突破《幾何》難教難學(xué)的幾點(diǎn)思考與探索

郭海英 王元恒

摘?要：針對(duì)中學(xué)《幾何》課程的難教難學(xué)，進(jìn)行了幾點(diǎn)思考與探索，引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范幾何語(yǔ)言和識(shí)圖來(lái)培養(yǎng)學(xué)生思辨與創(chuàng)新能力，結(jié)合初中平面幾何內(nèi)容挖掘中國(guó)古代成就提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)動(dòng)圖的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)發(fā)掘教材中辯證因素，堅(jiān)持理論聯(lián)系實(shí)際進(jìn)行一些幾何測(cè)量與實(shí)驗(yàn)，講授一些高等數(shù)學(xué)知識(shí)和難題去激發(fā)學(xué)生的興趣和創(chuàng)造力，從而在中學(xué)平面幾何的教學(xué)中自然而然地提高學(xué)生們學(xué)習(xí)《幾何》的興趣和語(yǔ)言能力、思辨能力以及創(chuàng)新能力。

關(guān)鍵詞：平面幾何;幾何語(yǔ)言;思辨能力;創(chuàng)新能力

人們普遍認(rèn)為，《幾何》課程內(nèi)容在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)中是老師難教、學(xué)生難學(xué)的內(nèi)容之一[1]，也是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是大部分初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)好與壞的“分界嶺”。所以，關(guān)于平面幾何的教學(xué)與改革一直是熱點(diǎn)問(wèn)題之一，人們?cè)诶碚摲椒ê蛯?shí)踐教學(xué)上對(duì)初中《幾何》的教學(xué)和內(nèi)容體系上也多有研究[25]。針對(duì)中學(xué)《幾何》課程的教學(xué)，如何提高教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)教育教學(xué)研究，加強(qiáng)幾何基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，發(fā)掘教材中辯證因素，克服學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的“抽象、難學(xué)”傾向，提高學(xué)生的幾何素質(zhì)和識(shí)圖能力、思辨能力以及創(chuàng)新能力，我們進(jìn)行了如下幾點(diǎn)思考與探索，供大家商榷。

一、引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范幾何語(yǔ)言和識(shí)圖，培養(yǎng)學(xué)生思辨與創(chuàng)新能力

在平面幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程中，推理論證是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的基本訓(xùn)練形式。推理論證的困難就在于學(xué)生識(shí)圖不準(zhǔn)、幾何語(yǔ)言表達(dá)不清，幾何中的定義、法則、公理、定理、條件、結(jié)論等都要求用嚴(yán)格規(guī)范的幾何語(yǔ)言來(lái)敘述，而且有敘述上的特點(diǎn)和方式，不同于學(xué)生們生活語(yǔ)言和習(xí)慣性語(yǔ)言，語(yǔ)言之間有著較大的差異和特殊性。教師要循序引導(dǎo)，對(duì)幾何語(yǔ)言的文字表達(dá)要準(zhǔn)確簡(jiǎn)練，排除一些日常生活口語(yǔ)的影響。例如，“點(diǎn)P在直線L外”，或者說(shuō)“點(diǎn)P不在直線L上”都可以，而有些學(xué)生說(shuō)成“點(diǎn)P在直線L的上面（上邊、下面、下邊、一邊）”就不夠準(zhǔn)確。用文字?jǐn)⑹龇从硤D形時(shí)，不能產(chǎn)生歧義，提高語(yǔ)言表達(dá)能力，點(diǎn)必須指明在什么地方，線必須說(shuō)明在什么位置，對(duì)于“任取一點(diǎn)”“取定一點(diǎn)”“存在一點(diǎn)”“存在有”“有且只有”等幾何語(yǔ)言描述必須透徹理解，消除幾何語(yǔ)言與生活語(yǔ)言的差距。教師在教學(xué)過(guò)程中必須先要求自己幾何語(yǔ)言規(guī)范準(zhǔn)確，對(duì)學(xué)生起到示范和潛移默化的熏陶作用，對(duì)學(xué)生的不規(guī)范語(yǔ)言要及時(shí)糾正，要求學(xué)生仔細(xì)聽(tīng)課，先學(xué)會(huì)模仿老師的幾何語(yǔ)言，再達(dá)到掌握和會(huì)用幾何語(yǔ)言，這對(duì)幾何課程思政教學(xué)中解決推論論證難、提高學(xué)生的思維能力有著重要作用。

