數(shù)學(xué)思考，從提出“有意義的問題”開始

李紅紅

【摘? ?要】讓學(xué)生“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”是數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)之一。圍繞數(shù)學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生自己提出“有意義的問題”是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思考的重要手段?！坝幸饬x的問題”可以是在“What、Why、How”（3W）框架引領(lǐng)下，圍繞具體內(nèi)容所提出的數(shù)學(xué)問題。以人教版四年級上冊“大數(shù)的認(rèn)識”單元復(fù)習(xí)為例，教師通過聯(lián)結(jié)“3W”框架與數(shù)學(xué)內(nèi)容，借助知識歸類與合情推理等手段，引導(dǎo)學(xué)生圍繞整個單元的內(nèi)容提出有意義的問題，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思考;有意義的問題;大數(shù)的認(rèn)識

“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”是學(xué)生具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要表現(xiàn)。教學(xué)時，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維方式進行思考，要落實到可操作的具體環(huán)節(jié)中。問題是驅(qū)動學(xué)生數(shù)學(xué)思考的重要支架，讓學(xué)生參與問題提出的生成性教學(xué)活動，可以幫助學(xué)生直擊數(shù)學(xué)本質(zhì)，慢慢地想得更清晰、更全面、更深刻、更合理。[1]因此，讓學(xué)生學(xué)會“數(shù)學(xué)思考”，要從提出有意義的問題開始。

一、什么是有意義的問題

“有意義的問題”是一個比較模糊、寬泛的概念。本文中“有意義的問題”指的是在“What、Why、How”（3W）框架引領(lǐng)下，圍繞具體內(nèi)容所提出的數(shù)學(xué)問題?！?W”是界定、分析和解決問題的框架。“What”主要用來界定是什么問題;“Why”主要指向產(chǎn)生問題的本質(zhì)原因;“How”側(cè)重問題的解決方法。學(xué)生針對某一數(shù)學(xué)內(nèi)容從這三個方面進行質(zhì)疑，往往能夠反映他們真實的學(xué)習(xí)起點與認(rèn)知障礙。他們在提出問題并嘗試解決的過程中，能夠積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗，提升批判性思維和創(chuàng)新性思維。提出有意義的問題是數(shù)學(xué)思考的起點。

“有意義”的問題有三個方面的特征：（1）指向問題本質(zhì)，體現(xiàn)思辨性。（2）聚焦實際意義，驅(qū)動問題解決。（3）促進整體建構(gòu)，形成結(jié)構(gòu)化思維。也就是說，“有意義的問題”往往能夠直擊數(shù)學(xué)的本質(zhì)，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)部的邏輯關(guān)系;能夠真實展現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)他們解決問題的欲望;能夠指向內(nèi)容的整體性，讓學(xué)生看到知識的基本元素、思想方法之間的關(guān)聯(lián)，形成結(jié)構(gòu)化思維。

二、如何引導(dǎo)學(xué)生提出有意義的問題

“What、Why、How”為學(xué)生提出有意義的問題提供了腳手架。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“3W”的問題框架提出問題，教師需要注意以下幾點。

（一）聯(lián)結(jié)“3W”問題框架與數(shù)學(xué)內(nèi)容

問題提出的認(rèn)知過程是聯(lián)結(jié)。[2] 提出“有意義的問題”關(guān)鍵在于將問題框架與數(shù)學(xué)內(nèi)容進行聯(lián)結(jié)，從而引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，發(fā)現(xiàn)或建構(gòu)新的數(shù)學(xué)問題。在提出問題之前，需要確定問題的對象，也就是數(shù)學(xué)內(nèi)容。提出的問題往往是與數(shù)、數(shù)量關(guān)系或空間形式相關(guān)聯(lián)的未知內(nèi)容，也可以是與已知信息相關(guān)的關(guān)鍵內(nèi)容。教師要幫助學(xué)生逐步學(xué)會將問題框架與數(shù)學(xué)內(nèi)容進行聯(lián)結(jié)，借助3W原則形成問題，并用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)問題。如在學(xué)習(xí)“求一個數(shù)的近似數(shù)”時，學(xué)生提出“怎么用四舍五入法求大數(shù)的近似數(shù)”，就是將“How”和“四舍五入”這一方法進行聯(lián)結(jié)產(chǎn)生數(shù)學(xué)思考之后提出的數(shù)學(xué)問題。

