn)橐C明線(xiàn)面垂直，就要證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，證明PA⊥平面PBC，則在三棱錐APBC中證明側(cè)棱垂直成為研究的核心.

3.4補(bǔ)成完整的幾何體

當(dāng)題目給出的圖形不能直接判斷是什么樣的幾何體，往往是命題人通過(guò)截取幾何體的一部分呈現(xiàn)出來(lái)，考查空間想象能力.為了解題時(shí)抓住本質(zhì)，使問(wèn)題的解決有依托，可以把它補(bǔ)充完整，使它成為我們常見(jiàn)的幾何體.

例4（2019年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅲ第8題）如圖9，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線(xiàn)段ED的中點(diǎn)，則（）.

A.BM=EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)

B.BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)

C.BM=EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)

D.BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)

分析把圖形補(bǔ)成完整的三棱柱DCEABF，連接BE，BD，MN，因?yàn)辄c(diǎn)N為正方形ABCD的中心，M為DE中點(diǎn)，所以MN是△DBE的中位線(xiàn)，所以BM，EN是相交直線(xiàn)，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，在三棱柱中，易知三角形BDE是等腰三角形，且BD=BE=22，DE=2，易得BM=（22）2-12=7，作EO⊥CD于O，連接ON，則△EON為直角三角形，易知EO=3，ON=1，所以EN=2，所以BM≠EN.

方法點(diǎn)睛對(duì)于該題的解答，我們看到解決該題的方法大多是從證明的角度解決，這背離命題的意圖，而補(bǔ)成三棱柱后，立足整體，思路變得非常清晰，直線(xiàn)BM，EN關(guān)系變成三角形中的相交線(xiàn)，BM，EN的長(zhǎng)度比較，實(shí)質(zhì)上無(wú)需運(yùn)算，因?yàn)樵诘妊切蜝DE中，BM，EN分別是底邊和腰上的中線(xiàn)，長(zhǎng)度顯然不等.這才是命題的宗旨.可以理解為命題人是在三棱柱中先找到里面的關(guān)系，然后，隱去三棱柱的一些棱來(lái)考查考生的空間想象能力.

4新高考對(duì)復(fù)習(xí)的啟示

4.1選擇好的問(wèn)題

美國(guó)數(shù)學(xué)家哈爾斯說(shuō)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.”沒(méi)有好的問(wèn)題，就沒(méi)有異彩紛呈的數(shù)學(xué)，沒(méi)有好的問(wèn)題去引領(lǐng)學(xué)生的學(xué)，就沒(méi)有數(shù)學(xué)課堂的精彩.教師教的“有效”要通過(guò)“好題”的深入淺出，落實(shí)學(xué)生學(xué)的“有效”.數(shù)學(xué)解題是一種創(chuàng)造性活動(dòng)，誰(shuí)也沒(méi)法教會(huì)我們解決所有題目，重要的是通過(guò)有限題目學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟無(wú)限道題目的數(shù)學(xué)機(jī)智，好的問(wèn)題是“一只產(chǎn)金蛋的母雞”.

4.2重視作圖

作圖是立體幾何重要的基本技能，作圖是立體幾何解題的前提，正確理解立體幾何圖形的聯(lián)系，找到圖形的“源”與“流”，是學(xué)好立體幾何的“秘密”.一方面，必要的解題活動(dòng)是學(xué)好立體幾何學(xué)習(xí)的必要途徑，通過(guò)解題培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，另一方面，解題對(duì)于培養(yǎng)空間想象力、鞏固立體幾何的定義、定理的理解和運(yùn)用有不可替代的作用.

5結(jié)束語(yǔ)

新課程下的高考命題突出素養(yǎng)立意，多以策略性知識(shí)為背景，考查學(xué)生的必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)和核心價(jià)值，立體幾何的核心價(jià)值就是發(fā)展幾何直觀、空間想象能力、邏輯推理能力.要求學(xué)生增強(qiáng)運(yùn)用幾何直觀和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí)，在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，理解命題體系，表述論證過(guò)程，形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神.

參考文獻(xiàn)

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作者簡(jiǎn)介梁乾培（1969—），男，山東臨沂人，中學(xué)正高級(jí)教師，臨沂市骨干教師，兼職教研員;主要研究高考數(shù)學(xué)解題;多年參與臨沂市高三質(zhì)量檢測(cè)題的命題，發(fā)表論文多篇.