識(shí)別并畫(huà)準(zhǔn)幾何圖形，是證題的基礎(chǔ)和前提。在《幾何圖形》的教學(xué)中，畫(huà)圖可以使學(xué)生正確理解概念、提高學(xué)生的思辨創(chuàng)新能力，是學(xué)好幾何的至關(guān)重要的一環(huán)。培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖作圖能力，提高學(xué)生幾何素養(yǎng)要從易到難、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，畫(huà)好基本圖形是培養(yǎng)學(xué)生觀察認(rèn)識(shí)能力、學(xué)習(xí)幾何的基本功。識(shí)圖能力提高了，解題創(chuàng)新能力必然增高，因此，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度觀察分析教材中的基本圖形并進(jìn)行適當(dāng)?shù)难葑儯瑥亩莆者@些基本圖形及其相對(duì)應(yīng)的性質(zhì)結(jié)論。

學(xué)生會(huì)不會(huì)進(jìn)行正確的推理幾何命題，很大程度在于會(huì)不會(huì)分析圖形，而圖形的準(zhǔn)確、規(guī)范，對(duì)于學(xué)生們的思維思考起著不可估量的作用。幾何圖形千變?nèi)f化，每種圖形的性質(zhì)在教材中不可能一一列出，給出的定理、公式也只是最基本的，只能作為幾何題目推理、論證的基礎(chǔ)。例如，有時(shí)候一個(gè)幾何圖形的線條縱橫交錯(cuò)，局部圖形重疊，給學(xué)生識(shí)別基本圖形造成困難，進(jìn)而給推導(dǎo)論證命題造成困難，這時(shí)候圖形準(zhǔn)確對(duì)于觀察圖形更顯得重要，這就需要老師引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜圖形進(jìn)行分析，構(gòu)造出有用的簡(jiǎn)單圖形，應(yīng)用它們的性質(zhì)和聯(lián)系，給出推理論證打開(kāi)新局面，找出正確的解題方法和答案。因此，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力，是學(xué)好平面幾何、形成良好的邏輯思維能力的重要前提。例如，在平面幾何圖形中有一些特殊點(diǎn)（中點(diǎn)、切點(diǎn)、起點(diǎn)、終點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)等）、特殊線（三角形中位線、中線、高線、角平分線、高線、圓的弦線、切線連心線等），要注意觀察應(yīng)用這些點(diǎn)和線的特殊性質(zhì)及其在幾何證明題中所起到的重要作用，通過(guò)反復(fù)練習(xí)，使得學(xué)生掌握這些圖形的特征，培養(yǎng)學(xué)生的識(shí)圖能力、解題能力、推理能力、邏輯思維能力和創(chuàng)新能力。

二、結(jié)合平面幾何內(nèi)容挖掘中國(guó)古代成就，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

在平面幾何教學(xué)中，結(jié)合傳授知識(shí)技能，把愛(ài)國(guó)主義教育融于教學(xué)之中，讓學(xué)生了解中華民族在數(shù)學(xué)創(chuàng)造和幾何圖形應(yīng)用上的光輝歷史[6]。在《圓的有關(guān)性質(zhì)》教學(xué)中，通過(guò)對(duì)求拱橋半徑的講授，向?qū)W生介紹了我國(guó)隋代著名的能工巧匠李春設(shè)計(jì)并參加建筑趙州橋的光輝業(yè)績(jī)，告訴學(xué)生在當(dāng)時(shí)技術(shù)設(shè)備低劣的情況下，能夠建造這樣宏大壯觀的橋梁，在世界上任何一個(gè)國(guó)家都是無(wú)法比擬的。借此培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義熱情和自豪感，提高學(xué)習(xí)興趣。