在將問題框架與數(shù)學(xué)內(nèi)容進行關(guān)聯(lián)的同時，學(xué)生需要了解不同知識的類型側(cè)重于研究的是“What”“Why”還是“How”。一般情況下，“What”指向陳述性知識，即對數(shù)學(xué)概念、定義、規(guī)則等的描述;“How”指向程序性知識即思想方法與技能，或是數(shù)學(xué)概念、經(jīng)驗的形成過程;“Why”指向與反省相關(guān)的內(nèi)容，即規(guī)則背后的原因。上述例子中，“四舍五入法求近似數(shù)”屬于程序性知識，一般與“How”聯(lián)結(jié)。

雖然實際學(xué)習(xí)中問題和內(nèi)容聯(lián)結(jié)時會有所側(cè)重，但教師也應(yīng)鼓勵學(xué)生沿著單元內(nèi)容的概念主軸進行層層剖析，對某一個知識同時進行“3W”的探索，完善知識的建構(gòu)。例如學(xué)生在閱讀中初步了解了四舍五入法（解決了“How”的問題）后會更關(guān)注“Why”，去尋找這個方法形成的源頭，從而提出“為什么是五入，而不是六入”“為什么一定要四舍五入”“四舍五入為什么只要看某一位上的數(shù)，舍去的卻是后面所有數(shù)”等問題。通過提出問題實現(xiàn)對知識的理解與建構(gòu)，批判性地檢查方法形成的邏輯性，這是學(xué)生進行深度學(xué)習(xí)的基本表現(xiàn)之一。聯(lián)結(jié)“3W”問題框架提出問題，能夠幫助學(xué)生思考得更深刻，更全面。

（二）基于知識歸類與合情推理提出問題

學(xué)習(xí)者不能為了提問而提問，提出有深度的問題本身就是深度思考的表現(xiàn)。學(xué)生怎樣才能提出有深度的問題呢？教師需要引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)知識進行分類整理，在更大范圍內(nèi)、更高層次上明確各知識點之間的縱橫聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上通過比較、歸納發(fā)現(xiàn)異同點，從而產(chǎn)生疑問，形成數(shù)學(xué)問題。例如，在學(xué)習(xí)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”單元時，學(xué)生在整理了兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)的計算方法后，用“以此類推”的方式表達(dá)對方法的總結(jié)。此時，教師可提出支架性問題“你還有什么疑問”，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯角度提出“為什么這些方法都差不多”“以后還學(xué)習(xí)四位數(shù)乘三位數(shù)的筆算乘法嗎”“小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法的計算也會跟整數(shù)乘法差不多嗎”等問題。在這個過程中，學(xué)生進一步將視角落到“核心概念”上，在歸納的基礎(chǔ)上主動思考計算技能背后的核心概念、數(shù)學(xué)規(guī)定的合理性和必要性等問題，進一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。也就是說，教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生梳理知識，以形成結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，將內(nèi)容、問題結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)推理三者相融合，使得歸納和類比成為學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的有效途徑。 [3]

三、如何圍繞“提出有意義的問題”組織教學(xué)

讓學(xué)生提出有意義的問題并自主整理單元內(nèi)容，能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動機，促使其主動思考、交流、展示，有助于學(xué)生的全面發(fā)展。筆者以南欲曉老師執(zhí)教的“大數(shù)的認(rèn)識復(fù)習(xí)課”為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生圍繞整個單元內(nèi)容提出有意義的問題，學(xué)會數(shù)學(xué)的思考。

（一）確定學(xué)習(xí)內(nèi)容和問題框架

1.教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧“這一單元學(xué)了哪些內(nèi)容，你覺得這個單元中的哪些內(nèi)容讓你印象深刻”，然后組織全班進行交流，對本單元的知識進行梳理，提煉出本單元的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容有計數(shù)工具、億以內(nèi)的數(shù)、億以上的數(shù);具體的知識點有數(shù)位、計數(shù)單位、數(shù)級、改寫、近似數(shù)……

2.教師出示活動任務(wù)：我們要通過提出問題來對本單元的內(nèi)容進行整理，可以圍繞What（是什么）、How（怎么樣）、Why（為什么）進行提問。教師同時在黑板上呈現(xiàn)“3W”和“內(nèi)容”兩個獨立板塊，幫助學(xué)生區(qū)分問題框架和數(shù)學(xué)內(nèi)容。

（二）關(guān)聯(lián)問題框架與數(shù)學(xué)內(nèi)容

在關(guān)聯(lián)問題框架與數(shù)學(xué)內(nèi)容時，教師可以采用先示范方法再引導(dǎo)遷移的方式進行教學(xué)，以促進學(xué)生深入思考。如以下教學(xué)片段。