在《正多邊形和圓》教學(xué)中，向?qū)W生講述了在圓與正多邊形的研究上，中國(guó)在世界數(shù)學(xué)發(fā)展史上有過(guò)重要地位。1800年前的著名數(shù)學(xué)家劉徽，首先發(fā)明了“割圓術(shù)”，為圓周率的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，借助于內(nèi)接正多邊形和極限的概念，計(jì)算圓的面積和圓周率，推導(dǎo)得出圓周率約等于3927/1250≈3.1416這個(gè)重要數(shù)字，比起阿基米德的工作，事半功倍;同時(shí)，“割圓術(shù)”的思想，也正是現(xiàn)代數(shù)學(xué)《微積分》的思想，“割得越細(xì)，差距越小，割了又割……”，為了證明這一理論、更加精確地計(jì)算圓周率，劉徽將切割工作進(jìn)行得十分仔細(xì)，最后他計(jì)算到了3072正多邊形的面積。南北朝時(shí)偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之，繼承了劉徽的思想，計(jì)算到了內(nèi)切和外切24576正多邊形的面積，得到了圓周率更精確的值，是大于3.1415926而小于3.1415927，這個(gè)結(jié)果比西方國(guó)家領(lǐng)先了1100多年;祖沖之還是第一人用分?jǐn)?shù)22/7（約率，或者祖率）和355/113（密率，七位精確數(shù)字）表示圓周率，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的結(jié)果直到現(xiàn)在人們還在應(yīng)用。還有我國(guó)西周時(shí)期“商高論矩”“勾三股四玄五”，說(shuō)明我們祖先的“勾股定理”比西方的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)的“畢達(dá)哥拉斯定理”早了500多年，但是到現(xiàn)在為止，西方學(xué)者還繼續(xù)稱(chēng)我們中國(guó)的“勾股定理”為“畢達(dá)哥拉斯定理”。通過(guò)多多挖掘平面幾何課程中的中國(guó)古典發(fā)明創(chuàng)造和歷史文化背景知識(shí)，借助于我們祖先的偉大數(shù)學(xué)成就，激發(fā)學(xué)生們愛(ài)科學(xué)、愛(ài)民族的熱情，振奮學(xué)生們自強(qiáng)不息的奮斗精神。

三、運(yùn)用動(dòng)點(diǎn)動(dòng)圖的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)，發(fā)掘教材中辯證因素

在平面幾何教學(xué)中，堅(jiān)持運(yùn)用辯證法的觀點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，注意發(fā)掘教材中的辯證因素，引導(dǎo)學(xué)生弄清概念與概念、命題與命題、概念與命題之間的區(qū)別和聯(lián)系，認(rèn)識(shí)幾何中的矛盾和本質(zhì)，貫穿事物運(yùn)動(dòng)和變化的觀念，從具體事物的分析中總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義世界觀。在《相似形》的教學(xué)中，反映“互逆關(guān)系”的相應(yīng)性質(zhì)與判定，突出“知識(shí)聯(lián)系、思想遷移”，圍繞一系列知識(shí)點(diǎn)展開(kāi)探究，運(yùn)用類(lèi)比的方法，揭示相似三角形和全等三角形判定之間的一般與特殊的辯證關(guān)系。通過(guò)對(duì)實(shí)物的模型、圖片的觀察，運(yùn)用相似變換的數(shù)學(xué)思想，揭示幾何圖形在變換過(guò)程中的不變量和不變性，說(shuō)明相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)邊成比例是本質(zhì)，全等三角形通過(guò)移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)可以使他們完全重合在一起，并通過(guò)比例規(guī)的制作與圖形的繪制，培養(yǎng)們的運(yùn)動(dòng)與靜止、變與不變的辯證思想。

在講授《軌跡》時(shí)，通過(guò)對(duì)某一事物的投擲和運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生觀察事物的運(yùn)動(dòng)路線，使得學(xué)生理解軌跡是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)留下的痕跡、明白軌跡圖形的來(lái)源。例如，直線可以看成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)沿著一個(gè)方向前后運(yùn)動(dòng)的軌跡;射線可以看成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)沿著一個(gè)方向一直向前運(yùn)動(dòng)的軌跡;線段就是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從起始點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)的軌跡;平面可以看成一條直線上下運(yùn)動(dòng)的軌跡，也可以看為一條直線按照直線一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周而形成的軌跡。圓周就是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于一個(gè)定常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡，定點(diǎn)就是圓心、定常數(shù)就是半徑。在判斷軌跡時(shí)告訴學(xué)生，不是先有圖形再判斷點(diǎn)是如何運(yùn)動(dòng)的軌跡，而是根據(jù)運(yùn)動(dòng)規(guī)律判斷點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，再找到它所形成的圖形，從而加深了學(xué)生們對(duì)軌跡本身的本質(zhì)理解。

四、堅(jiān)持理論聯(lián)系實(shí)際，進(jìn)行一些幾何測(cè)量與實(shí)驗(yàn)

在教學(xué)過(guò)程中，要注意從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，進(jìn)行科學(xué)的抽象和必要的邏輯推理，得出數(shù)學(xué)概念和規(guī)律，然后把這些知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際中去，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性。例如在學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)，先介紹幾何學(xué)的發(fā)生、發(fā)展的歷史，使學(xué)生明白幾何學(xué)是來(lái)源于社會(huì)生產(chǎn)、生活實(shí)踐，又服務(wù)于社會(huì)生產(chǎn)和生活實(shí)踐的一門(mén)學(xué)科，再通過(guò)一些活生生的事例加以說(shuō)明，把理論與實(shí)際統(tǒng)一起來(lái)，溝通學(xué)科與學(xué)生之間的情感，逐步培養(yǎng)學(xué)生們解題和證明題的能力。

注意通過(guò)生活中學(xué)生熟悉的實(shí)例，講解平面幾何的抽象知識(shí)，激發(fā)學(xué)生們學(xué)習(xí)幾何的積極性和濃厚興趣，讓逐步感受數(shù)學(xué)美。例如，當(dāng)講授《黃金分割法》時(shí)指出，0.618正是最美最巧妙的比例，中國(guó)的故宮、法國(guó)的巴黎圣母院的設(shè)計(jì)中都融進(jìn)有“黃金分割”比例，古埃及的胡夫金字塔、米羅的維納斯塑像和美麗的五角星中的一些長(zhǎng)度比例也都是0.618，甚至一個(gè)人的身材勻稱(chēng)美的數(shù)學(xué)表示可以應(yīng)用“黃金分割”：肚臍之上身體與肚臍之下身體的長(zhǎng)度之比以0.618為標(biāo)準(zhǔn)，等等。在對(duì)教材中一些符合或者間接符合實(shí)際情況的例題和習(xí)題的處理中，告訴學(xué)生幾何知識(shí)可以解決工業(yè)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)實(shí)踐中一些度量、計(jì)算、檢驗(yàn)、劃線等問(wèn)題，都是幾何知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用，也可帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行實(shí)際實(shí)地測(cè)量。例如，學(xué)習(xí)過(guò)相似三角形后，可以帶領(lǐng)學(xué)生們拿一根木棒、尺子去太陽(yáng)底下，通過(guò)測(cè)量木棒的長(zhǎng)度和影子的長(zhǎng)度，以及樹(shù)的影子或者某一建筑物的影子長(zhǎng)度，就可以計(jì)算出樹(shù)高或者某一建筑物的高度。也可以帶領(lǐng)學(xué)生們拿著尺子去河邊，不用過(guò)河就可以測(cè)量出河寬：確定河對(duì)岸兩個(gè)目標(biāo)，在河本岸這邊選定一點(diǎn)，與對(duì)岸兩目標(biāo)一起在本岸這邊做出兩個(gè)相似三角形，通過(guò)本岸的三角形的測(cè)量就可以計(jì)算出河寬（另一相似三角形的一條邊）了。這些實(shí)例使得學(xué)生好像漫步在山花爛漫的幽境之中，產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)美的執(zhí)著追求，啟迪思維，擴(kuò)大視野，豐富強(qiáng)化了對(duì)數(shù)學(xué)幾何學(xué)的良好情感。