1.示范方法。

師：如果圍繞大數(shù)的寫法提問，你會提出“3W”框架中的哪類問題？

生：提出“How”類問題，如“大數(shù)怎么寫”。

師：還有哪些內(nèi)容也可以用“How”來提問并研究？

學(xué)生思考后相互交流：大數(shù)怎么讀？怎么找近似數(shù)？怎么用“億”或“萬”改寫一個大數(shù)……

2.引導(dǎo)遷移。

師：哪些內(nèi)容我們要用“What”來研究？

學(xué)生同樣在思考后交流各自提出的問題：數(shù)級是什么？數(shù)位是什么？計數(shù)單位是什么？十進制是什么……

教師提出“這個單元的內(nèi)容很多也很復(fù)雜，咱們可否把它們整理到表格中”這一問題，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)位順序表整理所學(xué)內(nèi)容，并進行比較與歸納。之后教師再次提問：“觀察每級的數(shù)位與計數(shù)單位的組成，你還能用What提出問題嗎？”有學(xué)生提出了“它們有什么相同的地方嗎”這一問題。通過全班交流與歸納，找到了它們之間的共同點：①都是以個級為標(biāo)準(zhǔn);②4位一級;③相鄰計數(shù)單位之間是十進制。

師：圍繞本單元的內(nèi)容，你能提出“Why”類問題嗎？

學(xué)生思考后進一步提出：為什么這么強調(diào)分級，為什么要改寫成用“億”或“萬”作單位……

以上過程，教師借助思辨性問題框架，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了對內(nèi)容進行分類的過程。其中，將問題框架中的“是什么”與內(nèi)容進行關(guān)聯(lián)時又可分為三個層次：首先，通過“是什么”對目標(biāo)內(nèi)容進行分類，明確哪些能用“是什么”來解決;其次，引導(dǎo)學(xué)生用表格對內(nèi)容進行梳理，使得概念之間的關(guān)系更加明晰;最后，在結(jié)構(gòu)化思考的基礎(chǔ)上重新構(gòu)想提出新的問題，明確“個級”在數(shù)級中的“標(biāo)準(zhǔn)”意義，體會分級方法以及“十進制”。當(dāng)然，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生“重新構(gòu)想提出問題”可以安排在原問題解決之前，也可以安排在問題解決的過程中，還可以像上面課堂實踐中那樣安排在問題解決之后。

（三）依據(jù)問題整理數(shù)學(xué)內(nèi)容

在“3W”框架的幫助下，學(xué)生提出問題以后，還要將問題進行匯總、整理。整理問題的過程也是整理數(shù)學(xué)內(nèi)容的過程。

1.師生合作，匯總提出的數(shù)學(xué)問題。

數(shù)學(xué)問題匯總?cè)缦拢孩倜考壍臄?shù)位，計數(shù)單位的組成有什么相同點？②怎樣準(zhǔn)確地讀出一個多位數(shù)？③怎樣準(zhǔn)確地寫出一個多位數(shù)？④如何用“萬”或“億”作單位，寫出一個數(shù)的近似數(shù)？⑤為什么有時要把一個多位數(shù)改寫成一個用“萬”或“億”作單位的近似數(shù)？

2.通過任務(wù)驅(qū)動，整理數(shù)學(xué)內(nèi)容。

教師布置任務(wù)：通過小組合作，借助上述問題整理單元內(nèi)容，畫出結(jié)構(gòu)圖。在此基礎(chǔ)上，進行小組匯報、全班交流。

從上述案例中可以看出，教師主要通過三個步驟引領(lǐng)學(xué)生在“大數(shù)的認(rèn)識”單元復(fù)習(xí)中提出有意義的問題：（1）回顧單元的關(guān)鍵內(nèi)容，明確“3W”問題框架。（2）關(guān)聯(lián)問題框架與內(nèi)容，提出有意義的問題。（3）依據(jù)數(shù)學(xué)問題理內(nèi)容，聚焦數(shù)學(xué)核心內(nèi)容。通過提問，引發(fā)學(xué)生對單元知識進行整理，建立知識之間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考逐步走向深入。

數(shù)學(xué)是在不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并對問題加以解決的過程中前進的。讓學(xué)生“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”可以從引導(dǎo)他們“提出有意義的問題”開始。

參考文獻：

[1]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016（3）：1-5.

[2]徐斌艷，等.數(shù)學(xué)核心能力研究[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2019：45-48.

[3]史寧中.基本概念與運算法則：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013：46.

（浙江省杭州市賣魚橋小學(xué)? ?310015）