五、講授一些高等數(shù)學(xué)知識(shí)和難題，激發(fā)學(xué)生的興趣和創(chuàng)造力

由于興趣對(duì)于未來(lái)活動(dòng)具有準(zhǔn)備性的作用，所以在平面幾何的教學(xué)過(guò)程中，若能結(jié)合教材給學(xué)生講授一些他們沒(méi)有學(xué)到、或者不知道的高等數(shù)學(xué)知識(shí)和世界難題，可以使得他們對(duì)于將來(lái)所要學(xué)習(xí)的知識(shí)粗略了解一點(diǎn)，盡早引起數(shù)學(xué)興趣，促進(jìn)現(xiàn)在的幾何學(xué)習(xí)，對(duì)將來(lái)的學(xué)習(xí)活動(dòng)起到積極的定勢(shì)作用。也可以給學(xué)生介紹一些世界難題，特別是學(xué)生們既能夠懂得又喜歡知道的數(shù)學(xué)難題，可使得學(xué)生們的大腦有問(wèn)題思考、常處在積極思維狀態(tài)，這樣既可以開(kāi)發(fā)他們的智力和創(chuàng)造力，又可以使得他們能夠?yàn)樽约褐酪恍┦澜珉y題而感到自豪，并在幼小的心靈中樹(shù)立起進(jìn)一步渴望學(xué)習(xí)，或許可以解決世界數(shù)學(xué)難題的沖動(dòng)目標(biāo)。例如，在講授幾何圖形面積后，可以提問(wèn)學(xué)生：“長(zhǎng)方形面積、三角形、圓的面積都有公式可以求得了，那么由任意曲線圍成的圖形面積怎么求呢？”這樣順勢(shì)就給學(xué)生說(shuō)明了《微積分》知識(shí)的一些重要應(yīng)用和一些簡(jiǎn)單性質(zhì)，使他們對(duì)將來(lái)學(xué)習(xí)《微積分》知識(shí)早產(chǎn)生求知欲和輕松愉快感覺(jué)。在講到圓周率時(shí)，可以提問(wèn)學(xué)生：“圓周率是有理數(shù)是無(wú)理數(shù)？現(xiàn)在人們是怎么計(jì)算的？”這樣可以簡(jiǎn)單地給學(xué)生介紹了圓周率的性質(zhì)和大學(xué)《計(jì)算數(shù)學(xué)》課程，也可以讓學(xué)生們背誦圓周率小數(shù)點(diǎn)后許多位：3.1415926535897932384626…，使得學(xué)生產(chǎn)生自豪感和愉快感。在給學(xué)生講“平行線”時(shí)，有定理（公理）：“過(guò)已知直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行。”可以順便啟發(fā)學(xué)生：“為什么只有一條直線與已知直線平行？有兩條行不行？沒(méi)有一條行不行？”接著可以告訴學(xué)生們，“有且只有一條直線與已知直線平行”是我們初中平面幾何（也稱(chēng)為歐幾里得幾何）五大公理之一等價(jià)的定理，否定了這個(gè)定理，也是否定了歐幾里得幾何的公理體系;俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基從“過(guò)已知直線外一點(diǎn)，有2條直線與已知直線平行”出發(fā)，建立了《雙曲幾何》（也稱(chēng)為羅巴切夫斯基幾何），這種幾何中“三角形的內(nèi)角和小于180度”;德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼從“過(guò)已知直線外一點(diǎn)，沒(méi)有直線與已知直線平行”出發(fā)，建立了《橢圓幾何》（也稱(chēng)為黎曼幾何），這種幾何中“三角形的內(nèi)角和大于180度”，其實(shí)在我們的地球上航海航行用的就是黎曼幾何，愛(ài)因斯坦的相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)也應(yīng)用了黎曼幾何;在我們大家社會(huì)生活中的較小范圍內(nèi)，才可以把曲面看成平面，才能應(yīng)用《平面幾何》（即歐幾里得幾何），《雙曲幾何》和《橢圓幾何》統(tǒng)稱(chēng)為《非歐氏幾何》。在講授初中數(shù)學(xué)平面幾何的《勾股定理》后，順勢(shì)給學(xué)生介紹一道曾是300余年、懸賞最高100萬(wàn)馬克（錢(qián)）的世界難題“費(fèi)馬大定理：任何一個(gè)大于2冪次的數(shù)，都無(wú)法表示為兩個(gè)同冪次的數(shù)之和”。學(xué)生們聽(tīng)后群情激昂，大有躍躍欲試之勢(shì)，甚至連過(guò)去不太努力學(xué)習(xí)的學(xué)生都會(huì)因這樣的問(wèn)題而產(chǎn)生遐想……這樣自然而然地進(jìn)行中學(xué)平面幾何課程的教學(xué)，大大開(kāi)闊了學(xué)生視野，培養(yǎng)了學(xué)生們的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新思維能力。

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[6]陳麗萍.數(shù)學(xué)教材中的中國(guó)古典數(shù)學(xué)教學(xué)研究[D].遼寧師范大學(xué)，碩士（專(zhuān)業(yè)：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)），2020.

基金項(xiàng)目：浙江省杭州市高層次人才資助項(xiàng)目（2021.11.29）;國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“幾類(lèi)非擴(kuò)張變分系統(tǒng)問(wèn)題的迭代算法”（No.12171435）

作者簡(jiǎn)介：郭海英（1973—?），女，浙江東陽(yáng)人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

*通訊作者：王元恒（1961—?），男，河南南陽(yáng)人，博士，教授，博導(dǎo)，主要從事數(shù)學(xué)非線性泛函分析研究。